Oscillateurs amortis

Vue d'ensemble

Le circuit RLC série en régime libre est l'archétype de l'oscillateur amorti en MPSI : un condensateur initialement chargé se décharge dans une bobine, mais la résistance $R$ dissipe peu à peu l'énergie sous forme de chaleur. Selon la valeur du facteur de qualité $Q$ , le système oscille longuement, revient lentement à l'équilibre, ou y revient le plus vite possible sans dépasser. Toute la matière du chapitre tient sur une équation différentielle d'ordre 2, son discriminant, et la lecture des 3 régimes. Cette fiche regroupe les 6 définitions-clés, les 5 théorèmes/formules et les 3 démonstrations à savoir refaire qui reviennent à chaque DS d'électrocinétique.

Au programme MPSI (officiel) — Circuit RLC série en régime libre : équation différentielle d'ordre 2, forme canonique, pulsation propre ω₀, facteur de qualité Q, discussion des trois régimes (apériodique, critique, pseudo-périodique) selon le signe du discriminant, pseudo-pulsation, pseudo-période, décrément logarithmique, portrait de phase, bilan énergétique d'un oscillateur amorti, analogie électromécanique (m↔L, k↔1/C, h↔R).

Prérequis

Lois de Kirchhoff (loi des mailles, loi des nœuds) et relations constitutives $u_{R} = R i$ , $u_{L} = L d i / d t$ , $i = C d u_{C} / d t$
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, discriminant, 3 cas)
Oscillateur harmonique non amorti : équation $\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0$ , solution $X (t) = A cos (ω_{0} t + φ)$
Notation complexe et calcul d'exponentielles complexes : $e^{(α + iω) t}$ , partie réelle
Énergie stockée dans un condensateur $E_{C} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ et dans une bobine $E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}$

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1. Mise en équation du circuit RLC série

1.1 — Le circuit canonique

Définition 1.1 — Circuit RLC série en régime libre

Un circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$ , d'une bobine d'inductance $L$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ , branchés en série en boucle fermée. On parle de régime libre lorsque le circuit n'est plus alimenté : la dynamique provient uniquement de l'énergie initialement stockée (typiquement, le condensateur chargé sous une tension $U_{0}$ à $t = 0$ ).

Théorème 1.2 — Équation différentielle du RLC série ★ À savoir démontrer

La tension $u_{C} (t)$ aux bornes du condensateur satisfait l'équation différentielle :

L C \frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0.

Démonstration (loi des mailles et relations constitutives)

Orientons la maille dans le sens de la décharge du condensateur. Le courant $i (t)$ sortant de l'armature positive du condensateur vérifie :

i (t) = - C \frac{d u _{C}}{d t} (convention r \overset{e}{ˊ} cepteur sur les dip \overset{o}{ˆ} les passifs).

Attention au signe : avec la convention récepteur sur le condensateur, on a $i = C d u_{C} / d t$ ; en convention générateur (sens de décharge), on prend l'opposé. Dans la suite on s'aligne sur la convention récepteur sur les trois dipôles, courant orienté dans le même sens dans toute la maille.

La loi des mailles s'écrit alors :

u_{R} + u_{L} + u_{C} = 0,

avec :

u_{R} = R i = R C \frac{d u _{C}}{d t}, u_{L} = L \frac{d i}{d t} = L C \frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} .

En reportant et en réordonnant les termes :

L C \frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0.

C'est une équation différentielle linéaire, homogène, d'ordre 2, à coefficients constants — le squelette de tous les oscillateurs amortis libres.

📝 Conditions initiales. Pour résoudre cette équation d'ordre 2, il faut deux conditions initiales. Le scénario classique : à

t = 0^{-}

, le condensateur est chargé sous

U_{0}

et aucun courant ne circule. On en déduit

u_{C} (0^{+}) = U_{0}

(continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, voir piège ci-dessous) et

i (0^{+}) = 0

, soit

(d u_{C} / d t) (0^{+}) = 0

⚠ Piège — Les deux continuités à connaître par cœur. Dans un RLC, deux grandeurs sont continues à un instant de commutation :

La tension aux bornes d'un condensateur $u_{C}$ (sinon, $i = C d u_{C} / d t$ serait infini).
Le courant dans une bobine $i_{L}$ (sinon, $u_{L} = L d i / d t$ serait infini).

En revanche, la tension aux bornes d'une bobine et le courant dans un condensateur peuvent présenter des sauts. C'est l'erreur qui tue dans la rédaction des conditions initiales.

1.2 — Forme canonique

Définition 1.3 — Pulsation propre et facteur de qualité (RLC série)

On définit la pulsation propre $ω_{0}$ et le facteur de qualité $Q$ du circuit RLC série par :

ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{L ω _{0}}{R} = \frac{1}{R C ω _{0}} .

Unités : $ω_{0}$ en rad·s⁻¹, $Q$ sans dimension. $ω_{0}$ caractérise la « vitesse » d'oscillation du circuit sans amortissement, $Q$ caractérise le rapport « énergie stockée / énergie dissipée par radian ». Plus $Q$ est grand, moins le circuit est amorti.

Proposition 1.4 — Forme canonique d'un oscillateur amorti

En divisant l'équation différentielle par $L C$ , on obtient la forme canonique universelle des oscillateurs amortis :

\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + \frac{ω _{0}}{Q} \frac{d u _{C}}{d t} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0.

Forme équivalente avec le coefficient d'amortissement réduit $ξ = 1/ (2 Q)$ (parfois noté $ζ$ ) :

\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + 2 ξ ω_{0} \frac{d u _{C}}{d t} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0.

Cette forme canonique est indépendante du système physique : elle s'applique à un RLC, à un ressort avec frottement fluide, à un pendule pesant amorti, à un circuit RLC parallèle… On y lit directement $ω_{0}$ , $Q$ et donc le régime.

📝 RLC parallèle. Pour un circuit RLC parallèle (R, L et C en parallèle), la même forme canonique s'écrit avec

ω_{0} = 1/ L C

inchangé, mais le facteur de qualité devient

Q = R C / L

(au lieu de

\frac{1}{R} L / C

pour le RLC série). Cohérent : en parallèle, une grande résistance dissipe peu (le courant la contourne via L ou C), donc

Q

croît avec

R

; en série, c'est l'inverse.

📐 Méthode-type — Mettre une équation sous forme canonique. Toute équation

a \overset{x}{¨} + b \overset{x}{˙} + c x = 0

avec

a, c > 0

se met sous forme canonique en deux étapes :

Diviser par $a$ pour obtenir le coefficient $1$ devant $\overset{x}{¨}$ .
Identifier $ω_{0}^{2} = c / a$ (donc $ω_{0} = c / a$ ) et $ω_{0} / Q = b / a$ (donc $Q = ω_{0} a / b = a c / b$ ).

Réflexe : avant toute discussion de régime, mets toujours l'équation sous forme canonique. Tu y lis

ω_{0}

Q

et le régime en une ligne — sans même résoudre.

2. Les trois régimes d'amortissement

2.1 — Équation caractéristique et discriminant

Proposition 2.1 — Équation caractéristique du RLC

On cherche des solutions de la forme $u_{C} (t) = e^{r t}$ . Reportées dans la forme canonique, elles donnent l'équation caractéristique :

r^{2} + \frac{ω _{0}}{Q} r + ω_{0}^{2} = 0.

Son discriminant est :

Δ = (\frac{ω _{0}}{Q})^{2} - 4 ω_{0}^{2} = ω_{0}^{2} (\frac{1}{Q ^{2}} - 4) = \frac{ω _{0}^{2}}{Q ^{2}} (1 - 4 Q^{2}) .

Le signe de $Δ$ ne dépend que de $Q$ — d'où la classification en 3 régimes.

Théorème 2.2 — Les trois régimes selon Q ★ À savoir démontrer

Selon la valeur du facteur de qualité $Q$ (équivalemment du coefficient d'amortissement $ξ = 1/ (2 Q)$ ), le circuit RLC série en régime libre adopte l'un des trois régimes suivants :

Régime apériodique $Q < 1/2$ (soit $\xi > 1$ ) : $\Delta > 0$ , deux racines réelles négatives, retour exponentiel sans oscillation.
Régime critique $Q = 1/2$ (soit $ξ = 1$ ) : $Δ = 0$ , racine double réelle négative, retour le plus rapide possible sans oscillation.
Régime pseudo-périodique $Q > 1/2$ (soit $\xi < 1$ ) : $\Delta < 0$ , deux racines complexes conjuguées à partie réelle négative, oscillations amorties exponentiellement.

Démonstration (discussion du discriminant + résolution des 3 cas)

Le discriminant $Δ = \frac{ω _{0}^{2}}{Q ^{2}} (1 - 4 Q^{2})$ a pour signe celui de $1 - 4 Q^{2}$ . On distingue les 3 cas.

Cas 1 — Régime apériodique ( $Q < 1/2$ , $\Delta > 0$ ). L'équation caractéristique admet deux racines réelles :

r_{1, 2} = \frac{- ω _{0} / Q \pm Δ}{2} = - \frac{ω _{0}}{2 Q} \pm ω_{0} \frac{1}{4 Q ^{2}} - 1 .

Les deux racines sont négatives (produit $r_1 r_2 = \omega_0^2 > 0$ , somme $r_1 + r_2 = -\omega_0/Q < 0$ ). La solution générale est :

u_{C} (t) = A e^{r_{1} t} + B e^{r_{2} t},

somme de deux exponentielles décroissantes : retour à l'équilibre sans oscillation.

Cas 2 — Régime critique ( $Q = 1/2$ , $Δ = 0$ ). L'équation caractéristique a une racine double $r_{0} = - ω_{0} / (2 Q) = - ω_{0}$ . La solution générale prend la forme :

u_{C} (t) = (A + B t) e^{- ω_{0} t} .

C'est encore un retour exponentiel sans oscillation, mais c'est le retour le plus rapide possible sans dépassement (voir Théorème 2.4).

Cas 3 — Régime pseudo-périodique ( $Q > 1/2$ , $\Delta < 0$ ). L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées :

r_{1, 2} = - \frac{ω _{0}}{2 Q} \pm i ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}} = - α \pm i ω,

avec $\alpha = \omega_0/(2 Q) > 0$ (le coefficient d'amortissement) et $ω = ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2})$ la pseudo-pulsation. La solution générale réelle est :

u_{C} (t) = e^{- α t} (A cos (ω t) + B sin (ω t)) = U_{m} e^{- α t} cos (ω t + φ) .

L'enveloppe $U_{m} e^{- α t}$ décroît exponentiellement, le cosinus oscille à la pseudo-pulsation $\omega < \omega_0$ . Le temps caractéristique d'amortissement est $τ = 1/ α = 2 Q / ω_{0}$ .

💡 Repères numériques.

Q = 0, 1

: très fortement amorti.

Q = 1/2

: critique.

Q = 1

: on voit à peine une demi-oscillation.

Q = 10

: ~20 oscillations avant chute à 5 %.

Q = 100

1 0^{6}

: circuits résonnants RF, quartz d'horloge.

2.2 — Solutions explicites et optimalité du régime critique

Proposition 2.3 — Solution apériodique avec C.I. usuelles

Pour $Q < 1/2$ , avec $u_{C} (0) = U_{0}$ et $\overset{u}{˙}_{C} (0) = 0$ , la solution est $u_{C} (t) = A e^{r_{1} t} + B e^{r_{2} t}$ avec $A = - r_{2} U_{0} / (r_{1} - r_{2})$ , $B = r_{1} U_{0} / (r_{1} - r_{2})$ . $u_{C} (t)$ reste positive et décroît monotonement de $U_{0}$ à $0$ .

Théorème 2.4 — Optimalité du régime critique

À conditions initiales fixées, le régime critique ( $Q = 1/2$ ) ramène le système à l'équilibre le plus rapidement possible sans dépassement. C'est le régime recherché dans les amortisseurs automobiles, les asservissements et les galvanomètres balistiques. Solution explicite avec $u_{C} (0) = U_{0}$ , $\overset{u}{˙}_{C} (0) = 0$ :

u_{C} (t) = U_{0} (1 + ω_{0} t) e^{- ω_{0} t} .

2.3 — Régime pseudo-périodique

Définition 2.5 — Pseudo-pulsation et pseudo-période

En régime pseudo-périodique ( $Q > 1/2$ ), la solution s'écrit :

u_{C} (t) = U_{m} e^{- t / τ} cos (ω t + φ),

avec :

Pseudo-pulsation : $ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ .
Pseudo-période : $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{ω _{0} 1 - 1/ ( 4 Q ^{2} )}$ .
Temps caractéristique d'amortissement : $τ = \frac{2 Q}{ω _{0}}$ .

Approximation $Q ≫ 1$ (faible amortissement) :

ω \approx ω_{0}, T \approx T_{0} = \frac{2 π}{ω _{0}} .

Plus l'amortissement est faible, plus la pseudo-période est proche de la période propre $T_{0}$ de l'oscillateur non amorti. Le nombre d'oscillations « visibles » avant extinction (chute d'un facteur $e$ sur l'enveloppe, soit à $t = τ$ ) est $N_{osc} = τ / T \approx Q / π$ .

📝 Une pseudo-période n'est pas une période.

T

est appelée pseudo-période parce que la solution n'est pas périodique au sens strict :

u_{C} (t + T) \neq = u_{C} (t)

. Seuls les instants où la dérivée s'annule (ou les passages par

0

) se répètent à intervalles réguliers

T

— l'amplitude, elle, décroît.

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3. Décrément logarithmique (mesure de l'amortissement)

Définition 3.1 — Décrément logarithmique

En régime pseudo-périodique, on appelle décrément logarithmique le logarithme népérien du rapport entre deux amplitudes successives séparées d'une pseudo-période :

δ = ln (\frac{u _{C} ( t )}{u _{C} ( t + T )}) .

$δ$ est indépendant du choix de $t$ (à condition de mesurer aux mêmes instants relatifs dans la pseudo-période, par exemple aux maxima successifs ou aux passages par zéro de même sens). C'est la grandeur expérimentale qui permet de mesurer l'amortissement sur un oscillogramme.

Théorème 3.2 — Expression du décrément en fonction de Q ★ À savoir démontrer

Le décrément logarithmique du RLC série en régime pseudo-périodique vaut :

δ = \frac{π}{Q 1 - 1/ ( 4 Q ^{2} )} = \frac{T}{τ} .

Dans la limite $Q ≫ 1$ (faible amortissement), on retient :

δ \approx \frac{π}{Q} .

Démonstration (calcul direct du rapport d'amplitudes)

En régime pseudo-périodique, $u_{C} (t) = U_{m} e^{- t / τ} cos (ω t + φ)$ avec $τ = 2 Q / ω_{0}$ et $T = 2 π / ω$ . À l'instant $t + T$ :

u_{C} (t + T) = U_{m} e^{- (t + T) / τ} cos (ω (t + T) + φ) .

Or $ω (t + T) = ω t + ω T = ω t + 2 π$ , donc le cosinus est inchangé : $cos (ω (t + T) + φ) = cos (ω t + φ)$ . Le rapport devient :

\frac{u _{C} ( t )}{u _{C} ( t + T )} = \frac{e ^{- t / τ}}{e ^{- (t + T) / τ}} = e^{T / τ} .

D'où, en prenant le logarithme :

δ = ln (\frac{u _{C} ( t )}{u _{C} ( t + T )}) = \frac{T}{τ} .

Reste à exprimer $T / τ$ en fonction de $Q$ :

\frac{T}{τ} = \frac{2 π / ω}{2 Q / ω _{0}} = \frac{π ω _{0}}{Q ω} = \frac{π}{Q 1 - 1/ ( 4 Q ^{2} )} .

Pour $Q ≫ 1$ , le radical tend vers $1$ et il reste $δ \approx π / Q$ .

📐 Méthode-type — Mesurer Q à partir d'un oscillogramme. Protocole standard de TP, à savoir restituer en oral CCINP :

Relever la pseudo-période $T$ : mesurer la distance temporelle entre deux passages par zéro de même sens (ou entre deux maxima consécutifs) — utiliser plusieurs périodes pour réduire l'erreur de lecture.
Relever deux amplitudes successives $u_{1}, u_{2}$ séparées d'une pseudo-période (ou $u_{1}, u_{n}$ séparées de $n$ pseudo-périodes pour gagner en précision).
Calculer $δ$ : $δ = ln (u_{1} / u_{2})$ sur une période, ou $δ = (1/ n) ln (u_{1} / u_{n})$ sur $n$ périodes.
En déduire $Q$ : $Q \approx π / δ$ si $δ$ est petit (typiquement $\delta < 0{,}3$ , correspondant à $Q > 10$ ).
Vérifier par $R, L, C$ : confronter $Q_{mesur \overset{e}{ˊ}}$ à $Q_{th \overset{e}{ˊ} orique} = (1/ R) L / C$ .

Astuce : si tu n'as accès qu'à l'oscillogramme, le rapport « amplitude initiale / amplitude à

τ

» vaut

e \approx 2, 72

: tu peux ainsi lire

τ

directement et remonter à

Q = ω_{0} τ /2

⚠ Piège — Ne pas confondre δ et le coefficient d'amortissement α.

α = 1/ τ = ω_{0} / (2 Q)

est le coefficient d'amortissement de l'enveloppe

e^{- α t}

(dimension d'inverse de temps) ;

δ = α T = T / τ

est le décrément logarithmique (sans dimension, c'est un nombre). Les deux sont liés par

δ = α T

, mais ils ne se manipulent pas pareil.

4. Aspects énergétiques et portrait de phase

4.1 — Bilan énergétique

Définition 4.1 — Énergie totale et bilan

L'énergie totale du circuit est la somme magnétique + électrique :

E (t) = \frac{1}{2} L i^{2} (t) + \frac{1}{2} C u_{C}^{2} (t) .

En multipliant la loi des mailles par $i = C \overset{u}{˙}_{C}$ , on obtient le bilan énergétique :

\frac{d E}{d t} = - R i^{2} \leq 0.

L'énergie décroît : $R$ la dissipe par effet Joule. En régime pseudo-périodique, l'enveloppe de $E (t)$ décroît comme $e^{- 2 t / τ}$ (deux fois plus vite que celle de $u_{C}$ , car l'énergie est quadratique).

💡 Échange périodique L ↔ C. En régime faiblement amorti, l'énergie oscille entre bobine et condensateur tous les quarts de pseudo-période — analogue exact du va-et-vient

E_{c} \leftrightarrow E_{p}

dans un ressort amorti.

4.2 — Portrait de phase qualitatif

Proposition 4.2 — Allure du portrait dans le plan (u_C, du_C/dt)

Apériodique ( $Q < 1/2$ ) : trajectoire descend vers l'origine sans tourner — l'origine est un nœud stable.
Critique ( $Q = 1/2$ ) : trajectoire similaire, retour le plus rapide, nœud stable dégénéré.
Pseudo-périodique ( $Q > 1/2$ ) : trajectoire en spirale autour de l'origine, qui devient un foyer stable.
Cas limite $R \to 0$ ( $Q \to + \infty$ ) : ellipses fermées, trajectoires périodiques strictes, énergie conservée — c'est l'oscillateur harmonique.

5. Analogie mécanique-électrique

Proposition 5.1 — Correspondance ressort amorti ↔ RLC série

L'équation d'un système masse-ressort avec frottement fluide $m \overset{x}{¨} + h \overset{x}{˙} + k x = 0$ et celle du RLC série $L C \overset{u_{C}}{¨} + R C \overset{u_{C}}{˙} + u_{C} = 0$ ont exactement la même structure. L'identification terme à terme donne le dictionnaire :

Masse $m$ ↔ Inductance $L$ (l'inertie de la bobine s'oppose à la variation du courant comme la masse s'oppose à la variation de vitesse).
Raideur $k$ ↔ $1/ C$ (un condensateur peu capacitif « rappelle » fortement vers l'équilibre, comme un ressort raide).
Coefficient de frottement $h$ ↔ Résistance $R$ (les deux dissipent l'énergie par effet Joule).
Position $x$ ↔ Tension $u_{C}$ (ou charge $q = C u_{C}$ ).
Vitesse $\overset{x}{˙}$ ↔ Courant $i$ (à un facteur près).
Énergie cinétique $\frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2}$ ↔ Énergie magnétique $\frac{1}{2} L i^{2}$ .
Énergie potentielle élastique $\frac{1}{2} k x^{2}$ ↔ Énergie électrique $\frac{1}{2} C u_{C}^{2} = \frac{1}{2} q^{2} / C$ .

📝 Pourquoi cette analogie est puissante. Toute la phénoménologie qualitative du RLC (régimes, décrément, résonance) se transpose mot pour mot au ressort amorti. Exemple : ressort amorti

ω_{0} = k / m

, en remplaçant

k \to 1/ C

m \to L

on retrouve

ω_{0} = 1/ L C

sans repartir des équations. Les jurys Mines-Ponts et Centrale testent fréquemment cette correspondance.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont systématiquement relevées dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'électrocinétique. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence — et plombent ta note finale parce qu'elles s'enchaînent (signe faux → régime faux → solution fausse).

⚠ Erreur 1 — Discuter les régimes sans avoir mis l'équation sous forme canonique. Beaucoup d'élèves calculent

Δ

directement sur

L C \overset{u}{¨} + R C \overset{u}{˙} + u = 0

et oublient le facteur

L C

devant

\overset{u}{¨}

. Le discriminant est alors

Δ = (R C)^{2} - 4 L C

— pas

(R / L)^{2} - 4/ (L C)

comme attendu. Bonne pratique : toujours diviser par le coefficient de

\overset{u}{¨}

avant de discuter.

⚠ Erreur 2 — Confondre Q et ξ (ou Q et 1/Q). Les deux conventions cohabitent :

\overset{u}{¨} + (ω_{0} / Q) \overset{u}{˙} + ω_{0}^{2} u = 0

\overset{u}{¨} + 2 ξ ω_{0} \overset{u}{˙} + ω_{0}^{2} u = 0

, avec

ξ = 1/ (2 Q)

. Si tu n'identifies pas clairement le coefficient de

\overset{u}{˙}

, tu confonds

Q

1/ (2 Q)

et tu prends le mauvais régime. Réflexe : écris ta forme canonique avec

ω_{0} / Q

en grand au-dessus de l'équation et identifie terme à terme.

⚠ Erreur 3 — Écrire $u_{C} (0^{+}) = 0$ sous prétexte qu'« il n'y a plus de générateur ». Au contraire : si le condensateur était chargé sous

U_{0}

juste avant la commutation, alors

u_{C} (0^{+}) = U_{0}

par continuité. L'erreur n°1 en début de chapitre. Garde en tête les deux continuités :

u_{C}

i_{L}

⚠ Erreur 4 — Affirmer que la pseudo-période est égale à la période propre. En toute rigueur,

T = 2 π / ω = 2 π / (ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2}))

— différente de

T_{0} = 2 π / ω_{0}

. L'approximation

T \approx T_{0}

n'est légitime que pour

Q ≫ 1

. Pour

Q = 1

T / T_{0} = 1/ 3/4 \approx 1, 15

: 15 % d'écart, non négligeable.

⚠ Erreur 5 — Confondre « le régime critique annule les oscillations » et « le régime critique annule l'amortissement ». Critique = amortissement maximal compatible avec un retour le plus rapide possible sans dépassement. Le système retourne à l'équilibre exponentiellement — il y a bien dissipation. Si tu veux annuler l'amortissement, il faut

R = 0

(donc

Q = + \infty

), pas

Q = 1/2

7. Pour aller plus loin

L'oscillateur amorti libre est la brique de base de toute l'électrocinétique et de la mécanique vibratoire. Les chapitres et notions qui s'appuient directement dessus :

Oscillateur en régime forcé / résonance — ajouter une excitation sinusoïdale $e (t) = E_{0} cos (ω t)$ au second membre conduit à la résonance en amplitude et la résonance en intensité, avec acuité $\sim Q$ .
Filtrage linéaire (sup et spé) — le RLC série en régime sinusoïdal forcé devient un filtre passe-bande dont la sélectivité est fixée par $Q$ . Le décrément logarithmique se relie à la bande passante $Δ ω = ω_{0} / Q$ .
Oscillations mécaniques amorties — pendule simple avec frottement fluide, ressort vertical amorti, suspension automobile : équations identiques au RLC via l'analogie m ↔ L, k ↔ 1/C, h ↔ R.
Stabilité des systèmes asservis (spé) — la notion de marge d'amortissement et le réglage du facteur de qualité d'un correcteur PID prolongent directement la discussion des 3 régimes.
Modes propres en physique des ondes (spé) — corde vibrante amortie, cavités résonantes, modes d'une membrane : chacun se ramène à un oscillateur amorti indépendant pour chaque mode.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS d'électrocinétique, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu retrouver l'équation différentielle $L C \overset{u_{C}}{¨} + R C \overset{u_{C}}{˙} + u_{C} = 0$ à partir de la loi des mailles et des relations constitutives ?
Sais-tu mettre cette équation sous forme canonique $\overset{u}{¨} + (ω_{0} / Q) \overset{u}{˙} + ω_{0}^{2} u = 0$ en 30 secondes ?
Connais-tu par cœur $ω_{0} = 1/ L C$ et $Q = (1/ R) L / C$ pour le RLC série, ainsi que $Q = R C / L$ pour le RLC parallèle ?
Sais-tu énoncer les trois régimes en fonction de $Q$ (apériodique $Q < 1/2$ , critique $Q = 1/2$ , pseudo-périodique $Q > 1/2$ ) et le signe du discriminant correspondant ?
Sais-tu écrire la solution générale dans chacun des trois régimes (deux exponentielles, $(A + B t) e^{- ω_{0} t}$ , enveloppe × cosinus) ?
Sais-tu identifier la pseudo-pulsation $ω = ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2})$ et l'approximation $ω \approx ω_{0}$ pour $Q ≫ 1$ ?
Sais-tu démontrer la formule $δ = π / Q$ (à $Q ≫ 1$ ) du décrément logarithmique et l'utiliser pour mesurer $Q$ sur un oscillogramme ?
Connais-tu les deux continuités fondamentales : $u_{C}$ continue, $i_{L}$ continue (et pas les deux autres) ?
Sais-tu écrire le bilan énergétique $d E / d t = - R i^{2}$ et expliquer pourquoi l'énergie décroît comme $e^{- 2 t / τ}$ ?
Sais-tu décrire qualitativement le portrait de phase dans chacun des 3 régimes (nœud, foyer, spirale) ?
Sais-tu invoquer l'analogie ressort amorti ↔ RLC série (m ↔ L, k ↔ 1/C, h ↔ R) et l'utiliser pour deviner une formule sans repartir des équations ?
Sais-tu reconnaître le régime critique comme « le retour le plus rapide sans dépassement » et citer un système physique qui l'exploite (amortisseur, asservissement) ?

Démonstrations à savoir refaire

Mise en équation du RLC série — loi des mailles + relations constitutives $u_{R} = R i$ , $u_{L} = L d i / d t$ , $i = C d u_{C} / d t$
Discussion des trois régimes — discriminant $Δ = (ω_{0} / Q)^{2} (1 - 4 Q^{2})$ , solution dans chacun des 3 cas
Expression du décrément logarithmique — calcul direct du rapport $u_{C} (t) / u_{C} (t + T) = e^{T / τ}$ , d'où $δ = T / τ = π / Q$ pour $Q ≫ 1$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Mise en équation du circuit RLC série

1.1 — Le circuit canonique

1.2 — Forme canonique

2. Les trois régimes d'amortissement

2.1 — Équation caractéristique et discriminant

2.2 — Solutions explicites et optimalité du régime critique

2.3 — Régime pseudo-périodique

3. Décrément logarithmique (mesure de l'amortissement)

4. Aspects énergétiques et portrait de phase

4.1 — Bilan énergétique

4.2 — Portrait de phase qualitatif

5. Analogie mécanique-électrique

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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