Mouvement des particules chargées

Vue d'ensemble

Le mouvement d'une particule chargée dans des champs électrique et magnétique est l'un des rares chapitres de mécanique MPSI où l'électromagnétisme rencontre la cinématique : on applique le PFD à une particule (électron, proton, ion) soumise à la force de Lorentz, puis on déduit la trajectoire selon la configuration des champs. C'est aussi le chapitre des grandes applications expérimentales : oscilloscope analogique, cyclotron, spectromètre de masse, accélérateur linéaire. Cette fiche regroupe les 8 résultats incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS comme aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Force de Lorentz F⃗ = q(E⃗ + v⃗×B⃗) ; cas particulier électrostatique et magnétique ; travail de la force magnétique nul ; mouvement dans un champ électrique uniforme (mouvement uniformément accéléré, trajectoire parabolique en champ transverse, énergie cinétique acquise sous une ddp) ; mouvement dans un champ magnétique uniforme orthogonal à la vitesse initiale (mouvement circulaire uniforme, rayon de Larmor, pulsation cyclotron) ; applications : tube cathodique, cyclotron, spectromètre de masse.

Prérequis

Principe fondamental de la dynamique $m a = \sum F$ dans un référentiel galiléen
Théorème de l'énergie cinétique $Δ E_{c} = W$ et notion de force conservative
Produit vectoriel $u \times v$ (norme, direction, sens, règle de la main droite)
Champ électrique uniforme $E$ créé entre deux plaques de condensateur ( $E = - \nabla V$ , uniforme entre armatures planes)
Champ magnétique uniforme $B$ (notion intuitive, valeurs typiques : 1 mT à 1 T)

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1. Force de Lorentz — définitions essentielles

Définition 1.1 — Force de Lorentz

Une particule de charge $q$ et de vitesse $v$ placée dans un champ électromagnétique $(E, B)$ subit la force de Lorentz :

F = q (E + v \times B)

La force se décompose en deux contributions de natures très différentes : $F_{E} = q E$ (force électrique) et $F_{M} = q v \times B$ (force magnétique).

Définition 1.2 — Force électrique (électrostatique)

$F_{E} = q E$ . Indépendante de la vitesse, colinéaire à $E$ , de même sens que $E$ si $q > 0$ , de sens opposé si $q < 0$ . Norme : $∥ F_{E} ∥ = ∣ q ∣ E$ .

Conditions de validité du nom « électrostatique » : l'expression $F_{E} = q E$ reste valable quel que soit le régime (variable ou non) ; on parle d'électrostatique strictement lorsque $E$ ne dépend pas du temps. En MPSI, on traite essentiellement ce cas-là, avec $E$ uniforme et stationnaire (entre les armatures d'un condensateur, par exemple).

Définition 1.3 — Force magnétique (force de Lorentz magnétique)

$F_{M} = q v \times B$ . Dépend de la vitesse, perpendiculaire à $v$ et à $B$ , de norme $∥ F_{M} ∥ = ∣ q ∣ v B sin θ$ où $θ$ est l'angle entre $v$ et $B$ .

Proposition 1.4 — Le travail de la force magnétique est nul ★ À savoir démontrer

Pour tout déplacement de la particule, le travail élémentaire de $F_{M}$ est nul : $δ W_{M} = F_{M} \cdot d r = 0$ . En conséquence, la force magnétique ne modifie pas l'énergie cinétique de la particule.

Démonstration (directe via le produit mixte)

Soit $d r = v d t$ le déplacement élémentaire pendant $d t$ . Le travail élémentaire de la force magnétique vaut :

δ W_{M} = F_{M} \cdot d r = (q v \times B) \cdot v d t .

Or le produit mixte $(v \times B) \cdot v$ est nul puisque $v \times B$ est par construction orthogonal à $v$ (le produit vectoriel de deux vecteurs est perpendiculaire à chacun d'eux). Donc $δ W_{M} = 0$ pour tout $d t$ . Par intégration, $W_{M} = 0$ sur tout déplacement.

Par le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la seule force magnétique, $Δ E_{c} = W_{M} = 0$ , donc l'énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ est conservée, c'est-à-dire la norme $∥ v ∥$ est constante. La force magnétique ne fait que dévier la particule, jamais l'accélérer ni la ralentir.

⚠ Piège #1 du chapitre — « dévier » ≠ « accélérer ». On entend souvent dire que la force magnétique « accélère » la particule sous prétexte qu'elle courbe la trajectoire. C'est vrai au sens cinématique (

a

est non nulle, centripète) mais faux au sens énergétique : la norme

v = ∥ v ∥

reste constante. Dans une copie de concours, écris toujours « la force magnétique dévie la particule sans modifier son énergie cinétique ». Le correcteur attend ce vocabulaire exact.

💡 Ordre de grandeur — pourquoi on néglige le poids. Pour un électron dans

E = 1

V/m :

∥ F_{E} ∥ = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}

N contre

∥ P ∥ \approx 9 \cdot 1 0^{- 30}

N, rapport

\sim 1 0^{10}

. Conclusion : on néglige systématiquement le poids devant la force de Lorentz pour toute particule élémentaire (électron, proton, ion léger), sauf mention explicite contraire.

2. Particule dans un champ électrique uniforme

2.1 — Mouvement uniformément accéléré

Définition 2.0 — Différence de potentiel accélératrice

Entre deux points $A$ et $B$ d'un champ électrostatique, la différence de potentiel (ddp) est $U = V_{A} - V_{B}$ . Pour une particule de charge $q$ , $U$ est dite accélératrice si $q U > 0$ (l'énergie cinétique augmente entre $A$ et $B$ ), retardatrice sinon. Le signe de $U$ se choisit donc selon le signe de $q$ : pour un électron ( $q < 0$ ), on prend $U < 0$ — soit $V_{A} < V_{B}$ — pour accélérer.

Théorème 2.1 — Accélération constante

Dans un référentiel galiléen, une particule de charge $q$ et de masse $m$ plongée dans un champ $E$ uniforme (et sans champ magnétique, et en négligeant le poids) possède une accélération constante :

a = \frac{q}{m} E .

Son mouvement est uniformément accéléré. La trajectoire est :

rectiligne si $v_{0}$ est colinéaire à $E$ (ou si $v_{0} = 0$ ) ;
parabolique sinon ( $v_{0}$ non colinéaire à $E$ ).

2.2 — Énergie cinétique acquise sous une ddp U

Théorème 2.2 — Énergie cinétique acquise E_c = qU ★ À savoir démontrer

Une particule de charge $q$ accélérée depuis le repos entre deux points $A$ (potentiel $V_{A}$ ) et $B$ (potentiel $V_{B}$ ) acquiert l'énergie cinétique :

E_{c} (B) = q (V_{A} - V_{B}) = q U

où $U = V_{A} - V_{B}$ est la différence de potentiel (ddp) accélératrice. On choisit le signe de $U$ tel que $q U > 0$ (sinon la particule décélère).

Démonstration (théorème de l'énergie cinétique + force conservative)

La force électrique $F_{E} = q E$ est conservative (elle dérive du potentiel électrostatique : $E = - \nabla V$ ). Son travail entre $A$ et $B$ s'écrit donc, indépendamment du chemin :

W_{A \to B} (F_{E}) = q (V_{A} - V_{B}) = q U .

Par le théorème de l'énergie cinétique, en négligeant le poids et toute autre force (en particulier toute force magnétique : on est en champ $E$ seul) :

Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = W_{A \to B} (F_{E}) = q U .

Si la particule part du repos en $A$ , $E_{c} (A) = 0$ et donc :

E_{c} (B) = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} = q U ⟹ v_{B} = \frac{2 q U}{m} .

Remarque importante : la formule $E_{c} = q U$ ne dépend que de la ddp, pas de la géométrie du champ — c'est ce qui permet de l'utiliser sans connaître précisément le profil de $E$ entre les armatures.

💡 Exemple — accélérateur linéaire (LINAC). Électron du repos sous

U = 10

kV :

E_{c} = q U = 1, 6 \cdot 1 0^{- 15}

J (10 keV) ;

v = 2 q U / m \approx 5, 9 \cdot 1 0^{7}

m/s, soit

\approx 0, 2 c

(au-delà, traitement relativiste — hors-prog MPSI).

2.3 — Trajectoire parabolique (champ E transverse)

Théorème 2.3 — Trajectoire parabolique (déviation type tube cathodique) ★ À savoir démontrer

Une particule entre dans une zone de champ $E$ uniforme avec une vitesse initiale $v_{0}$ orthogonale à $E$ . Sa trajectoire dans la zone est un arc de parabole.

Démonstration (intégration directe du PFD)

Choisis le repère cartésien tel que $v_{0} = v_{0} e_{x}$ et $E = - E e_{y}$ (champ vers le bas, par exemple). La particule entre à l'origine au temps $t = 0$ .

Le PFD donne $m a = q E$ , soit :

\overset{x}{¨} = 0, \overset{y}{¨} = - \frac{q E}{m} .

Première intégration (vitesse) avec $\overset{x}{˙} (0) = v_{0}$ et $\overset{y}{˙} (0) = 0$ :

\overset{x}{˙} (t) = v_{0}, \overset{y}{˙} (t) = - \frac{q E}{m} t .

Seconde intégration (position) avec $x (0) = y (0) = 0$ :

x (t) = v_{0} t, y (t) = - \frac{q E}{2 m} t^{2} .

On élimine $t = x / v_{0}$ entre les deux équations pour obtenir l'équation cartésienne de la trajectoire :

y (x) = - \frac{q E}{2 m v _{0}^{2}} x^{2}

C'est une parabole d'axe vertical, de concavité fixée par le signe de $q$ (vers le bas si $q > 0$ avec $E$ vers le bas — analogue d'un projectile dans la pesanteur, à la transcription $g \leftrightarrow q E / m$ près).

💡 Exemple — déviation dans un oscilloscope analogique (tube cathodique). Entre deux plaques de longueur

L

, séparées de

d

, sous une tension de déviation

U_{d}

, on a

E = U_{d} / d

. Un électron accéléré préalablement sous

U_{0}

entre avec

v_{0} = 2 q U_{0} / m

. À la sortie des plaques, la déviation verticale vaut :

Y = - \frac{q E L ^{2}}{2 m v _{0}^{2}} = - \frac{U _{d} L ^{2}}{4 U _{0} d}

(en grandeur et signe). On voit que

Y

est proportionnel à

U_{d}

: c'est ce qui permet à l'oscilloscope d'afficher une tension en déviation verticale du spot — la base physique du chapitre.

📐 Méthode-type — Résoudre un exo « particule dans un champ E uniforme ».

Choisir le repère : un axe avec $E$ , un autre avec $v_{0}$ (PFD séparé en deux équations indépendantes).
PFD : $m a = q E$ (poids négligé). Sens de $a$ : celui de $E$ si $q > 0$ , opposé si $q < 0$ .
Intégrer deux fois avec les CI (position et vitesse à $t = 0$ ).
Éliminer $t$ entre $x (t)$ et $y (t)$ : parabole dans le cas transverse, droite dans le cas longitudinal.
Pour les énergies, utiliser $E_{c} = q U$ directement (raccourci sur tout problème de ddp accélératrice).

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3. Particule dans un champ magnétique uniforme

3.1 — Norme de la vitesse constante

Proposition 3.1 — |v⃗| constant dans un champ B⃗

Dans un champ $B$ uniforme (et sans champ électrique, poids négligé), la norme de la vitesse $v = ∥ v ∥$ est constante : c'est une conséquence directe du fait que la force magnétique ne travaille pas (cf. Proposition 1.4). Le mouvement est dit uniforme en module ; seule la direction de $v$ varie.

3.2 — Mouvement circulaire uniforme (v⃗_0 ⊥ B⃗)

Théorème 3.2 — Mouvement circulaire uniforme dans B⃗ uniforme orthogonal à v⃗_0 ★ À savoir démontrer

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ plongée dans un champ $B$ uniforme, avec une vitesse initiale $v_{0}$ orthogonale à $B$ , décrit un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à $B$ , de :

rayon de Larmor : $R = \frac{m v _{0}}{∣ q ∣ B}$ ,
pulsation cyclotron : $ω_{c} = \frac{∣ q ∣ B}{m}$ ,
période cyclotron : $T_{c} = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}$ (indépendante de $v_{0}$ — c'est la clé du cyclotron).

Démonstration (PFD + caractérisation cinématique du MCU)

Étape 1 — La norme de la vitesse est constante. La force magnétique ne travaillant pas (Prop 1.4), $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ est constante, donc $v = ∥ v ∥$ est constante au cours du mouvement.

Étape 2 — Le mouvement reste dans un plan. Décomposons $v = v_{∥} + v_{⊥}$ en parties parallèle et perpendiculaire à $B$ . On a $v \times B = v_{⊥} \times B$ (car $v_{∥} \times B = 0$ ). Donc la force $F_{M} = q v_{⊥} \times B$ est elle-même perpendiculaire à $B$ . Par projection du PFD sur $B$ , $m \dot{v}_{∥} = 0$ , soit $v_{∥}$ constant. Comme par hypothèse $v_{0} ⊥ B$ , on a $v_{∥} = 0$ à tout instant : le mouvement reste dans le plan perpendiculaire à $B$ passant par la position initiale.

Étape 3 — Accélération centripète constante en module. Le PFD dans ce plan donne :

m a = q v \times B .

La force est perpendiculaire à $v$ et de norme $∣ q ∣ v B$ (puisque $v ⊥ B$ ). Donc $a$ est perpendiculaire à $v$ et de norme constante $a = ∣ q ∣ v B / m$ .

Étape 4 — Caractérisation du MCU. Un mouvement plan à norme de vitesse constante et à accélération perpendiculaire à la vitesse de norme constante est un mouvement circulaire uniforme (résultat de cinématique du point : l'accélération est purement centripète, $a = - \frac{v ^{2}}{R} e_{r}$ ). Identification :

\frac{v ^{2}}{R} = \frac{∣ q ∣ v B}{m} ⟹ R = \frac{m v}{∣ q ∣ B}

La pulsation $ω_{c}$ du mouvement est définie par $v = R ω_{c}$ , d'où :

ω_{c} = \frac{v}{R} = \frac{∣ q ∣ B}{m}, T_{c} = \frac{2 π}{ω _{c}} = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B} .

Sens de rotation : il dépend du signe de $q$ et du sens de $B$ . Pour $q > 0$ avec $B$ sortant du plan, la rotation est dans le sens horaire ; inverser $q$ ou $B$ inverse le sens. À déterminer au cas par cas avec la règle de la main droite sur $F_{M} = q v \times B$ .

Définition 3.3 — Rayon de Larmor et pulsation cyclotron

Le rayon de Larmor (ou rayon de giration) d'une particule chargée dans $B$ uniforme est $R = m v_{⊥} / (∣ q ∣ B)$ , où $v_{⊥}$ est la composante de sa vitesse perpendiculaire à $B$ . La pulsation cyclotron (ou pulsation de gyration) est $ω_{c} = ∣ q ∣ B / m$ ; elle ne dépend que du rapport $q / m$ de la particule et du champ.

📝 Remarque — la période cyclotron est indépendante de v.

T_{c} = 2 π m / (∣ q ∣ B)

ne dépend que du rapport

q / m

de la particule et de

B

. Une particule plus rapide décrit un cercle plus grand (rayon

R = m v /∣ q ∣ B

plus grand) en exactement le même temps. C'est ce qui permet de la resynchroniser à chaque demi-tour avec une tension alternative dans le cyclotron : la fréquence d'alimentation est figée, indépendante de l'énergie acquise.

3.3 — Cas général (v⃗_0 quelconque) : hélice circulaire

Proposition 3.3 — Mouvement hélicoïdal

Si $v_{0}$ n'est pas perpendiculaire à $B$ , on décompose $v_{0} = v_{0, ∥} + v_{0, ⊥}$ . La composante parallèle reste constante (le mouvement est uniforme selon l'axe de $B$ ), la composante perpendiculaire décrit un cercle de rayon $R = m v_{0, ⊥} / (∣ q ∣ B)$ . La trajectoire résultante est une hélice circulaire d'axe $B$ , de rayon $R$ et de pas $p = v_{0, ∥} T_{c}$ . C'est ce mouvement qui piège les particules chargées dans les ceintures de Van Allen (en MPSI : énoncé qualitatif uniquement).

⚠ Piège #2 — confondre rayon de Larmor et pulsation cyclotron. Tous les ans des élèves écrivent

ω_{c} = m v / (q B)

R = q B / m

. Repère mnémotechnique :

$R$ est une longueur : sa formule contient $v$ (longueur/temps) au numérateur et $B$ (qui contient un temps via la pulsation) au dénominateur — $R = m v /∣ q ∣ B$ .
$ω_{c}$ est l'inverse d'un temps : sa formule ne contient pas $v$ (la période ne dépend pas de la vitesse !) — $ω_{c} = ∣ q ∣ B / m$ .

Vérifie toujours par analyse dimensionnelle avant de conclure.

4. Particule dans E⃗ et B⃗ combinés (vue qualitative)

Le cas général $E + B$ uniformes croisés sort du programme MPSI en traitement quantitatif, mais on en retient un cas qualitatif essentiel (filtre de vitesse dans le spectromètre de masse) :

Proposition 4.1 — Filtre de vitesse (sélecteur de Wien)

Soit une particule chargée $q$ entrant avec une vitesse $v = v e_{x}$ dans une zone où coexistent un champ $E = E e_{y}$ et un champ $B = B e_{z}$ (les trois axes orthogonaux directs). La force de Lorentz totale s'écrit :

F = q E + q v \times B = q (E - v B) e_{y} .

La trajectoire est rectiligne uniforme si et seulement si :

v = \frac{E}{B}

Toutes les autres particules sont déviées et éliminées par un diaphragme placé en sortie. Ce dispositif sélectionne une vitesse précise, indépendamment de la masse et de la charge — c'est le filtre de vitesse utilisé en amont de nombreux spectromètres.

📝 Remarque — dérive croisée. En

E

B

croisés uniformes, le mouvement se décompose en rotation cyclotron + dérive rectiligne uniforme à

v_{d} = E \times B / B^{2}

(hors programme MPSI mais culture utile : physique des plasmas, fusion contrôlée).

5. Applications expérimentales

5.1 — Tube cathodique et oscilloscope

💡 Tube cathodique (oscilloscope analogique). Un canon à électrons accélère les électrons sous une tension

U_{0}

(typiquement 1 à 5 kV) — leur vitesse en sortie est

v_{0} = 2 q U_{0} / m

. Ils entrent ensuite dans deux paires de plaques de déviation (horizontale et verticale), chacune créant un champ

E

transverse uniforme entre ses armatures. Dans chaque paire, la trajectoire est parabolique (résultat du Théorème 2.3). À la sortie, les électrons se propagent en ligne droite jusqu'à l'écran phosphorescent, où ils forment un spot lumineux dont la position est proportionnelle aux tensions de déviation. La déviation horizontale est typiquement asservie à une rampe de tension (balayage temporel), la verticale au signal à visualiser — d'où l'affichage

s (t)

classique.

5.2 — Cyclotron

💡 Cyclotron (Lawrence, 1932). Deux demi-disques creux (« dees ») dans un champ

B

uniforme perpendiculaire, séparés par un intervalle où règne une tension alternative

u (t) = U_{0} cos (ω_{c} t)

. Principe :

Dans l'intervalle, la particule est accélérée par $E$ et gagne $q U_{0}$ .
Dans le dee, $E = 0$ (cage de Faraday) : demi-cercle de rayon $R = m v / (∣ q ∣ B)$ en temps $T_{c} /2$ , indépendant de $v$ .
Quand elle ressort, la tension a changé de signe : nouvelle accélération de $q U_{0}$ , demi-cercle plus grand. Et ainsi de suite.

Après

N

traversées :

E_{c} = N q U_{0}

et rayon final

R_{f} = 2 m E_{c} / (∣ q ∣ B)

. La résonance

ω_{alim} = ω_{c}

tient pendant toute l'accélération — c'est l'idée géniale de Lawrence.

📝 Remarque — limite relativiste du cyclotron. Aux énergies élevées,

m \to γ m

ω_{c}

diminue : le cyclotron classique perd la résonance. On corrige avec un synchrocyclotron (

ω_{alim}

variable) ou un cyclotron isochrone (

B

variable). Hors programme MPSI.

5.3 — Spectromètre de masse

💡 Spectromètre de masse. Trois étages :

Accélération sous une ddp $U_{0}$ : énergie acquise $E_{c} = q U_{0}$ , vitesse $v = 2 q U_{0} / m$ (dépend de la masse).
Filtre de vitesse (sélecteur de Wien, Prop 4.1) : ne passent que les particules de vitesse $v = E / B^{'}$ .
Déflexion magnétique dans $B^{''}$ uniforme : demi-cercle de rayon $R = m v / (∣ q ∣ B^{''})$ . À $v$ et $q$ fixés, $R \propto m$ — un détecteur mesure $R$ , on remonte à la masse.

L'appareil sépare des isotopes (

^{12}

^{13}

^{235}

^{238}

U) : application phare en biologie analytique, géochimie et physique nucléaire.

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6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de mécanique impliquant des particules chargées. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier la valeur absolue dans le rayon de Larmor. Beaucoup d'élèves écrivent

R = m v / (q B)

— c'est faux pour les charges négatives (cela donnerait un rayon négatif). La formule correcte est

R = m v / (∣ q ∣ B)

. Le signe de

q

intervient séparément, sur le sens de rotation, à déterminer par la règle de la main droite sur

F_{M}

⚠ Erreur 2 — Confondre énergie cinétique acquise et travail de la force E⃗.

E_{c} = q U

suppose la particule partie du repos. Si la particule a une vitesse initiale

v_{i}

non nulle, c'est

Δ E_{c} = q U

qu'il faut écrire, soit

\frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2} = q U

. Lis bien l'énoncé : « accélérée depuis le repos » ou « entre avec une vitesse

v_{i}

» ne donnent pas la même formule.

⚠ Erreur 3 — Croire que la force magnétique « accélère » au sens énergétique. Tout exo où l'on te demande l'énergie cinétique gagnée dans une zone à

B

seul doit te faire répondre « zéro ». Si l'énoncé évoque une « accélération » dans un champ magnétique, c'est au sens cinématique (vecteur

a \neq = 0

, centripète), pas au sens énergétique. Distinction obligatoire à expliciter dans la rédaction.

⚠ Erreur 4 — Mal orienter v⃗ × B⃗ sur le schéma. Le produit vectoriel

v \times B

suit la règle de la main droite. Erreur fréquente : inverser le sens, ce qui décale la trajectoire entière de 180°. Vérification rapide : applique la règle des trois doigts (index =

v

, majeur =

B

, pouce =

v \times B

) avant de tracer la force. Et n'oublie pas que le signe de

q

peut encore inverser le tout.

⚠ Erreur 5 — Négliger les conditions de validité de $E$ uniforme. Entre les armatures d'un condensateur plan,

E

est uniforme loin des bords. L'approximation est valable tant que

L ≫ d

(longueur des armatures grande devant l'écart). Aux bords, le champ « fuit » et la trajectoire n'est plus parfaitement parabolique. Mentionne brièvement cette hypothèse dans une question d'analyse critique — c'est valorisé.

7. Pour aller plus loin

Le mouvement des particules chargées est l'archétype d'un couplage mécanique – électromagnétisme. Les chapitres qui le réinvestissent directement (en MPSI et en spé) :

Mécanique du point — forces centrales (spé) — La force magnétique sur une particule dans $B$ uniforme est l'analogue conservatif (en module) d'une force centripète ; les méthodes énergétiques s'appliquent à l'identique.
Électromagnétisme — induction (spé) — Le mouvement d'un conducteur dans $B$ génère une fem motionnelle $e = \oint (v \times B) \cdot d ℓ$ ; c'est la même force $q v \times B$ qui agit sur les porteurs de charge à l'intérieur du conducteur.
Physique des plasmas (post-bac) — Les trajectoires hélicoïdales en champ $B$ sont la base du confinement magnétique (tokamak, stellarator), avec en sus la dérive $E \times B / B^{2}$ .
Mécanique relativiste (PSI/PC en spé, hors-prog MPSI) — La formule $R = m v / (∣ q ∣ B)$ devient $R = p / (∣ q ∣ B)$ avec $p$ impulsion relativiste ; $ω_{c}$ devient $∣ q ∣ B / (γ m)$ , d'où la perte de résonance du cyclotron classique aux hautes énergies.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la force de Lorentz $F = q (E + v \times B)$ et la décomposer en $F_{E} + F_{M}$ ?
Sais-tu justifier en 2 lignes que la force magnétique ne travaille pas, donc ne modifie pas l'énergie cinétique ?
Sais-tu retrouver $E_{c} = q U$ à partir du théorème de l'énergie cinétique sur la force conservative $q E$ ?
Sais-tu intégrer le PFD pour obtenir la trajectoire parabolique $y (x) = - q E x^{2} / (2 m v_{0}^{2})$ ?
Sais-tu démontrer que dans $B$ uniforme orthogonal à $v_{0}$ , le mouvement est circulaire uniforme ?
Connais-tu par cœur le rayon de Larmor $R = m v / (∣ q ∣ B)$ et la pulsation cyclotron $ω_{c} = ∣ q ∣ B / m$ ?
Sais-tu expliquer pourquoi la période cyclotron est indépendante de v et pourquoi c'est la clé du cyclotron ?
Sais-tu donner la condition du sélecteur de vitesse $v = E / B$ et l'utilisation en spectromètre de masse ?
Sais-tu décrire le principe du tube cathodique (canon $\to$ accélération $\to$ déviation parabolique $\to$ écran) ?
Sais-tu vérifier par analyse dimensionnelle que $[R] = m$ et $[ω_{c}] = s^{- 1}$ ?
Sais-tu justifier qu'on néglige le poids devant la force de Lorentz pour un électron ou un ion léger ?

Démonstrations à savoir refaire

Travail nul de la force magnétique — produit mixte $(v \times B) \cdot v = 0$
Énergie cinétique acquise E_c = qU — théorème de l'énergie cinétique sur la force conservative $q E$
Trajectoire parabolique en champ E transverse — intégration du PFD + élimination de t
Mouvement circulaire uniforme dans B uniforme — norme constante + accélération centripète constante $\Rightarrow R = m v / (∣ q ∣ B), ω_{c} = ∣ q ∣ B / m$