Un monde quantique : fonction d'onde

Vue d'ensemble

Après les expériences fondatrices (corps noir, photoélectrique, Young photon par photon, Davisson-Germer), il faut un cadre mathématique capable de décrire à la fois l'aspect ondulatoire et l'aspect probabiliste d'une particule. Ce cadre, c'est la fonction d'onde ψ(x,t) — l'objet central de toute la mécanique quantique moderne. Cette fiche couvre le postulat fondamental (interprétation probabiliste de Born), la condition de normalisation, les états stationnaires d'énergie bien définie, l'application emblématique de la particule dans un puits de potentiel infini 1D (qui donne la quantification explicite $E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ ), l'énergie de point zéro et son lien avec Heisenberg, et le modèle boîte 1D pour la couleur du carotène. Au total : 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges récurrents en DS.

Au programme MPSI (officiel) — Fonction d'onde ψ(x,t) d'une particule quantique en 1D. Interprétation probabiliste de Born :

∣ ψ (x, t) ∣^{2}

est une densité de probabilité de présence. Condition de normalisation

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = 1

. États stationnaires d'énergie E. Particule dans un puits de potentiel infini 1D : conditions aux limites ψ(0) = ψ(L) = 0, quantification

E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})

, fonctions propres

ψ_{n} (x) = 2/ L sin (nπ x / L)

. Énergie du fondamental, énergie de point zéro, lien avec l'inégalité de Heisenberg. Application : modèle de la boîte 1D pour la couleur du β-carotène.

Prérequis

Dualité onde-corpuscule, relation de de Broglie $λ = h / p$ , relation de Planck-Einstein $E = h ν$ (chapitre quantique 1)
Inégalité de Heisenberg position-impulsion $Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2$
Ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités (formation de nœuds et ventres)
Intégration : intégrale d'un sinus carré, intégrales à bornes $\pm \infty$ (probabilité totale)
Notion de densité de probabilité (en statistiques : densité × largeur = probabilité)

🎯 Accompagnement Majorant

La fonction d'onde, ça paraît abstrait — et pourtant c'est LE chapitre qui tombe le plus à l'oral. Le jury veut entendre les bons mots : « densité de probabilité », « états stationnaires », « confinement → énergie minimale ». Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font travailler ce vocabulaire en cours particuliers, avec exos type CCINP sur le puits infini et le carotène.

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1. La fonction d'onde — postulat fondamental

1.1 — Définition et interprétation probabiliste

Définition 1.1 — Fonction d'onde ψ(x,t)

À toute particule quantique évoluant à une dimension est associée une fonction ψ(x,t), à valeurs complexes, appelée fonction d'onde. Elle dépend de la position $x$ et du temps $t$ , et concentre toute l'information physique accessible sur la particule (position, impulsion, énergie). On la note aussi $Ψ (x, t)$ selon les auteurs.

Définition 1.2 — Densité de probabilité de présence (postulat de Born)

Le module au carré de la fonction d'onde est une densité de probabilité de présence :

d P (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x

est la probabilité de trouver la particule, à l'instant $t$ , dans une tranche $[x, x + d x]$ . La probabilité que la particule se trouve dans un intervalle $[a, b]$ à l'instant $t$ vaut donc :

P (a \leq x \leq b; t) = \int_{a}^{b} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x .

📝 Pourquoi le module au carré, et pas $ψ$ seul ? La fonction d'onde est à valeurs complexes :

ψ

n'est pas une probabilité (elle peut être négative, voire imaginaire pure). Seule la quantité positive

∣ ψ ∣^{2} = ψ \cdot ψ^{*}

a un sens physique de probabilité. C'est exactement la même idée qu'en optique ondulatoire : on additionne les amplitudes complexes des ondes, puis on prend le module au carré pour obtenir l'intensité (proportionnelle à la probabilité d'arrivée d'un photon).

1.2 — Condition de normalisation

Théorème 1.3 — Normalisation de la fonction d'onde

La particule existe — donc la probabilité totale de la trouver quelque part sur l'axe vaut 1. Toute fonction d'onde physiquement admissible doit donc être de carré intégrable et satisfaire :

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x = 1 (pour tout instant t).

Cette condition s'appelle la condition de normalisation. Elle fixe la constante multiplicative globale de ψ.

⚠ Piège #1 — Normalisation ≠ « ça marche pour un seul $t$ ». La condition

\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1

doit être vraie à chaque instant. Heureusement, l'équation de Schrödinger (admise en MPSI) garantit la conservation de la norme : si ψ est normalisée à

t = 0

, elle reste normalisée à tout

t

. Tu n'as donc qu'à imposer la normalisation à un seul instant (généralement

t = 0

📐 Méthode-type — Normaliser une fonction d'onde. On te donne

ψ (x, t) = A \cdot f (x, t)

avec

A

constante à déterminer.

Écrire la condition : $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ A ∣^{2} ∣ f (x, t) ∣^{2} d x = 1$ .
Sortir la constante : $∣ A ∣^{2} \int ∣ f ∣^{2} d x = 1$ .
Calculer l'intégrale (souvent un sinus carré, une exponentielle gaussienne…).
En déduire $∣ A ∣ = 1/ \int ∣ f ∣^{2} d x$ . On prend en général $A$ réel positif (la phase globale n'a pas de sens physique).

Rappel utile :

\int_{0}^{L} sin^{2} (k x) d x = L /2

dès que

k L = nπ

avec

n

entier non nul.

💡 Exemple — Fonction d'onde sinusoïdale dans $[0, L]$ . Soit

ψ (x) = A sin (π x / L)

pour

x \in [0, L]

ψ (x) = 0

sinon. Alors :

\int_{0}^{L} A^{2} sin^{2} (π x / L) d x = A^{2} \cdot L /2 = 1 ⟹ A = 2/ L .

On obtient

ψ_{1} (x) = 2/ L sin (π x / L)

— exactement la fonction du fondamental du puits infini que nous verrons en section 3.

⚠ Piège #2 — Unités de $∣ ψ ∣^{2}$ .

∣ ψ (x, t) ∣^{2}

n'est pas une probabilité : c'est une densité de probabilité. À 1D, son unité est donc l'inverse d'une longueur (m⁻¹). Conséquence directe : la fonction d'onde ψ elle-même a pour unité m

^{- 1/2}

. Beaucoup d'élèves écrivent « la probabilité vaut |ψ|² » et perdent des points à chaque rapport CCINP.

2. États stationnaires d'énergie E

Définition 2.1 — État stationnaire

Un état stationnaire est un état quantique d'énergie $E$ bien définie. Sa fonction d'onde se factorise en un produit d'une partie spatiale $φ (x)$ et d'une partie temporelle phase pure :

ψ (x, t) = φ (x) \cdot e^{- i E t /ℏ} .

avec $ℏ = h / (2 π)$ la constante de Planck réduite et $E$ l'énergie de l'état.

Définition 2.2 — Niveau d'énergie et quantification

Un niveau d'énergie est une valeur $E$ pour laquelle il existe (au moins) un état stationnaire physiquement admissible (ψ normalisable et conditions aux limites vérifiées). L'énergie est quantifiée si l'ensemble des niveaux ${E_{n}}_{n \geq 1}$ est discret : seules certaines valeurs précises d'énergie sont permises, à la différence du cas classique où le continuum énergétique $[0, + \infty [$ est entièrement accessible.

Proposition 2.3 — La densité de probabilité d'un état stationnaire ne dépend pas du temps

Pour un état stationnaire $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , on a :

∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2} \cdot = 1 ∣ e^{- i E t /ℏ} ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2} .

La densité de probabilité de présence est indépendante du temps. C'est exactement ce qui justifie l'adjectif « stationnaire » : ce n'est pas la fonction d'onde qui est figée (elle oscille en phase), c'est l'observable « probabilité de présence » qui ne bouge pas.

📝 Pourquoi ces états jouent-ils un rôle privilégié ? Toute fonction d'onde quelconque peut se décomposer comme superposition d'états stationnaires (par analogie avec la décomposition de Fourier d'un signal en harmoniques). Les états stationnaires sont donc les briques élémentaires de la mécanique quantique — et ils sont caractérisés par une énergie unique

E

, parfaitement définie. On parle aussi de niveaux d'énergie.

⚠ Piège #3 — « Stationnaire » ne veut pas dire « immobile ». Un état stationnaire n'a aucune position fixe : la particule reste délocalisée selon la densité

∣ φ (x) ∣^{2}

. Ce qui est stationnaire, c'est cette densité — pas la particule elle-même. C'est aussi très différent de « onde stationnaire » au sens classique (corde de violon) : la corde possède bien des nœuds qui ne bougent pas, mais elle vibre ; ici, c'est la probabilité qui est immobile.

3. Particule dans un puits de potentiel infini 1D

3.1 — Le modèle et les conditions aux limites

Définition 3.1 — Puits infini 1D

Une particule de masse $m$ est confinée dans une « boîte » 1D $[0, L]$ par un potentiel $V (x)$ infini à l'extérieur et nul à l'intérieur :

V (x) = {0 + \infty si 0 < x < L, sinon.

C'est l'analogue quantique d'une bille rebondissant entre deux murs parfaitement durs. Modèle simpliste mais étonnamment efficace (cf. carotène, section 4).

Proposition 3.2 — Conditions aux limites ψ(0) = ψ(L) = 0

La particule ne pouvant physiquement jamais se trouver dans une région d'énergie infinie, sa fonction d'onde doit s'y annuler :

φ (x) = 0 pour x \leq 0 ou x \geq L .

Par continuité de ψ, on en déduit les conditions aux limites aux deux bords du puits :

φ (0) = 0 et φ (L) = 0.

Ce sont elles qui vont sélectionner — par quantification — les énergies permises.

3.2 — Quantification de l'énergie

Théorème 3.3 — Niveaux d'énergie et fonctions propres du puits infini 1D ★ À savoir démontrer

Les états stationnaires d'une particule dans un puits infini 1D $[0, L]$ sont indexés par un entier $n \geq 1$ , et leurs énergies sont quantifiées :

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}} (n = 1, 2, 3, \dots)

Les fonctions d'onde spatiales associées (normalisées) sont :

φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L}) pour x \in [0, L] .

L'entier $n$ s'appelle le nombre quantique principal. Le cas $n = 1$ correspond à l'état fondamental ; les $n \geq 2$ sont les états excités.

Démonstration (heuristique « onde de de Broglie + conditions aux limites »)

À l'intérieur du puits, la particule est libre ( $V = 0$ ) : sa fonction d'onde spatiale se comporte comme une onde de de Broglie de longueur d'onde $λ = h / p$ . On cherche donc une solution stationnaire de la forme :

φ (x) = A sin (k x) + B cos (k x), k = 2 π / λ > 0.

Étape 1 — Première condition aux limites. En $x = 0$ : $φ (0) = B = 0$ , donc $φ (x) = A sin (k x)$ .

Étape 2 — Deuxième condition aux limites. En $x = L$ : $φ (L) = A sin (k L) = 0$ . Comme $A \neq = 0$ (sinon ψ identiquement nulle, pas de particule), il faut :

sin (k L) = 0 ⟺ k L = nπ (n \in Z^{*}) .

On garde les valeurs positives $n \geq 1$ (les $n < 0$ donnent les mêmes fonctions au signe global près — sans pertinence physique car phase globale). D'où la quantification du vecteur d'onde :

k_{n} = \frac{nπ}{L} (n = 1, 2, 3, \dots) .

Étape 3 — Quantification de l'énergie. Dans le puits, $V = 0$ donc l'énergie est purement cinétique : $E = p^{2} / (2 m)$ . Or la relation de de Broglie donne $p = h / λ = ℏ k$ , donc :

E_{n} = \frac{p _{n}^{2}}{2 m} = \frac{ℏ ^{2} k _{n}^{2}}{2 m} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{n ^{2} π ^{2}}{L ^{2}} .

En remplaçant $ℏ = h / (2 π)$ : $ℏ^{2} π^{2} = h^{2} /4$ , donc :

E_{n} = \frac{h ^{2} /4}{2 m} \cdot \frac{n ^{2}}{L ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}} .

Étape 4 — Normalisation. On impose $\int_{0}^{L} ∣ A ∣^{2} sin^{2} (nπ x / L) d x = 1$ . L'intégrale du sinus carré sur un nombre entier de demi-périodes vaut $L /2$ , d'où $∣ A ∣^{2} \cdot L /2 = 1$ , donc $A = 2/ L$ (choix de $A$ réel positif). On obtient bien :

φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L}) .

Remarque méthode : c'est exactement la même démarche que les ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités — d'où l'intuition de la quantification.

💡 Exemple — Premier niveau et écart entre niveaux. Pour

n = 1

(fondamental) :

E_{1} = h^{2} / (8 m L^{2})

. Pour

n = 2

(premier excité) :

E_{2} = 4 E_{1}

. L'écart entre deux niveaux consécutifs vaut :

E_{n + 1} - E_{n} = \frac{( 2 n + 1 ) h ^{2}}{8 m L ^{2}} = (2 n + 1) E_{1} .

Les niveaux s'écartent quand

n

croît — contrairement à l'atome d'hydrogène où ils se resserrent vers la limite d'ionisation.

3.3 — Énergie de point zéro et lien avec Heisenberg

Théorème 3.4 — Énergie minimale strictement positive ★ À savoir démontrer

L'énergie du fondamental est strictement positive :

E_{1} = \frac{h ^{2}}{8 m L ^{2}} > 0.

C'est l'énergie de point zéro : même au zéro absolu, une particule confinée ne peut pas être au repos. Ce résultat est exigible : il faut savoir l'expliquer via l'inégalité de Heisenberg.

Démonstration (estimation par l'inégalité de Heisenberg)

Étape 1 — Incertitude sur la position. La particule est confinée dans $[0, L]$ , donc son indétermination en position vérifie $Δ x ≲ L$ (ordre de grandeur).

Étape 2 — Inégalité de Heisenberg. L'inégalité $Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2$ impose alors :

Δ p ≳ \frac{ℏ}{2Δ x} ≳ \frac{ℏ}{2 L} .

Étape 3 — Énergie cinétique minimale. Comme $⟨ p ⟩ = 0$ par symétrie (la particule a autant de chance d'aller à gauche qu'à droite), on a $⟨ p^{2} ⟩ = (Δ p)^{2}$ . L'énergie cinétique minimale est donc :

E_{min} = \frac{⟨ p ^{2} ⟩}{2 m} ≳ \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m} ≳ \frac{ℏ ^{2}}{8 m L ^{2}} .

Étape 4 — Comparaison à $E_{1}$ . Or $E_{1} = h^{2} / (8 m L^{2}) = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ : c'est le même ordre de grandeur que $E_{min}$ , au facteur $π^{2}$ près (lié à la forme exacte de la fonction d'onde fondamentale). Heisenberg impose donc une énergie cinétique strictement positive dès qu'on confine la particule — c'est le contenu physique de $E_{1} > 0$ .

Lecture intuitive : confiner = imposer $Δ x$ petit = imposer $Δ p$ grand = imposer une énergie cinétique grande. Le mot-clé en copie est « confinement ».

⚠ Piège #4 — Le résultat $E_{1} > 0$ est un effet purement quantique. En physique classique, une particule peut être au repos au fond d'un puits (

E = 0

). Quantiquement, c'est impossible : ce serait

Δ p = 0

tandis que

Δ x \leq L

est borné, ce qui violerait Heisenberg. Aux concours, si l'énoncé parle de « confinement », il y a 90 % de chances que la question suivante porte sur

E_{min} > 0

— anticipe.

🧑‍🏫 Décortique cette démo avec un mentor

Le lien puits infini ↔ Heisenberg est LA question qui fait basculer une oral Mines-Ponts. Le jury veut t'entendre dire les bons mots dans le bon ordre : confinement → $Δ x ≲ L$ → $Δ p ≳ ℏ/ L$ → énergie minimale. Une séance ciblée avec un mentor Majorant alumni de l'X et tu maîtrises le récit.

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4. Application — La couleur du β-carotène (boîte 1D)

Le β-carotène est la molécule responsable de la couleur orange de la carotte. Elle est constituée d'une longue chaîne carbonée d'environ $L \approx 1, 8$ nm sur laquelle 22 électrons $π$ peuvent se déplacer librement — exactement comme dans un puits 1D. C'est le premier succès quantitatif du modèle de la boîte.

📐 Méthode-type — Prédire la longueur d'onde absorbée par le carotène.

Modéliser : les électrons $π$ sont libres dans une « boîte 1D » de longueur $L$ , confinés par les bords de la chaîne conjuguée.
Remplir les niveaux selon le principe de Pauli : 2 électrons par niveau $n$ (spins opposés). Avec 22 électrons $π$ , les niveaux $n = 1$ à $n = 11$ sont occupés (le HOMO est $n = 11$ ).
Transition électronique : un photon est absorbé pour faire passer un électron du HOMO $n = 11$ au LUMO $n = 12$ . L'énergie du photon est : $h ν = E_{12} - E_{11} = (1 2^{2} - 1 1^{2}) \frac{h ^{2}}{8 m L ^{2}} = \frac{23 h ^{2}}{8 m L ^{2}} .$
Conclure sur $λ = c / ν$ ; pour le carotène, $λ \approx 450$ nm — c'est-à-dire bleu. Or : une molécule qui absorbe le bleu apparaît orange (couleur complémentaire). C'est exactement la couleur observée.

💡 Exemple — Ordre de grandeur numérique. Avec

L = 1, 8

nm,

m = m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}

kg,

h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}

J·s :

\frac{h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}} \approx 1, 9 \cdot 1 0^{- 20} J \approx 0, 12 eV,

d'où

Δ E = 23 \times 0, 12 \approx 2, 8

eV, soit

λ \approx 1240/2, 8 \approx 440

nm. L'accord avec la valeur expérimentale (≈ 450 nm) est remarquable pour un modèle aussi simple — c'est pour ça que la boîte 1D est devenue un classique pédagogique.

📝 Pourquoi ça marche ? Le modèle suppose les électrons

π

totalement libres et indépendants — ce qui est faux dans le détail (interactions électron-électron, structure exacte de la chaîne…). Mais la dépendance en

1/ L^{2}

est correcte, et les facteurs numériques se compensent en partie. C'est l'un des exemples les plus simples où la quantique prédit une couleur observable.

⚠ Piège #5 — Couleur observée ≠ couleur absorbée. Une solution qui absorbe le bleu (≈ 450 nm) apparaît orange (couleur complémentaire). Ne te trompe pas dans l'inversion : un classique des oraux X-ENS est de demander la couleur perçue à partir du spectre d'absorption. Mémorise le cercle chromatique : bleu ↔ orange, rouge ↔ vert, jaune ↔ violet.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de physique quantique. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre ψ et $∣ ψ ∣^{2}$ . ψ est une amplitude complexe sans signification physique directe ; seule la densité de probabilité

∣ ψ ∣^{2}

se mesure. Reformulation : « la probabilité de trouver la particule autour de

x

sur une largeur

d x

vaut

∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x

», jamais « ψ est la probabilité ».

⚠ Erreur 2 — Oublier la normalisation. Donner

ψ_{n} (x) = sin (nπ x / L)

sans le facteur

2/ L

: la fonction n'est plus normalisée et toute probabilité calculée derrière est fausse. Le

2/ L

fait partie de la formule à connaître par cœur, pas une option.

⚠ Erreur 3 — « $E_{n}$ augmente quand $L$ augmente ». FAUX :

E_{n} \propto 1/ L^{2}

, donc quand le puits s'élargit, les énergies diminuent. Intuition physique : plus la particule a de place (

Δ x

grand), plus son impulsion peut être petite, donc moins d'énergie cinétique minimale. C'est exactement le contenu de Heisenberg, et c'est pour ça que le carotène (long) absorbe dans le visible et pas dans l'UV (qui demanderait des

L

plus petits).

⚠ Erreur 4 — Démarrer la numérotation à $n = 0$ . Le cas

n = 0

donne

φ_{0} \equiv 0

(sinus identiquement nul) : il n'y a pas de particule, donc ce n'est pas un état physique. La numérotation commence à $n = 1$ et le niveau

n = 1

est déjà excité par rapport au repos classique — c'est tout le sens du point zéro.

⚠ Erreur 5 — Confondre « état stationnaire » avec « particule immobile ». Dans un état stationnaire, c'est la densité de probabilité qui est indépendante du temps, pas la particule. Cette dernière reste délocalisée selon

∣ φ_{n} (x) ∣^{2}

, avec des nœuds (où elle ne peut jamais se trouver) et des ventres (où elle a une forte probabilité de présence). Aucun mouvement classique, mais aucun repos non plus.

6. Pour aller plus loin

La fonction d'onde est l'infrastructure de toute la mécanique quantique. Le programme MPSI se limite au puits infini 1D, mais le cadre s'étend (en spé MP/PC/PSI et au-delà) à des situations bien plus riches :

Puits fini, marche et barrière de potentiel — effet tunnel, exponentielles décroissantes dans les zones classiquement interdites, diodes tunnel et microscope à effet tunnel (STM).
Oscillateur harmonique quantique — niveaux $E_{n} = (n + 1/2) ℏ ω$ , point zéro $ℏ ω /2$ , fonctions d'Hermite. Modèle central pour les vibrations moléculaires (spectroscopie IR).
Atome d'hydrogène — généralisation à 3D, niveaux $E_{n} = - E_{0} / n^{2}$ (cette fois ils se resserrent), orbitales s, p, d.
Équation de Schrödinger — hors-prog MPSI, mais c'est l'équation maître dont la fonction d'onde est solution. Elle joue pour la quantique le rôle que jouent les équations de Maxwell pour l'électromagnétisme.
Cristaux et conduction — l'extension du puits 1D à un réseau périodique donne la théorie des bandes (isolants, semi-conducteurs, métaux) : tout l'électronique repose dessus.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer le postulat de Born : $∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x$ = probabilité de présence dans $[x, x + d x]$ ?
Sais-tu écrire la condition de normalisation $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ et normaliser un sinus sur $[0, L]$ ?
Sais-tu donner l'unité de ψ à 1D (m $^{- 1/2}$ ) et de $∣ ψ ∣^{2}$ (m $^{- 1}$ ) ?
Sais-tu définir un état stationnaire $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ et montrer que sa densité de probabilité ne dépend pas du temps ?
Sais-tu poser les conditions aux limites $φ (0) = φ (L) = 0$ pour un puits infini et en déduire $k_{n} = nπ / L$ ?
Sais-tu démontrer la formule $E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ à partir de $E = p^{2} / (2 m)$ et $p = ℏ k$ ?
Connais-tu par cœur la fonction d'onde normalisée $φ_{n} (x) = 2/ L sin (nπ x / L)$ ?
Sais-tu calculer l'écart $E_{n + 1} - E_{n} = (2 n + 1) E_{1}$ et expliquer pourquoi les niveaux s'écartent ?
Sais-tu retrouver l'énergie de point zéro $E_{1} > 0$ via Heisenberg ( $Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2$ ) ?
Sais-tu expliquer le modèle de la boîte 1D pour le carotène (transition HOMO → LUMO, $λ \approx 450$ nm, perçu orange) ?
Sais-tu citer le piège « $E_{n}$ augmente quand $L$ augmente » (FAUX, c'est l'inverse) et le justifier physiquement ?
Sais-tu pourquoi la numérotation commence à $n = 1$ (et pas $n = 0$ ) ?

Démonstrations à savoir refaire

Quantification de l'énergie dans le puits infini — CL ψ(0) = ψ(L) = 0 → sinus → $k_{n} = nπ / L$ → $E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ , normalisation $A = 2/ L$
Énergie de point zéro et lien Heisenberg — confinement $Δ x ≲ L$ → $Δ p ≳ ℏ/ L$ → $E_{min} ≳ ℏ^{2} / (8 m L^{2}) > 0$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. La fonction d'onde — postulat fondamental

1.1 — Définition et interprétation probabiliste

1.2 — Condition de normalisation

2. États stationnaires d'énergie E

3. Particule dans un puits de potentiel infini 1D

3.1 — Le modèle et les conditions aux limites

3.2 — Quantification de l'énergie

3.3 — Énergie de point zéro et lien avec Heisenberg

4. Application — La couleur du β-carotène (boîte 1D)

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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