Dynamique de rotation

Vue d'ensemble

La dynamique de rotation est le pendant du PFD pour les mouvements « tournants ». Tu y découvres que, dès qu'un système est en rotation autour d'un point fixe ou d'un axe, le bon scalaire ou vecteur à manipuler n'est plus la quantité de mouvement $p = m v$ mais le moment cinétique $L_{O}$ . L'équation centrale, le théorème du moment cinétique (TMC), donne directement l'équation du mouvement quand le PFD échoue à exploiter la géométrie. Cette fiche regroupe les 5 définitions vectorielles, les 4 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire (TMC point matériel, conservation sur force centrale, loi des aires, TMC scalaire pour solide en rotation) et les pièges qui font perdre des points en oral.

Au programme MPSI (officiel) — Moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point et à un axe orienté ; moment d'une force par rapport à un point et à un axe ; théorème du moment cinétique (forme vectorielle et scalaire) ; conservation du moment cinétique ; mouvement à force centrale : plan du mouvement, loi des aires, vitesse aréolaire ; solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe : moment d'inertie, théorème du moment cinétique scalaire, énergie cinétique de rotation ; pendule pesant et pendule de torsion.

Prérequis

Cinématique du point matériel : position $O M$ , vitesse $v$ , accélération $a$
Produit vectoriel $u \times v$ : antisymétrie, bilinéarité, $u \times u = 0$
PFD du point matériel : $\sum F = m a = \frac{d p}{d t}$
Bases cylindriques $(u_{r}, u_{θ}, u_{z})$ et dérivation des vecteurs tournants $\dot{u}_{r} = \dot{θ} u_{θ}$
Énergie cinétique d'un point matériel $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$

🎯 Accompagnement Majorant

Tu sais que « $L_{O} = O M \times m v$ » mais tu paniques au moment de calculer le moment d'une force par rapport à un axe ? C'est le blocage n°1 du chapitre — 1 élève MPSI sur 2 perd 3 points sur un DS de méca par mauvaise projection du moment. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te construisent un réflexe « point pivot / bras de levier / signe » en 2 séances sur tes propres exos.

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1. Moment cinétique d'un point matériel

1.1 — Définition vectorielle par rapport à un point

Définition 1.1 — Moment cinétique en un point O

Soit un point matériel $M$ de masse $m$ , de vitesse $v$ dans un référentiel $R$ , et soit $O$ un point fixe dans $R$ . Le moment cinétique de $M$ par rapport à $O$ est :

L_{O} = O M \times p = O M \times m v .

C'est un vecteur, orthogonal au plan $(O M, v)$ , dont la norme s'exprime en $kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 1}$ .

📝 Lecture géométrique. Si on note

b

la distance entre

O

et la droite-support de

v

(le bras de levier), alors

∥ L_{O} ∥ = m ∥ v ∥ b

. Le moment cinétique mesure donc à quel point la trajectoire « tourne autour de

O

» : il est maximal quand

v ⊥ O M

et nul quand

v

passe par

O

Définition 1.2 — Moment d'une force en un point O

Pour une force $F$ s'exerçant sur le point matériel $M$ , le moment de $F$ par rapport à $O$ est :

M_{O} (F) = O M \times F .

Il s'exprime en $N \cdot m$ . Si plusieurs forces $F_{i}$ s'exercent sur $M$ , le moment de la résultante vaut la somme des moments : $M_{O} (\sum F_{i}) = \sum M_{O} (F_{i})$ .

1.2 — Moment scalaire par rapport à un axe orienté

Définition 1.3 — Moment cinétique et moment d'une force par rapport à un axe Δ

Soit $Δ$ un axe orienté par un vecteur unitaire $u_{Δ}$ , passant par un point $O$ de l'axe. Les composantes scalaires sur $Δ$ sont :

L_{Δ} = L_{O} \cdot u_{Δ} = (O M \times m v) \cdot u_{Δ}, M_{Δ} (F) = (O M \times F) \cdot u_{Δ} .

Ces deux scalaires sont indépendants du point $O$ choisi sur l'axe (on le démontre via la formule du double produit mixte et le fait que tout vecteur le long de $Δ$ est colinéaire à $u_{Δ}$ ).

💡 Exemple — Mouvement circulaire uniforme. Un point

M

parcourt un cercle de rayon

R

, centre

O

, à vitesse angulaire

ω

constante, dans le plan

x O y

. En base cylindrique :

O M = R u_{r}

v = R \dot{θ} u_{θ} = R ω u_{θ}

. D'où :

L_{O} = R u_{r} \times m R ω u_{θ} = m R^{2} ω u_{z} .

Sa norme est constante (

m R^{2} ω

) et sa direction (le vecteur

u_{z}

) aussi :

L_{O}

est rigoureusement constant. On retrouve un résultat très utile :

L_{z} = m R^{2} ω

, à mémoriser tel quel.

⚠ Piège #1 du chapitre — Le moment dépend du point pivot.

L_{O}

L_{O^{'}}

sont en général différents si

O \neq = O^{'}

. Avant tout calcul, choisis ton point pivot et garde-le pendant toute la résolution. L'erreur typique : commencer le bilan à partir du centre de masse

O

, puis passer au pied de la trajectoire

O^{'}

en cours de calcul. Tu changes alors d'équation sans le voir, et tu perds les démos de conservation.

2. Théorème du moment cinétique (TMC)

Théorème 2.1 — TMC pour un point matériel (forme vectorielle) ★ À savoir démontrer

Soit $M$ un point matériel de masse $m$ , $O$ un point fixe dans un référentiel galiléen $R$ , et $F$ la résultante des forces extérieures s'exerçant sur $M$ . Alors :

\frac{d L _{O}}{d t} = M_{O} (F) = O M \times F .

Démonstration (à partir du PFD)

Le PFD dans le référentiel galiléen $R$ s'écrit $F = \frac{d p}{d t}$ . Dérivons le moment cinétique par rapport au temps :

\frac{d L _{O}}{d t} = \frac{d}{d t} (O M \times p) = v \frac{d O M}{d t} \times p + O M \times \frac{d p}{d t} .

Or $p = m v$ , donc le premier terme vaut $v \times m v = m (v \times v) = 0$ (produit vectoriel d'un vecteur par lui-même). Le second terme vaut, via le PFD, $O M \times F = M_{O} (F)$ . D'où le résultat. On retient : « le moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point fixe a pour dérivée temporelle le moment de la résultante des forces ».

⚠ Piège #2 — Le point pivot doit être fixe (ou être le centre de masse). Si

O

bouge dans

R

, un terme correctif

- v_{O} \times m v

apparaît, et la formule simple ci-dessus est FAUSSE. En MPSI, choisis toujours un point fixe — sol, point d'attache, centre d'attraction — ou applique le théorème au centre de masse (cas étudié en spé pour le solide).

Théorème 2.2 — TMC par rapport à un axe orienté Δ

En projetant sur $u_{Δ}$ :

\frac{d L _{Δ}}{d t} = M_{Δ} (F) .

Cette équation scalaire est très commode : elle filtre les composantes inutiles (réactions normales, composantes radiales) et ne retient que ce qui « fait tourner » autour de $Δ$ .

📐 Méthode-type — Application du TMC en 4 étapes.

Système et référentiel : identifier précisément le système ponctuel $M$ (masse $m$ ) et préciser le référentiel galiléen $R$ .
Choix du point pivot : choisir un point $O$ fixe dans $R$ , si possible situé sur la droite d'action des forces inconnues (réaction d'un axe, force centrale) afin d'annuler leur moment.
Bilan des moments : calculer $M_{O} (F_{i})$ pour chaque force $F_{i}$ . Les forces dont la droite d'action passe par $O$ ont un moment nul.
Projection : projeter le TMC sur un axe judicieux (souvent $u_{z}$ pour un problème plan). On obtient une équation différentielle scalaire portant sur $θ (t)$ , $r (t)$ ou $ω (t)$ .

Bonus : si tous les moments sont nuls par rapport à

O

, conclure immédiatement à la conservation de $L_{O}$ — c'est le cas-roi des forces centrales (section 3).

💡 Exemple canonique — Pendule simple (rappel TMC). Un point matériel

M

de masse

m

est suspendu à un fil inextensible de longueur

ℓ

, accroché en

O

fixe. Forces : poids

m g

et tension

T

du fil (passant par

O

). Choisissons

O

comme pivot. Le moment de

T

est nul (sa droite d'action passe par

O

). Avec

O M = ℓ u_{r}

(base cylindrique d'origine

O

v = ℓ \dot{θ} u_{θ}

, on a

L_{O} = m ℓ^{2} \dot{θ} u_{z}

M_{O} (m g) = - m g ℓ sin θ u_{z}

. Le TMC donne :

m ℓ^{2} \ddot{θ} = - m g ℓ sin θ ⟹ \ddot{θ} + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0.

On retrouve l'équation du pendule sans avoir à projeter le PFD sur deux axes. Gain de temps spectaculaire au DS.

3. Conservation du moment cinétique et mouvement à force centrale

3.1 — Cas de conservation du moment cinétique

Théorème 3.1 — Conservation de

L_{O}

sous force centrale ★ À savoir démontrer

Si la résultante $F$ des forces s'exerçant sur $M$ passe constamment par un point fixe $O$ (force centrale de centre $O$ ), alors :

M_{O} (F) = 0 ⟹ L_{O} = cste .

Démonstration (immédiate via le TMC)

Par hypothèse, à tout instant $t$ , la force $F (t)$ est colinéaire à $O M (t)$ . Donc le produit vectoriel $O M \times F$ est nul (deux vecteurs colinéaires ont un produit vectoriel nul). Le TMC en $O$ donne alors $\frac{d L _{O}}{d t} = 0$ , donc $L_{O}$ est un vecteur constant (sa norme et sa direction sont conservées au cours du temps). On retient : « sous force centrale, le moment cinétique au centre est intégrale première du mouvement ».

Corollaire 3.2 — Plan du mouvement

Sous force centrale, la trajectoire est plane : elle reste dans le plan passant par $O$ et orthogonal au vecteur constant $L_{O}$ . En effet, $O M \cdot L_{O} = O M \cdot (O M \times m v) = 0$ (le produit mixte avec deux vecteurs identiques est nul), donc $O M$ est orthogonal à $L_{O}$ à tout instant — $M$ évolue dans un plan fixe.

3.2 — Loi des aires

Définition 3.3 — Vitesse aréolaire

Dans le plan du mouvement, la vitesse aréolaire est l'aire balayée par le rayon vecteur $O M$ par unité de temps :

\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} O M \times v .

Théorème 3.4 — Loi des aires (Kepler 2) ★ À savoir démontrer

Sous force centrale, la vitesse aréolaire est constante :

\frac{d A}{d t} = \frac{∥ L _{O} ∥}{2 m} = \frac{L}{2 m} = C,

où $C$ est appelée constante des aires. En coordonnées polaires $(r, θ)$ dans le plan du mouvement, cela s'écrit $r^{2} \dot{θ} = 2 C$ (constante du mouvement).

Démonstration (aire élémentaire + conservation)

Pendant $d t$ , le point passe de $M$ à $M^{'} = M + v d t$ . L'aire $d A$ balayée par $O M$ est l'aire du triangle infinitésimal $O M M^{'}$ :

d A = \frac{1}{2} O M \times M M^{'} = \frac{1}{2} O M \times v d t .

Or $O M \times m v = L_{O}$ , donc $∥ O M \times v ∥ = ∥ L_{O} ∥/ m = L / m$ . D'où :

\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} .

Comme $L_{O}$ est conservé (Thm 3.1), $L$ est constant et la vitesse aréolaire l'est aussi. En coordonnées polaires : $O M = r u_{r}$ , $v = \overset{r}{˙} u_{r} + r \dot{θ} u_{θ}$ , donc $O M \times v = r^{2} \dot{θ} u_{z}$ et la constante des aires vaut $C = r^{2} \dot{θ} /2$ . On en déduit la formule mnémonique $r^{2} \dot{θ} = cste$ .

📝 Lecture physique de la loi des aires. Quand

M

est proche du centre

O

(

r

petit), il doit aller vite en angle (

\dot{θ}

grand) pour balayer la même aire qu'au loin. C'est la raison pour laquelle Mercure (planète la plus proche du Soleil) tourne plus vite que Neptune, et pourquoi une comète accélère au périhélie.

🧑‍🏫 Décortique le mouvement à force centrale

La loi des aires est LE résultat qui tombe en concours (CCINP, Mines, X). Mais l'extraire d'un calcul produit-vectoriel-en-polaire fait perdre des élèves chaque année. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu maîtrises la démo, l'application à Kepler et la liaison avec l'énergie mécanique pour la spé.

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4. Solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe

4.1 — Moment d'inertie par rapport à un axe

Définition 4.1 — Moment d'inertie par rapport à un axe Δ

Soit un solide indéformable $S$ , de masse volumique $ρ$ , et $Δ$ un axe fixe. Le moment d'inertie de $S$ par rapport à $Δ$ est :

J_{Δ} = \int_{S} r^{2} d m = \int_{S} r^{2} ρ d V,

où $r$ désigne la distance de l'élément de masse $d m$ à l'axe. Il s'exprime en $kg \cdot m^{2}$ et caractérise la répartition de la masse par rapport à $Δ$ : plus la masse est éloignée de l'axe, plus $J_{Δ}$ est grand.

Proposition 4.2 — Moments d'inertie usuels (à connaître par cœur)

Tige homogène de longueur $ℓ$ , masse $m$ , axe $⊥$ passant par son milieu : $J = \frac{1}{12} m ℓ^{2}$ .
Tige homogène, axe $⊥$ passant par une extrémité : $J = \frac{1}{3} m ℓ^{2}$ .
Cylindre/disque plein homogène de rayon $R$ , masse $m$ , axe de révolution : $J = \frac{1}{2} m R^{2}$ .
Anneau/cylindre creux mince de rayon $R$ , masse $m$ , axe de révolution : $J = m R^{2}$ .
Sphère pleine homogène de rayon $R$ , masse $m$ , axe passant par le centre : $J = \frac{2}{5} m R^{2}$ .
Sphère creuse mince : $J = \frac{2}{3} m R^{2}$ .

4.2 — Moment cinétique scalaire et TMC scalaire

Proposition 4.3 — Moment cinétique d'un solide en rotation autour de Δ

Pour un solide indéformable $S$ tournant autour de l'axe fixe $Δ$ à la vitesse angulaire $ω = \dot{θ}$ , le moment cinétique scalaire par rapport à $Δ$ vaut :

L_{Δ} = J_{Δ} ω .

Démonstration synthétique : chaque point $P_{i}$ du solide à distance $r_{i}$ de l'axe a pour vitesse $v_{i} = r_{i} ω u_{θ}$ , donc une contribution $d L_{Δ} = r_{i}^{2} ω d m$ . En intégrant sur le solide, $L_{Δ} = ω \int r^{2} d m = J_{Δ} ω$ .

Théorème 4.4 — TMC scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe ★ À savoir démontrer

Pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe $Δ$ dans un référentiel galiléen :

J_{Δ} \frac{d ω}{d t} = J_{Δ} \ddot{θ} = M_{Δ} (forces ext \overset{e}{ˊ} rieures) .

Démonstration (sommation des TMC ponctuels)

Pour chaque point matériel $P_{i}$ du solide (masse $d m_{i}$ , à distance $r_{i}$ de l'axe), le TMC scalaire par rapport à $Δ$ (en prenant un point $O$ sur l'axe) donne :

\frac{d L _{Δ, i}}{d t} = M_{Δ} (F_{i}^{ext}) + M_{Δ} (F_{i}^{int}),

où $F_{i}^{int}$ regroupe les forces intérieures (liaisons entre points du solide). Sommant sur tout le solide, le moment des forces intérieures se compense par couples (Newton 3 + bras de levier identiques pour une paire d'action-réaction), donc $\sum M_{Δ} (F_{i}^{int}) = 0$ . Reste :

\frac{d}{d t} (i \sum L_{Δ, i}) = M_{Δ} (forces ext \overset{e}{ˊ} rieures) .

Or $\sum_{i} L_{Δ, i} = L_{Δ} = J_{Δ} ω$ (Prop 4.3). Comme $J_{Δ}$ est constant (le solide est indéformable, l'axe est fixe), on a $\frac{d L _{Δ}}{d t} = J_{Δ} \overset{ω}{˙} = J_{Δ} \ddot{θ}$ , d'où la formule encadrée. On retient : « pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, le moment d'inertie joue le rôle de la masse, et l'accélération angulaire celui de l'accélération » — c'est l'analogue de $F = ma$ en rotation.

4.3 — Énergie cinétique de rotation

Proposition 4.5 — Énergie cinétique d'un solide en rotation

Pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe $Δ$ à la vitesse angulaire $ω$ :

E_{c, rot} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2} .

Esquisse de démo : chaque point $P_{i}$ a une vitesse $v_{i} = r_{i} ω$ , donc une énergie cinétique élémentaire $\frac{1}{2} d m_{i} r_{i}^{2} ω^{2}$ . En intégrant, $E_{c} = \frac{1}{2} ω^{2} \int r^{2} d m = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$ .

📝 Analogie translation ↔ rotation. Mémorise cette table de correspondance — elle te sauve la vie en DS :

masse $m$ ↔ moment d'inertie $J_{Δ}$
vitesse $v$ ↔ vitesse angulaire $ω$
quantité de mvt $p = m v$ ↔ moment cinétique $L_{Δ} = J_{Δ} ω$
force $F$ ↔ moment $M_{Δ}$
PFD $F = m \overset{v}{˙}$ ↔ TMC scalaire $M_{Δ} = J_{Δ} \overset{ω}{˙}$
énergie cinétique $\frac{1}{2} m v^{2}$ ↔ $\frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$

5. Applications canoniques — pendule pesant et pendule de torsion

5.1 — Pendule pesant

Définition 5.1 — Pendule pesant

Un pendule pesant est un solide indéformable, de masse $m$ , pouvant tourner sans frottement autour d'un axe horizontal $Δ$ fixe. Soient $G$ son centre de masse, $d = O G$ la distance de $G$ à l'axe, et $θ$ l'angle entre la verticale descendante et $O G$ . Le pendule pesant est donc l'extension « solide » du pendule simple — c'est lui qu'on étudie dans les horloges à balancier.

Application du TMC. Forces extérieures : le poids $m g$ appliqué en $G$ , et la réaction de l'axe $R_{Δ}$ (passant par $Δ$ , donc de moment nul par rapport à $Δ$ ). Le moment du poids par rapport à $Δ$ vaut $M_{Δ} (m g) = - m g d sin θ$ (couple de rappel). Le TMC scalaire donne :

J_{Δ} \ddot{θ} = - m g d sin θ ⟹ \ddot{θ} + \frac{m g d}{J _{Δ}} sin θ = 0.

Dans l'approximation des petites oscillations ( $sin θ \approx θ$ ), c'est un oscillateur harmonique de pulsation propre :

ω_{0} = \frac{m g d}{J _{Δ}}, T_{0} = 2 π \frac{J _{Δ}}{m g d} .

💡 Exemple — Tige homogène oscillant autour d'une extrémité. Tige de longueur

ℓ

, masse

m

, axe horizontal passant par une extrémité

O

. Centre de masse à

d = ℓ /2

, moment d'inertie

J_{Δ} = m ℓ^{2} /3

. D'où :

ω_{0} = \frac{m g ( ℓ /2 )}{m ℓ ^{2} /3} = \frac{3 g}{2 ℓ}, T_{0} = 2 π \frac{2 ℓ}{3 g} .

Plus court que le pendule simple de même longueur

T = 2 π ℓ / g

— d'un facteur

2/3

. C'est un calcul qui tombe régulièrement en oral CCINP.

5.2 — Pendule de torsion

Définition 5.2 — Pendule de torsion

Un pendule de torsion est un solide suspendu à un fil élastique de torsion (axe vertical $Δ$ ). Quand le solide tourne d'un angle $θ$ par rapport à sa position d'équilibre, le fil exerce un couple de rappel $M_{Δ} = - C θ$ , où $C > 0$ est la constante de torsion (en $N \cdot m \cdot rad^{- 1}$ ), caractéristique du fil.

Le TMC scalaire donne directement :

J_{Δ} \ddot{θ} = - C θ ⟹ \ddot{θ} + \frac{C}{J _{Δ}} θ = 0.

C'est un oscillateur harmonique exact (pas d'approximation), de pulsation $ω_{0} = C / J_{Δ}$ et de période $T_{0} = 2 π J_{Δ} / C$ . Cette expérience sert historiquement à mesurer la constante de gravitation $G$ (expérience de Cavendish, 1798) et reste un dispositif de TP MPSI très utilisé.

📐 Méthode-type — Pendule (pesant ou de torsion) en 3 réflexes.

Identifier le couple de rappel : $M_{Δ} = - m g d sin θ$ (pesant) ou $M_{Δ} = - C θ$ (torsion). Le signe $-$ est crucial : il traduit le rappel vers l'équilibre.
Appliquer le TMC scalaire : $J_{Δ} \ddot{θ} = M_{Δ}$ . Toujours, jamais le PFD vectoriel — gain de temps de 5 minutes.
Linéariser si besoin : pour le pendule pesant, l'approximation des petites oscillations $sin θ \approx θ$ ramène à un oscillateur harmonique de pulsation $ω_{0}$ — formule à savoir restituer sans hésiter.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de mécanique impliquant la rotation. Elles coûtent typiquement entre 1 et 3 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Choisir un point pivot mobile. Le TMC

\frac{d L _{O}}{d t} = M_{O} (F)

n'est vrai que si

O

est fixe dans le référentiel galiléen (ou s'il s'agit du centre de masse, cas étendu en spé). Beaucoup d'élèves prennent comme pivot un point qui bouge avec le système (extrémité du solide en chute), ce qui invalide silencieusement toute la suite du raisonnement.

⚠ Erreur 2 — Oublier que le moment dépend du point pivot.

L_{O} \neq = L_{O^{'}}

en général. Si tu changes de pivot en cours d'exercice, tu changes d'équation. Choisis ton point dès le départ — idéalement celui par lequel passent les forces inconnues (axe, réaction) pour annuler leur moment — et garde-le.

⚠ Erreur 3 — Confondre moment d'inertie et masse.

J_{Δ}

dépend de l'axe choisi. Un même cylindre a

J = \frac{1}{2} m R^{2}

par rapport à son axe de révolution mais

J = \frac{1}{4} m R^{2} + \frac{1}{12} m h^{2}

(à recalculer) par rapport à un axe transverse passant par son centre. Toujours préciser l'axe.

⚠ Erreur 4 — Appliquer la loi des aires hors force centrale. La conservation

r^{2} \dot{θ} = C

suppose impérativement que la résultante des forces passe par

O

à tout instant. En présence d'un frottement tangentiel ou d'une force non-centrale, la loi des aires est fausse — erreur grave dans les problèmes de Kepler perturbés.

⚠ Erreur 5 — Confondre conservation de $L_{O}$ et énergie mécanique. Le moment cinétique est conservé si

M_{O} = 0

. L'énergie mécanique est conservée si les forces sont conservatives (et le système isolé thermiquement). Ce sont deux conditions distinctes : sous force centrale,

L_{O}

est toujours conservé, mais l'énergie ne l'est pas si la force centrale n'est pas conservative (exemple : force de Lorentz pure, qui ne travaille pas mais admet

L_{O}

variable avec

B

variable).

7. Pour aller plus loin

La dynamique de rotation est le pivot (au sens propre !) de toute la mécanique avancée. Les chapitres qui la réinvestissent :

Mouvement dans un champ de force centrale newtonien (spé) — Kepler, trajectoires coniques, énergie totale et formule de Binet. Tout part du résultat $r^{2} \dot{θ} = C$ démontré ici.
Mécanique du solide (spé PSI/PC) — extension à un solide en rotation autour d'un axe instantané, théorème de Huygens ( $J_{Δ} = J_{G} + m d^{2}$ ), énergie cinétique barycentrique.
Oscillateurs et résonance — le pendule de torsion est l'oscillateur harmonique de référence (sans approximation), utilisé dans les balances de torsion (Coulomb, Cavendish, expériences MOND modernes).
Mécanique quantique — le moment cinétique se quantifie : valeurs $ℏ ℓ (ℓ + 1)$ et projections $m ℏ$ . La conservation sous force centrale reste vraie et structure toute la physique de l'atome d'hydrogène.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition vectorielle $L_{O} = O M \times m v$ et préciser son unité ?
Sais-tu calculer $M_{O} (F) = O M \times F$ et le projeter sur un axe Δ ?
Sais-tu énoncer ET démontrer le TMC à partir du PFD (passage par $v \times m v = 0$ ) ?
Sais-tu identifier qu'une force est centrale et en déduire la conservation de $L_{O}$ ?
Sais-tu prouver que sous force centrale le mouvement est plan ?
Sais-tu démontrer la loi des aires : $d A / d t = L / (2 m)$ ?
Connais-tu par cœur les moments d'inertie usuels (tige, disque, anneau, sphère pleine et creuse) ?
Sais-tu démontrer le TMC scalaire $J_{Δ} \ddot{θ} = M_{Δ}$ pour un solide en rotation ?
Sais-tu écrire l'énergie cinétique de rotation $E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$ ?
Sais-tu établir l'équation du pendule pesant ET en déduire $T_{0} = 2 π J_{Δ} / (m g d)$ ?
Sais-tu établir l'équation du pendule de torsion et donner sa période exacte ?
Sais-tu réciter la méthode-type TMC en 4 étapes (système, pivot, bilan moments, projection) ?

Démonstrations à savoir refaire

TMC pour un point matériel — partir du PFD, dériver $O M \times p$ , utiliser $v \times m v = 0$
Conservation de $L_{O}$ sous force centrale — colinéarité de $F$ et $O M$ , produit vectoriel nul
Loi des aires — aire du triangle infinitésimal + conservation de $L_{O}$ , conclure $r^{2} \dot{θ} = C$
TMC scalaire pour un solide en rotation — sommation des TMC ponctuels + compensation des moments intérieurs + $L_{Δ} = J_{Δ} ω$