Filtrage linéaire

Vue d'ensemble

Le filtrage linéaire est le chapitre où l'on apprend à lire un circuit par sa fréquence. En régime sinusoïdal forcé, on bascule en notation complexe : chaque dipôle devient une impédance, le circuit devient une simple division de tensions, et l'effet du filtre se résume à une seule fonction $H (j ω) = \underline{s} / \underline{e}$ . Toute la matière du chapitre tient sur quatre filtres canoniques (passe-bas et passe-haut du 1er ordre, passe-bas du 2e ordre, passe-bande RLC série) et un outil graphique, le diagramme de Bode, qui transforme un produit de fonctions complexes en somme d'asymptotes droites. Cette fiche regroupe les 8 définitions-clés, les 6 théorèmes/formules et les 4 démonstrations à savoir refaire qui reviennent à chaque DS d'électrocinétique et à l'oral CCINP–Mines.

Au programme MPSI (officiel) — Régime sinusoïdal forcé, représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale, impédance complexe d'un dipôle (résistor, bobine, condensateur), associations série et parallèle, fonction de transfert harmonique

H (j ω)

, gain

∣ H ∣

et phase

ar g (H)

, gain en décibels

G_{dB} = 20 lo g_{10} ∣ H ∣

, diagrammes de Bode en gain et en phase, pulsation de coupure à

- 3 dB

, bande passante

Δ ω

, tracé asymptotique, filtres canoniques du 1er et du 2e ordre (passe-bas, passe-haut, passe-bande), résonance, sélectivité

Q = ω_{0} /Δ ω

Prérequis

Lois de Kirchhoff (loi des mailles, loi des nœuds) et relations constitutives en régime variable : $u_{R} = R i$ , $u_{L} = L d i / d t$ , $i = C d u_{C} / d t$
Notation complexe : à $x (t) = X_{m} cos (ω t + φ)$ on associe $\underline{x} (t) = X_{m} e^{j (ω t + φ)}$ avec $x = Re (\underline{x})$ ; règle clé : $d / d t ⟷ \times j ω$
Manipulation des nombres complexes : module $∣ z ∣$ , argument $ar g (z)$ , conjugué $\overset{z}{ˉ}$ , forme $z = a + j b = ∣ z ∣ e^{j θ}$
Logarithme décimal : $lo g_{10} (ab) = lo g a + lo g b$ , $lo g (1 0^{n}) = n$ , tracé de $y = lo g (ω / ω_{0})$ en abscisse logarithmique
Pont diviseur de tension : $\underline{u}_{sortie} = \underline{u}_{entr \overset{e}{ˊ} e} \cdot \underline{Z}_{2} / (\underline{Z}_{1} + \underline{Z}_{2})$ (en complexe, comme en continu)

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1. Régime sinusoïdal forcé et impédance complexe

1.1 — Représentation complexe d'un signal sinusoïdal

Définition 1.1 — Grandeur sinusoïdale en complexe

À une grandeur sinusoïdale réelle $x (t) = X_{m} cos (ω t + φ)$ on associe la grandeur complexe :

\underline{x} (t) = X_{m} e^{j (ω t + φ)} = \underline{X} e^{j ω t}, \underline{X} = X_{m} e^{j φ} .

L'amplitude complexe $\underline{X}$ porte à la fois l'amplitude réelle $X_{m} = ∣ \underline{X} ∣$ et la phase $φ = ar g (\underline{X})$ . On retrouve $x (t) = Re (\underline{x} (t))$ .

📝 Règle d'or de la dérivation. En notation complexe, dériver par rapport au temps revient à multiplier par

j ω

\frac{d x}{d t} = j ω \underline{x}, \int \underline{x} d t = \frac{x}{j ω} .

C'est ce qui transforme les équations différentielles en équations algébriques — toute la puissance du chapitre est là.

1.2 — Impédance complexe d'un dipôle

Définition 1.2 — Impédance complexe

Pour un dipôle linéaire en convention récepteur, en régime sinusoïdal forcé de pulsation $ω$ , on définit son impédance complexe par :

\underline{Z} (j ω) = \frac{u}{i} .

C'est un nombre complexe dépendant de $ω$ . Son module $∣ \underline{Z} ∣$ est l'impédance (en $Ω$ ) qui relie les amplitudes ; son argument $ar g (\underline{Z})$ est le déphasage de la tension par rapport au courant.

Théorème 1.3 — Impédances des trois dipôles linéaires ★ À savoir démontrer

Résistor de résistance $R$ : $\underline{Z}_{R} = R$ (réelle pure, déphasage nul).
Bobine idéale d'inductance $L$ : $\underline{Z}_{L} = j L ω$ (imaginaire pure positive, déphasage $+ π /2$ : le courant est en retard sur la tension).
Condensateur idéal de capacité $C$ : $\underline{Z}_{C} = \frac{1}{j C ω}$ (imaginaire pure négative, déphasage $- π /2$ : le courant est en avance sur la tension).

Démonstration (cas du condensateur — méthode à reproduire pour L)

Relation constitutive du condensateur (convention récepteur) : $i (t) = C d u_{C} / d t$ . En notation complexe avec $d / d t \leftrightarrow \times j ω$ :

\underline{i} = j C ω \underline{u}_{C} ⟹ \underline{Z}_{C} = \frac{u _{C}}{i} = \frac{1}{j C ω} = \frac{- j}{C ω} .

Module $∣ \underline{Z}_{C} ∣ = 1/ (C ω)$ : décroissant en fréquence (le condensateur est un court-circuit en HF, un circuit ouvert en BF). Argument $ar g (\underline{Z}_{C}) = - π /2$ : le courant est en avance de $π /2$ sur la tension. Même méthode pour la bobine, à partir de $u_{L} = L d i / d t$ , donne $\underline{Z}_{L} = j L ω$ .

Proposition 1.4 — Associations d'impédances

Les lois de Kirchhoff sont linéaires : elles se transposent en complexe. Pour deux impédances $\underline{Z}_{1}$ et $\underline{Z}_{2}$ :

En série : $\underline{Z}_{\overset{e}{ˊ} q} = \underline{Z}_{1} + \underline{Z}_{2}$ .
En parallèle : $\frac{1}{Z _{\overset{e}{ˊ} q}} = \frac{1}{Z _{1}} + \frac{1}{Z _{2}}$ , soit $\underline{Z}_{\overset{e}{ˊ} q} = \frac{Z _{1} Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ .
Pont diviseur de tension (deux impédances en série soumises à $\underline{u}_{e}$ ) : $\underline{u}_{sortie} = \underline{u}_{e} \cdot \frac{Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — confondre $j ω$ et $1/ (j ω)$ . Bobine et condensateur sont opposés en fréquence : la bobine bloque le haut (

∣ \underline{Z}_{L} ∣ \to \infty

quand

ω \to \infty

), le condensateur bloque le bas (

∣ \underline{Z}_{C} ∣ \to \infty

quand

ω \to 0

). C'est cette opposition qui fonde les filtres : la sortie « voit » différemment les hautes et basses fréquences selon l'élément choisi en sortie.

2. Fonction de transfert et diagramme de Bode

2.1 — Fonction de transfert harmonique

Définition 2.1 — Fonction de transfert

On appelle fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire le rapport, en régime sinusoïdal forcé, entre l'amplitude complexe de la sortie et celle de l'entrée :

H (j ω) = \frac{s}{e} .

C'est une fonction de la variable réelle $ω$ , à valeurs dans $C$ . On l'écrit aussi $\underline{H} (ω)$ ou $H (j x)$ avec $x = ω / ω_{0}$ pulsation réduite.

Définition 2.2 — Gain et phase

Gain (réel) : $G (ω) = ∣ H (j ω) ∣$ . Sans dimension, $\geq 0$ . C'est le rapport des amplitudes $S_{m} / E_{m}$ .
Phase : $φ (ω) = ar g (H (j ω))$ . Déphasage de la sortie par rapport à l'entrée.
Gain en décibels : $G_{dB} (ω) = 20 lo g_{10} ∣ H (j ω) ∣$ .

📝 Pourquoi décibels et log de fréquence ? Le gain d'un produit devient une somme (

20 lo g ∣ H_{1} H_{2} ∣ = 20 lo g ∣ H_{1} ∣ + 20 lo g ∣ H_{2} ∣

) : on additionne les diagrammes asymptotiques. À retenir :

G_{dB} = 0 \Leftrightarrow ∣ H ∣ = 1

G_{dB} = - 3 \Leftrightarrow ∣ H ∣ = 1/ 2

G_{dB} = - 20 \Leftrightarrow ∣ H ∣ = 0, 1

2.2 — Diagrammes de Bode

Définition 2.3 — Diagrammes de Bode (gain et phase)

On appelle diagramme de Bode d'un filtre le couple de courbes :

Diagramme de gain : $G_{dB} = 20 lo g ∣ H ∣$ en ordonnée, $lo g_{10} (ω)$ (ou $lo g (ω / ω_{0})$ ) en abscisse — donc échelle logarithmique en pulsation, échelle linéaire en dB.
Diagramme de phase : $φ = ar g (H)$ en ordonnée (en radians ou degrés), même abscisse logarithmique.

Échelles standards : une décade = facteur $10$ en $ω$ ; une octave = facteur $2$ . Une pente de $- 20 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ équivaut donc à $- 6 dB/octave$ .

Définition 2.4 — Pulsation de coupure à -3 dB

La pulsation de coupure $ω_{c}$ d'un filtre est définie par :

G (ω_{c}) = \frac{G _{m a x}}{2} ⟺ G_{dB} (ω_{c}) = G_{dB, m a x} - 3 dB .

Au-dessus de cette pulsation (ou en-dessous, selon le type de filtre), le signal est considéré comme atténué. Le facteur $2$ correspond à une puissance moitié (la puissance étant $\propto ∣ s ∣^{2}$ ).

Définition 2.5 — Bande passante et sélectivité

La bande passante $Δ ω$ d'un filtre est l'intervalle de pulsations où $G \geq G_{m a x} / 2$ (zone non atténuée). Pour un passe-bande centré sur $ω_{0}$ , on définit la sélectivité (ou facteur de qualité) par :

Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} .

$Q$ grand = filtre étroit, très sélectif (peu de fréquences passent) ; $Q$ petit = filtre large, peu sélectif.

📐 Méthode-type — Tracer un diagramme de Bode asymptotique.

Forme canonique : faire apparaître la pulsation caractéristique $ω_{0}$ (lire $1 + j ω / ω_{0}$ au dénominateur, ou $j ω / ω_{0}$ au numérateur).
Limites BF / HF : remplacer $1 + j x \approx 1$ si $∣ x ∣ ≪ 1$ , et $1 + j x \approx j x$ si $∣ x ∣ ≫ 1$ . Cela donne les asymptotes.
Tracer les deux asymptotes (droite horizontale et droite de pente $\pm 20 n dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ pour un filtre d'ordre $n$ ) et leur intersection en $ω_{0}$ .
Écart en $ω_{0}$ : pour un 1er ordre, le tracé réel passe $- 3 dB$ sous l'angle des asymptotes ; pour un 2e ordre, l'écart vaut $20 lo g Q$ (positif si résonance).
Phase : même décomposition asymptotique avec $ar g (1) = 0$ , $ar g (j x) = + π /2$ , $ar g (1/ j x) = - π /2$ .

Vérification : la somme des pentes BF et HF doit donner

- 20 n dB/d \overset{e}{ˊ} cade

pour un passe-bas d'ordre

n

, et

+ 20 n

pour un passe-haut. Sinon, erreur de mise en forme canonique.

3. Filtres canoniques du 1er ordre

3.1 — Passe-bas du 1er ordre (RC série, sortie sur C)

Théorème 3.1 — Fonction de transfert du passe-bas RC ★ À savoir démontrer

Le circuit RC série alimenté par $\underline{e}$ à l'entrée et de sortie prise aux bornes du condensateur a pour fonction de transfert :

H (j ω) = \frac{1}{1 + j ω τ}, τ = R C, ω_{c} = \frac{1}{τ} = \frac{1}{R C} .

C'est un filtre passe-bas du 1er ordre : il laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes.

Démonstration (pont diviseur en complexe)

Pont diviseur entre $\underline{Z}_{R} = R$ et $\underline{Z}_{C} = 1/ (j C ω)$ , sortie aux bornes du condensateur :

H (j ω) = \frac{Z _{C}}{Z _{R} + Z _{C}} = \frac{1/ ( j C ω )}{R + 1/ ( j C ω )} = \frac{1}{1 + j R C ω} = \frac{1}{1 + j ω τ} .

Avec $τ = R C$ (homogène à un temps : $[R C] = Ω \cdot F = s$ ) et $ω_{c} = 1/ τ$ . Vérifications : $H (0) = 1$ , $H (\infty) = 0$ (passe-bas), et en $ω = ω_{c}$ on a $∣ H ∣ = 1/ 2$ — exactement la coupure $- 3 dB$ .

Proposition 3.2 — Gain et phase du passe-bas du 1er ordre

Avec $x = ω / ω_{c}$ :

∣ H ∣ = \frac{1}{1 + x ^{2}}, G_{dB} = - 10 lo g_{10} (1 + x^{2}), φ = - arctan (x) .

Asymptotes :

BF ( $x ≪ 1$ ) : $∣ H ∣ \to 1$ , $G_{dB} \to 0$ , $φ \to 0$ . Asymptote horizontale.
HF ( $x ≫ 1$ ) : $∣ H ∣ \to 1/ x$ , $G_{dB} \to - 20 lo g (ω / ω_{c})$ , $φ \to - π /2$ . Asymptote de pente $- 20 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ .
En $ω = ω_{c}$ : $G_{dB} = - 3 dB$ , $φ = - π /4$ .

3.2 — Passe-haut du 1er ordre (RC série, sortie sur R)

Proposition 3.3 — Fonction de transfert du passe-haut RC

Même circuit RC série, mais sortie prise aux bornes de la résistance. Le pont diviseur donne :

H (j ω) = \frac{Z _{R}}{Z _{R} + Z _{C}} = \frac{R}{R + 1/ ( j C ω )} = \frac{j R C ω}{1 + j R C ω} = \frac{j ω τ}{1 + j ω τ} .

C'est un passe-haut du 1er ordre, de même pulsation de coupure $ω_{c} = 1/ τ$ . Asymptotes :

BF : $H \approx j x$ , $G_{dB} \to + 20 lo g (ω / ω_{c})$ (pente $+ 20 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ ), $φ \to + π /2$ .
HF : $H \to 1$ , $G_{dB} \to 0$ , $φ \to 0$ .
En $ω_{c}$ : $G_{dB} = - 3 dB$ , $φ = + π /4$ .

📝 Dualité passe-bas / passe-haut. Pour un même circuit RC série, échanger la sortie entre

C

R

échange passe-bas et passe-haut. Et la somme des deux fonctions de transfert vaut

1

\frac{1}{1 + j ω τ} + \frac{j ω τ}{1 + j ω τ} = 1.

C'est la traduction du fait que les tensions

u_{R}

u_{C}

somment à

u_{e}

(loi des mailles, en complexe).

💡 Exemple — Reconnaître un filtre du 1er ordre sans calculer. Soit

H (j ω) = \frac{5}{1 + j ω / ( 2 π \cdot 1000 )}

. Forme

K / (1 + j x)

\Rightarrow

passe-bas du 1er ordre, gain statique

K = 5

(

G_{dB, m a x} \approx 14 dB

), fréquence de coupure

f_{c} = 1 kHz

. Sans poser d'équa-diff.

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4. Filtres canoniques du 2e ordre (RLC série)

4.1 — Passe-bas du 2e ordre (RLC, sortie sur C)

Théorème 4.1 — Fonction de transfert du passe-bas RLC

Circuit RLC série alimenté par $\underline{e}$ à l'entrée, sortie prise aux bornes du condensateur. Par pont diviseur $\underline{Z}_{C} / (R + j L ω + 1/ (j C ω))$ , on obtient après mise sous forme canonique :

H (j ω) = \frac{1}{1 + 2 j ξ \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{j}{Q} \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}}},

avec $ω_{0} = 1/ L C$ (pulsation propre), $ξ = \frac{R}{2} C / L = R / (2 L ω_{0})$ (coefficient d'amortissement), et $Q = 1/ (2 ξ) = L ω_{0} / R = (1/ R) L / C$ (facteur de qualité).

Proposition 4.2 — Asymptotes du passe-bas du 2e ordre

BF ( $ω ≪ ω_{0}$ ) : $H \to 1$ , $G_{dB} \to 0$ , $φ \to 0$ . Asymptote horizontale.
HF ( $ω ≫ ω_{0}$ ) : $H \approx - ω_{0}^{2} / ω^{2}$ , $G_{dB} \to - 40 lo g (ω / ω_{0})$ (pente $- 40 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ ), $φ \to - π$ .
En $ω = ω_{0}$ : $∣ H (j ω_{0}) ∣ = Q$ , donc $G_{dB} (ω_{0}) = 20 lo g Q$ . Phase $φ (ω_{0}) = - π /2$ .

Si $Q > 1/ 2$ (équivalent $ξ < 1/ 2$ ), le gain présente un maximum local au-dessus de l'asymptote BF : c'est la résonance.

Théorème 4.3 — Condition d'apparition de la résonance ★ À savoir démontrer

Le passe-bas du 2e ordre présente une résonance (un maximum local strict de $∣ H ∣$ à une pulsation finie $ω_{r} > 0$ ) si et seulement si :

ξ < \frac{1}{2} ⟺ Q > \frac{1}{2} .

La pulsation de résonance vaut alors $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ , et le gain maximal $∣ H ∣_{m a x} = 1/ (2 ξ 1 - ξ^{2})$ .

Démonstration (étude de la fonction gain par dérivation)

Posons $x = ω / ω_{0}$ . Le carré du module vaut :

∣ H ∣^{2} = \frac{1}{( 1 - x ^{2} ) ^{2} + 4 ξ ^{2} x ^{2}} .

Maximiser $∣ H ∣^{2}$ revient à minimiser le dénominateur $D (x) = (1 - x^{2})^{2} + 4 ξ^{2} x^{2}$ pour $x > 0$ . Posons $u = x^{2}$ :

D (u) = (1 - u)^{2} + 4 ξ^{2} u, D^{'} (u) = 2 (u - 1) + 4 ξ^{2} .

$D^{'}$ s'annule en $u^{⋆} = 1 - 2 ξ^{2}$ . Deux cas :

$ξ < 1/ 2$ : $u^{⋆} > 0$ appartient au domaine, c'est un minimum strict de $D$ (car $D^{''} = 2 > 0$ ), donc un maximum strict de $∣ H ∣$ . On a $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ et $D (u^{⋆}) = 4 ξ^{2} (1 - ξ^{2})$ , soit $∣ H ∣_{m a x} = 1/ (2 ξ 1 - ξ^{2})$ .
$ξ \geq 1/ 2$ : $u^{⋆} \leq 0$ , hors domaine. Sur $[0, + \infty [$ , $D^{'} (u) \geq 0$ , donc $D$ croît et $∣ H ∣$ décroît : pas de résonance.

4.2 — Passe-haut du 2e ordre (RLC, sortie sur L)

Proposition 4.4 — Fonction de transfert du passe-haut du 2e ordre

Même RLC série, sortie prise aux bornes de la bobine. Pont diviseur :

H (j ω) = \frac{j L ω}{R + j L ω + 1/ ( j C ω )} = \frac{- ω ^{2} / ω _{0}^{2}}{1 + 2 j ξ ω / ω _{0} - ω ^{2} / ω _{0}^{2}} .

Asymptotes : pente $+ 40 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ en BF, $G_{dB} \to 0$ en HF, phase de $+ π$ à $0$ .

4.3 — Passe-bande RLC série (sortie sur R)

Théorème 4.5 — Passe-bande RLC série ★ À savoir démontrer

Même RLC série, sortie prise aux bornes de la résistance. La fonction de transfert s'écrit :

H (j ω) = \frac{R}{R + j L ω + 1/ ( j C ω )} = \frac{1}{1 + j Q ( \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} )},

avec $ω_{0} = 1/ L C$ et $Q = L ω_{0} / R = (1/ R) L / C$ . C'est un passe-bande du 2e ordre, de pulsation centrale $ω_{0}$ , de gain maximal unité ( $∣ H (j ω_{0}) ∣ = 1$ , $G_{dB, m a x} = 0 dB$ ) et de bande passante $Δ ω = ω_{0} / Q = R / L$ . La sélectivité vaut donc :

Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} = \frac{L ω _{0}}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} .

Démonstration (mise sous forme canonique et bande passante)

Partons du pont diviseur $H = R / [R + j L ω + 1/ (j C ω)]$ . Divisons numérateur et dénominateur par $R$ , puis utilisons $ω_{0} = 1/ L C$ (donc $L C ω_{0}^{2} = 1$ ) et $Q = L ω_{0} / R$ , qui entraîne $R C = 1/ (Q ω_{0})$ (en effet $L = 1/ (C ω_{0}^{2})$ donc $L ω_{0} / R = 1/ (R C ω_{0}) = Q$ ). Il vient :

H = \frac{1}{1 + \frac{j L ω}{R} + \frac{1}{j R C ω}} = \frac{1}{1 + j Q \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{j Q ω _{0}}{ω}} = \frac{1}{1 + j Q ( \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} )} .

Bande passante. On cherche $∣ H ∣ = 1/ 2$ , soit $Q^{2} (x - 1/ x)^{2} = 1$ avec $x = ω / ω_{0}$ : $x - 1/ x = \pm 1/ Q$ . Les deux solutions positives $x_{+}$ et $x_{-}$ vérifient $x_{+} x_{-} = 1$ (symétrie géométrique autour de $ω_{0}$ ) et $x_{+} - x_{-} = 1/ Q$ . Donc :

Δ ω = ω_{0} (x_{+} - x_{-}) = \frac{ω _{0}}{Q}, Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} = \frac{L ω _{0}}{R} .

Plus $R$ est petit, plus $Q$ est grand, plus le filtre est sélectif : moins de dissipation $\Rightarrow$ pic plus étroit autour de la fréquence propre.

💡 Exemple — Sélectivité d'une radio AM. Pour qu'un récepteur radio sélectionne une station à

f_{0} = 1 MHz

avec une bande passante audio

Δ f = 10 kHz

, il faut

Q = f_{0} /Δ f = 100

. Avec

L = 100 μ H

ω_{0} = 2 π \cdot 1 0^{6} rad/s

, on en déduit

R = L ω_{0} / Q = 6, 3 Ω

: très peu — c'est pour cela qu'un récepteur radio utilise des bobines en cuivre de très grande qualité.

⚠ Piège — confondre les deux résonances. Dans un RLC série, il y a deux résonances :

Résonance en intensité (passe-bande, sortie sur $R$ ) : maximum de $∣ i ∣$ en $ω = ω_{0}$ exactement, pour toute valeur de $R$ .
Résonance en charge / en tension aux bornes de $C$ (passe-bas, sortie sur $C$ ) : maximum de $∣ u_{C} ∣$ en $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2} < ω_{0}$ , seulement si $ξ < 1/ 2$ .

Ne pas généraliser : « il y a résonance ssi

ξ < 1/ 2

» est faux pour la résonance en intensité.

5. Reconnaître un filtre par son comportement BF/HF

📐 Méthode-type — Reconnaître le type de filtre en 30 secondes.

Calculer $H (j ω)$ par pont diviseur ou loi des mailles en complexe.
Limite BF ( $ω \to 0$ ) : bobine $=$ fil ( $j L ω \to 0$ ), condensateur $=$ circuit ouvert ( $1/ (j C ω) \to \infty$ ). Lire $H (0)$ .
Limite HF ( $ω \to \infty$ ) : bobine $=$ circuit ouvert, condensateur $=$ fil. Lire $H (\infty)$ .
Conclure :
- $H (0) = 1$ , $H (\infty) = 0$ : passe-bas ;
- $H (0) = 0$ , $H (\infty) = 1$ : passe-haut ;
- $H (0) = 0$ , $H (\infty) = 0$ , max intermédiaire : passe-bande ;
- $H (0) = 1$ , $H (\infty) = 1$ , min intermédiaire : réjecteur de bande.
Ordre : degré du dénominateur en $j ω$ (1 = pente $\pm 20 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ , 2 = pente $\pm 40$ ).

Validation rapide : le raisonnement « bobine bloque le haut, condensateur bloque le bas » sans complexes donne le même résultat en 5 secondes.

💡 Exemple — Lecture express d'un RC sortie sur R. En BF,

C

est un circuit ouvert : tout le courant

\to 0

u_{R} = R i \to 0

. Donc

H (0) = 0

. En HF,

C

est un fil :

u_{R} \approx u_{e}

, donc

H (\infty) = 1

. On reconnaît immédiatement un passe-haut du 1er ordre sans calculer la fonction de transfert. Le raisonnement asymptotique vaut autant que le calcul algébrique en concours, à condition de l'écrire proprement.

Proposition 5.1 — Comportement intégrateur et dérivateur

Un passe-bas du 1er ordre en HF ( $ω ≫ ω_{c}$ ) vérifie $H \approx 1/ (j ω τ)$ : il intègre le signal d'entrée à un facteur près. On l'appelle alors filtre intégrateur dans cette plage.
Un passe-haut du 1er ordre en BF ( $ω ≪ ω_{c}$ ) vérifie $H \approx j ω τ$ : il dérive le signal d'entrée. C'est un filtre dérivateur dans cette plage.

Ces comportements sont utilisés en électronique pour produire effectivement intégration et dérivation d'un signal — mais uniquement dans la plage où l'approximation asymptotique est valide.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant du filtrage. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre $ω$ et $f = ω / (2 π)$ . La pulsation de coupure

ω_{c}

est en

rad/s

; la fréquence de coupure

f_{c}

est en

Hz

. Pour un passe-bas RC,

ω_{c} = 1/ R C

, donc

f_{c} = 1/ (2 π R C)

. L'erreur n°1 consiste à écrire

f_{c} = 1/ R C

— fausse d'un facteur

2 π

. Vérifie systématiquement les unités via une analyse dimensionnelle :

[R C] = Ω \cdot F = s

, donc

[1/ R C] = rad/s

, pas Hz.

⚠ Erreur 2 — Oublier que la fonction de transfert n'est valable qu'en RSF.

H (j ω)

suppose que toutes les grandeurs sont sinusoïdales de même pulsation

ω

. Tu ne peux pas l'utiliser directement pour calculer la réponse à un échelon de tension, à un créneau, ou à un signal apériodique sans passer par la décomposition en série de Fourier. Beaucoup d'élèves « appliquent »

H

à un signal quelconque — c'est sanctionné.

⚠ Erreur 3 — Tracer le diagramme de Bode à partir du gain numérique au lieu des asymptotes. Le diagramme de Bode est par convention le tracé asymptotique + corrections locales. Calculer

G_{dB}

point par point sur une calculatrice et relier les points ne sert à rien et fait perdre du temps. Méthode correcte : 1 droite BF, 1 droite HF, intersection en

ω_{0}

, correction

- 3 dB

pour le 1er ordre ou

+ 20 lo g Q

pour le 2e ordre.

⚠ Erreur 4 — Conclure « il y a résonance car le filtre est du 2e ordre ». Faux : un passe-bas du 2e ordre n'a de résonance que si

ξ < 1/ 2

(ou

Q > 1/ 2

). Pour

ξ = 1

(amortissement critique) ou plus, le gain est monotone décroissant : pas de pic. Il faut toujours justifier la condition sur

ξ

Q

avant de parler de résonance.

⚠ Erreur 5 — Confondre bande passante et pulsation de coupure. Pour un passe-bas du 1er ordre, la bande passante est l'intervalle

[0, ω_{c}]

(donc de largeur

Δ ω = ω_{c}

) ; pour un passe-bande, c'est l'intervalle

[ω_{-}, ω_{+}]

de largeur

Δ ω = ω_{+} - ω_{-}

. La pulsation de coupure et la largeur de bande passante coïncident pour le 1er ordre passe-bas, mais pas pour les autres filtres.

7. Pour aller plus loin

Le filtrage linéaire est le langage que tu vas utiliser partout en physique en spé et en SI :

Propagation d'un signal et acoustique — un système physique mécanique (masse-ressort-amortisseur) obéit aux mêmes équations qu'un RLC ; l'analyse en fréquence transpose intégralement.
Optique ondulatoire (spé) — la diffraction est une transformée de Fourier spatiale ; le filtrage spatial reprend les mêmes outils.
Électronique numérique et traitement du signal — échantillonnage, filtres numériques, transformée de Fourier discrète : la fonction de transfert généralise en $H (z)$ .
Automatique et SI — la stabilité d'un système asservi (et donc le « réglage » d'un correcteur PID) s'analyse via les marges sur le diagramme de Bode.
Mécanique vibratoire (PSI, MP) — réponse harmonique d'un oscillateur forcé, identique au passe-bas du 2e ordre.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu donner les trois impédances complexes : $\underline{Z}_{R} = R$ , $\underline{Z}_{L} = j L ω$ , $\underline{Z}_{C} = 1/ (j C ω)$ — et démontrer celle du condensateur à partir de $i = C d u / d t$ ?
Sais-tu écrire la règle $d / d t \leftrightarrow \times j ω$ et l'utiliser pour transformer une équa-diff en équation algébrique ?
Sais-tu définir $H (j ω)$ , $G = ∣ H ∣$ , $φ = ar g (H)$ , $G_{dB} = 20 lo g ∣ H ∣$ ?
Sais-tu expliquer pourquoi on trace $G_{dB}$ en fonction de $lo g ω$ et pas $∣ H ∣$ en fonction de $ω$ ?
Sais-tu démontrer la fonction de transfert du passe-bas du 1er ordre par pont diviseur : $H = 1/ (1 + j ω τ)$ avec $τ = R C$ et $ω_{c} = 1/ R C$ ?
Connais-tu la définition de la pulsation de coupure à $- 3 dB$ ( $G = G_{m a x} / 2$ ) et de la bande passante ?
Sais-tu reconnaître les 4 types de filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur) par leurs limites BF et HF ?
Sais-tu démontrer la condition de résonance pour le passe-bas du 2e ordre : $ξ < 1/ 2$ ou $Q > 1/ 2$ , avec $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ ?
Sais-tu démontrer que pour le passe-bande RLC série, la sélectivité vaut $Q = ω_{0} /Δ ω = L ω_{0} / R$ ?
Connais-tu les pentes asymptotiques : $\pm 20 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ (ordre 1), $\pm 40 dB/d \overset{e}{ˊ} cade$ (ordre 2) ?
Sais-tu identifier le comportement intégrateur (passe-bas en HF) et dérivateur (passe-haut en BF) ?
Connais-tu les 5 erreurs classiques de copie (confusion $ω / f$ , validité du RSF, tracé point par point, résonance non justifiée, bande passante vs coupure) ?

Démonstrations à savoir refaire

Impédance complexe du condensateur — à partir de $i = C d u_{C} / d t$ et de la règle $d / d t \leftrightarrow \times j ω$
Fonction de transfert du passe-bas du 1er ordre — pont diviseur RC, mise sous forme $1/ (1 + j ω τ)$
Condition de résonance $ξ < 1/ 2$ pour le passe-bas du 2e ordre — dérivation de $∣ H ∣^{2}$ et signe de la racine
Facteur de qualité $Q = ω_{0} /Δ ω$ du passe-bande RLC série — mise sous forme canonique et calcul des deux pulsations de coupure

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Régime sinusoïdal forcé et impédance complexe

1.1 — Représentation complexe d'un signal sinusoïdal

1.2 — Impédance complexe d'un dipôle

2. Fonction de transfert et diagramme de Bode

2.1 — Fonction de transfert harmonique

2.2 — Diagrammes de Bode

3. Filtres canoniques du 1er ordre

3.1 — Passe-bas du 1er ordre (RC série, sortie sur C)

3.2 — Passe-haut du 1er ordre (RC série, sortie sur R)

4. Filtres canoniques du 2e ordre (RLC série)

4.1 — Passe-bas du 2e ordre (RLC, sortie sur C)

4.2 — Passe-haut du 2e ordre (RLC, sortie sur L)

4.3 — Passe-bande RLC série (sortie sur R)

5. Reconnaître un filtre par son comportement BF/HF

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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