Dynamique du point matériel

Vue d'ensemble

La dynamique du point matériel est le chapitre charnière de la mécanique MPSI : tu y apprends enfin pourquoi les objets se mettent en mouvement (et plus seulement à décrire leur trajectoire, comme en cinématique). Les trois lois de Newton fournissent l'unique méthode universelle pour passer d'un bilan des forces à une équation différentielle du mouvement. Cette fiche regroupe les 3 lois fondamentales, les 5 forces incontournables, la méthode-type PFD en 4 étapes et les 3 démonstrations à savoir refaire (pendule simple, oscillateur harmonique, chute libre avec frottement).

Au programme MPSI (officiel) — Lois de Newton (inertie, PFD, actions réciproques), notion de force, forces usuelles (poids, réaction normale, frottement solide statique et cinétique, tension d'un fil ou d'un ressort, force de Lorentz en mention), forces conservatives, méthode PFD, équilibre d'un point matériel, mouvements à un degré de liberté (chute libre, projectile, oscillateur harmonique, pendule simple, plan incliné), introduction au référentiel non galiléen et forces d'inertie.

Prérequis

Cinématique du point : $v = \dot{r}$ , $a = \ddot{r}$ , repères cartésien, polaire et de Frenet
Calcul vectoriel (somme, produit scalaire, projection sur une base)
Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 à coefficients constants
Trigonométrie : DL $sin θ \approx θ$ et $cos θ \approx 1 - θ^{2} /2$

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1. Notion de force et inventaire des forces usuelles

Définition 1.1 — Force

Une force est une grandeur vectorielle $F$ modélisant l'interaction d'un système sur un autre. Elle se caractérise par quatre éléments (point d'application, direction, sens, norme) et s'exprime en newtons, $1 N = 1 kg \cdot m \cdot s^{- 2}$ . On distingue les forces à distance (gravitation, Lorentz) et les forces de contact (réaction normale, frottement, tension).

Définition 1.2 — Poids

Le poids d'un point matériel de masse $m$ à proximité de la Terre est $P = m g$ , avec $g$ vertical descendant et $g \approx 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ en France métropolitaine. En MPSI, on prend $g$ constant et le référentiel terrestre supposé galiléen.

Définition 1.3 — Réaction d'un support solide

Au contact d'un solide, le point matériel subit une réaction $R = N + T$ :

Réaction normale $N$ , perpendiculaire à la surface, avec $N \geq 0$ (sinon le contact est rompu).
Force de frottement $T$ , tangente à la surface, qui s'oppose au mouvement relatif (ou à sa tendance).

Proposition 1.4 — Lois de Coulomb du frottement solide

Statique (pas de glissement) : $∥ T ∥ \leq μ_{s} ∥ N ∥$ . Tant que cette inégalité est satisfaite, le solide reste immobile.
Cinétique (glissement effectif) : $∥ T ∥ = μ_{c} ∥ N ∥$ , de sens opposé à la vitesse relative.

En général, $μ_{c} ≲ μ_{s}$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — $T$ au seuil de glissement. Tant qu'il n'y a pas de glissement, le frottement prend exactement la valeur nécessaire à l'équilibre (donnée par le PFD), bornée par

μ_{s} N

. N'écris JAMAIS «

T = μ_{s} N

» pour résoudre un problème statique : l'égalité n'est valable qu'à la limite du glissement. Confondre cas statique et cinétique coûte 2 points systématiquement.

Définition 1.5 — Tension d'un fil et force de rappel d'un ressort

Fil inextensible sans masse : exerce $T$ dirigée le long du fil vers le point d'attache opposé, de norme $T \geq 0$ uniforme tout le long.
Ressort idéal de raideur $k > 0$ et longueur à vide $ℓ_{0}$ : $F = - k (ℓ - ℓ_{0}) u$ , $u$ unitaire de l'extrémité fixe vers la masse. Le signe $-$ traduit le rappel vers la position d'équilibre.

📝 Force de Lorentz (mention au programme). Une charge

q

animée de la vitesse

v

dans

(E, B)

subit

F = q (E + v \land B)

. La composante magnétique

q v \land B

ne travaille jamais (orthogonale à

v

). Traitement détaillé dans le chapitre dédié.

Définition 1.6 — Force conservative

Une force $F$ est conservative s'il existe une fonction scalaire $E_{p}$ (l'énergie potentielle) telle que $F = - \nabla E_{p}$ . Son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi, uniquement de $- Δ E_{p}$ .

Conservatives : poids ( $E_{p} = m g z$ ), ressort ( $E_{p} = \frac{1}{2} k (ℓ - ℓ_{0})^{2}$ ), gravitation, électrostatique.
Non conservatives : frottements (solides ou fluides : ils dissipent), tension d'un fil en général.

2. Les trois lois de Newton

Les trois lois de Newton (1687) sont le cœur de la mécanique classique. Tu dois les connaître mot pour mot, dans l'ordre, et savoir les commenter à l'oral : c'est une question de cours standard en khôlle.

2.1 — Première loi : principe d'inertie

Théorème 2.1 — Principe d'inertie (1ʳᵉ loi de Newton)

Il existe au moins un référentiel, appelé référentiel galiléen, dans lequel tout point matériel isolé (ou pseudo-isolé) est animé d'un mouvement rectiligne uniforme — c'est-à-dire $v = cste$ , donc $a = 0$ .

📝 Statut. Cette loi définit ce qu'est un référentiel galiléen. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen (principe de relativité galiléen). En MPSI, le référentiel terrestre est supposé galiléen sur des durées d'expérience courtes.

2.2 — Deuxième loi : principe fondamental de la dynamique

Théorème 2.2 — Principe fondamental de la dynamique (PFD)

Dans un référentiel galiléen $R_{g}$ , pour tout point matériel $M$ de masse $m$ :

m a_{M / R_{g}} = i \sum F_{i},

où $\sum_{i} F_{i}$ est la somme vectorielle de toutes les forces extérieures exercées sur $M$ . C'est la relation fondamentale de toute la mécanique du point.

📝 Forme intégrale. Le PFD se réécrit

\frac{d p}{d t} = \sum_{i} F_{i}

avec

p = m v

la quantité de mouvement. Cette écriture reste valable en relativité ; en MPSI, on utilise

m a = \sum F

puisque

m

est constante.

2.3 — Troisième loi : principe des actions réciproques

Théorème 2.3 — Principe des actions réciproques (3ᵉ loi)

Si un point matériel $A$ exerce sur $B$ la force $F_{A \to B}$ , alors $B$ exerce sur $A$ la force opposée $F_{B \to A} = - F_{A \to B}$ , avec la même droite d'action $(A B)$ .

⚠ Piège — actions réciproques ≠ équilibre. Les forces

F_{A \to B}

F_{B \to A}

sont opposées mais s'appliquent sur des systèmes différents. On ne peut donc pas les sommer pour obtenir l'équilibre d'un système. L'équilibre, c'est la somme des forces s'appliquant sur un même système qui est nulle. Erreur n°1 du chapitre, corrigée systématiquement aux concours.

3. Méthode-type — Appliquer le PFD

📐 Méthode-type — PFD en 4 étapes (à appliquer SYSTÉMATIQUEMENT).

Système. Définis explicitement le point matériel étudié (souvent « le point $M$ de masse $m$ »).
Référentiel. Précise le référentiel et justifie qu'il est galiléen (« $R$ terrestre supposé galiléen »). Choisis le repère adapté : cartésien (mouvement rectiligne ou parabolique), polaire (force centrale), Frenet (mouvement curviligne).
Bilan des forces. Liste toutes les forces s'exerçant sur le système. Trace un schéma vectoriel. C'est l'étape la plus sanctionnée si bâclée (oublier la réaction normale ou la tension coûte 2-3 points).
Projection. Applique $m a = \sum F$ puis projette sur les axes pour obtenir un système d'équations différentielles scalaires. Résous.

Ce schéma à 4 étapes doit devenir un réflexe absolu : chaque exercice de dynamique MPSI suit cette trame, sans exception.

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3.1 — Équilibre d'un point matériel

Définition 3.1 — Équilibre statique

Un point matériel est en équilibre dans $R$ galiléen si sa vitesse y est identiquement nulle. Le PFD se réduit alors à $i \sum F_{i} = 0$ , condition nécessaire et suffisante à projeter sur les axes (2 équations dans le plan, 3 dans l'espace).

💡 Exemple canonique — Masse suspendue à deux fils. Masse

m

suspendue par deux fils inextensibles faisant les angles

α

β

avec la verticale. Bilan : poids

m g

, tensions

T_{1}

T_{2}

. Projections : horizontale

T_{1} sin α = T_{2} sin β

; verticale

T_{1} cos α + T_{2} cos β = m g

. Système

2 \times 2

qui donne

T_{1}

T_{2}

4. Mouvements à un degré de liberté

4.1 — Chute libre verticale (sans frottement)

Masse $m$ lâchée sans vitesse initiale, axe vertical descendant $O z$ . Bilan : poids $P = m g e_{z}$ . PFD : $\overset{z}{¨} = g$ . Mouvement uniformément accéléré :

\overset{z}{˙} (t) = v_{0} + g t, z (t) = z_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2} .

4.2 — Mouvement parabolique du projectile

Projection avec vitesse initiale $v_{0}$ faisant l'angle $α$ avec l'horizontale, sans frottement. Repère $(O x y)$ , $O y$ vertical ascendant. Bilan : poids $P = - m g e_{y}$ . PFD projeté : $\overset{x}{¨} = 0$ , $\overset{y}{¨} = - g$ . Intégrations avec $\overset{x}{˙} (0) = v_{0} cos α$ , $\overset{y}{˙} (0) = v_{0} sin α$ , $x (0) = y (0) = 0$ :

x (t) = v_{0} cos α t, y (t) = v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2} .

En éliminant $t$ , équation de la trajectoire : $y (x) = x tan α - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α}$ , c'est une parabole. Portée maximale (sol horizontal) pour $α = π /4$ , avec $x_{m a x} = v_{0}^{2} / g$ .

4.3 — Chute libre avec frottement fluide linéaire ★

Théorème 4.1 — Vitesse limite et constante de temps ★ À savoir démontrer

Pour la chute libre verticale avec frottement fluide linéaire $f = - λ v$ ( $λ > 0$ ), la vitesse tend vers une vitesse limite $v_{lim} = m g / λ$ , avec une constante de temps $τ = m / λ$ :

v (t) = v_{lim} (1 - e^{- t / τ}) .

Démonstration (équation différentielle linéaire d'ordre 1)

Système : la masse $m$ . Référentiel terrestre galiléen. Bilan : poids $P = m g e_{z}$ (axe descendant) et frottement $f = - λ v e_{z}$ . PFD projeté sur $O z$ :

m \overset{v}{˙} = m g - λ v, soit \overset{v}{˙} + \frac{λ}{m} v = g .

Équation linéaire d'ordre 1 à coefficients constants. Solution générale = particulière + homogène :

Particulière (régime permanent, $\overset{v}{˙} = 0$ ) : $v_{p} = m g / λ = v_{lim}$ .
Homogène : $v_{h} (t) = A e^{- t / τ}$ avec $τ = m / λ$ .

D'où $v (t) = v_{lim} + A e^{- t / τ}$ . Condition $v (0) = 0$ ⟹ $A = - v_{lim}$ , donc $v (t) = v_{lim} (1 - e^{- t / τ})$ . Quand $t \to + \infty$ , $v \to v_{lim}$ : poids et frottement se compensent. À $t = 3 τ$ , on est à 95 % de $v_{lim}$ .

⚠ Piège — sens du frottement.

f = - λ v

s'oppose toujours à la vitesse, peu importe le sens du mouvement. Si la masse est lancée vers le haut puis retombe, l'expression reste

f = - λ v

— le signe de la composante change avec celui de

\overset{z}{˙}

, pas l'expression vectorielle.

4.4 — Oscillateur harmonique non amorti ★

Théorème 4.2 — Équation et solution de l'oscillateur harmonique ★ À savoir démontrer

Une masse $m$ reliée à un ressort idéal de raideur $k$ (sans frottement, support horizontal) obéit à :

\overset{x}{¨} + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = k / m .

Solution générale $x (t) = X_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ , amplitude $X_{m}$ et phase $φ$ déterminées par $x (0)$ , $\overset{x}{˙} (0)$ . Période propre $T_{0} = 2 π / ω_{0} = 2 π m / k$ .

Démonstration (PFD + équation différentielle d'ordre 2)

Système : la masse $m$ . Référentiel terrestre galiléen. Bilan : poids $P = - m g e_{z}$ , réaction normale $N = N e_{z}$ , rappel du ressort $F = - k x e_{x}$ ( $x$ écart à la position d'équilibre).

PFD projeté sur $O x$ : $m \overset{x}{¨} = - k x$ . Sur $O z$ : $0 = - m g + N$ , soit $N = m g$ (le mouvement reste horizontal). Équation linéaire d'ordre 2 sans second membre :

\overset{x}{¨} + \frac{k}{m} x = 0.

Équation caractéristique $r^{2} + k / m = 0$ , racines imaginaires pures $r = \pm i ω_{0}$ , $ω_{0} = k / m$ . Solution générale réelle :

x (t) = A cos (ω_{0} t) + B sin (ω_{0} t) = X_{m} cos (ω_{0} t + φ),

avec $X_{m} = A^{2} + B^{2}$ et $tan φ = - B / A$ . Constantes via $x (0)$ et $\overset{x}{˙} (0)$ . Période propre $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ .

💡 Exemple — portrait de phase. Si on trace

\overset{x}{˙}

en fonction de

x

(espace des phases), la trajectoire est :

(\frac{x}{X _{m}})^{2} + (\frac{x ˙}{X _{m} ω _{0}})^{2} = 1,

une ellipse centrée à l'origine, de demi-axes

X_{m}

X_{m} ω_{0}

. Trajectoire fermée ⟹ mouvement périodique sans dissipation : signature graphique d'un oscillateur conservatif.

4.5 — Pendule simple en petites oscillations ★

Théorème 4.3 — Équation et période du pendule simple ★ À savoir démontrer

Point matériel $M$ de masse $m$ au bout d'un fil inextensible sans masse de longueur $L$ , attaché à $O$ . Équation exacte : $\ddot{θ} + \frac{g}{L} sin θ = 0$ . Dans l'approximation des petites oscillations ( $∣ θ ∣ ≪ 1$ rad), on linéarise $sin θ \approx θ$ :

\ddot{θ} + \frac{g}{L} θ = 0, T = 2 π \frac{L}{g} .

Démonstration (PFD en polaires, projection orthoradiale, linéarisation)

Système : $M$ , masse $m$ . Référentiel galiléen. Coordonnées polaires $(r, θ)$ centrées en $O$ , $r = L$ constant. Base $(e_{r}, e_{θ})$ , $e_{r}$ de $O$ vers $M$ , $e_{θ}$ orthogonal dans le sens de $θ$ croissant. Accélération avec $r = L$ constant :

a = - L \dot{θ}^{2} e_{r} + L \ddot{θ} e_{θ} .

Bilan : tension $T = - T e_{r}$ et poids $P = m g e_{z}$ (vertical descendant). Avec $θ$ mesuré depuis la verticale descendante : $e_{z} = cos θ e_{r} - sin θ e_{θ}$ , d'où $P = m g cos θ e_{r} - m g sin θ e_{θ}$ . PFD $m a = T + P$ projeté :

{- m L \dot{θ}^{2} = - T + m g cos θ (e_{r}) m L \ddot{θ} = - m g sin θ (e_{θ})

La projection orthoradiale donne directement l'équation du pendule, indépendamment de la tension : $\ddot{θ} + (g / L) sin θ = 0$ . Pour les petites oscillations ( $∣ θ ∣ ≪ 1$ rad), $sin θ \approx θ$ (DL à l'ordre 1) :

\ddot{θ} + ω_{0}^{2} θ = 0, ω_{0} = g / L,

d'où $T = 2 π L / g$ . Remarquable : la période ne dépend pas de l'amplitude (dans l'approximation linéaire) ni de la masse — c'est l'isochronisme des petites oscillations, découvert par Galilée.

⚠ Piège — anharmonicité aux grandes oscillations. L'isochronisme

T = 2 π L / g

n'est valable que sous l'approximation

sin θ \approx θ

. Un pendule lâché à

6 0^{\circ}

a une période supérieure de

\sim 7 %

à la formule linéaire. Mentionne toujours « dans l'approximation des petites oscillations » quand tu cites cette formule.

4.6 — Plan incliné (avec et sans frottement)

Masse $m$ sur un plan incliné d'un angle $α$ avec l'horizontale. Axe $O x$ le long du plan (orienté vers le bas), $O y$ normal au plan. Bilan : poids $P = m g sin α e_{x} - m g cos α e_{y}$ , réaction normale $N = N e_{y}$ , frottement $T = - T e_{x}$ ( $T \geq 0$ si mouvement vers le bas). PFD projeté :

{m \overset{x}{¨} = m g sin α - T 0 = N - m g cos α \Rightarrow N = m g cos α .

Sans frottement ( $T = 0$ ) : $\overset{x}{¨} = g sin α$ , mouvement uniformément accéléré.
Avec glissement : $T = μ_{c} N = μ_{c} m g cos α$ , donc $\overset{x}{¨} = g (sin α - μ_{c} cos α)$ . Glissement effectif ssi $tan α > μ_{c}$ .
Sans glissement (équilibre) : condition $tan α \leq μ_{s}$ ; $T$ s'ajuste à $m g sin α$ , borné par $μ_{s} m g cos α$ .

📝 Angle limite (ou angle d'éboulement). Angle critique au-delà duquel le mouvement démarre :

α_{c} = arctan (μ_{s})

. On le mesure en TP pour déterminer expérimentalement

μ_{s}

(bois sur bois :

μ_{s} \approx 0, 5

, soit

α_{c} \approx 2 7^{\circ}

5. Référentiel non galiléen — introduction

Dans un référentiel non galiléen, le PFD $m a = \sum F$ n'est plus directement valable : il faut ajouter des termes correctifs, les forces d'inertie.

Théorème 5.1 — PFD dans un référentiel non galiléen

Dans $R^{'}$ non galiléen : $m a_{M / R^{'}} = i \sum F_{i} + F_{i e} + F_{i c}$ , où $F_{i e}$ est la force d'inertie d'entraînement et $F_{i c}$ la force d'inertie de Coriolis (nulle si $R^{'}$ ne tourne pas).

📝 Cas usuel — translation accélérée. Si

R^{'}

est en translation par rapport à

R_{g}

galiléen avec

a_{0}

, alors

F_{i e} = - m a_{0}

F_{i c} = 0

. C'est ce qu'on ressent dans un train qui freine : on est projeté vers l'avant par

- m a_{0}

💡 Exemple — Fil à plomb dans un wagon accélérant. Wagon accélérant à

a_{0}

horizontale. Dans

R^{'}

(wagon, non galiléen), le fil à plomb s'incline d'un angle

θ

par rapport à la verticale, avec

tan θ = a_{0} / g

. Démonstration : équilibre sous poids, tension et

- m a_{0}

; projection horizontale

T sin θ = m a_{0}

, verticale

T cos θ = m g

, division ⟹

tan θ = a_{0} / g

Le traitement détaillé (force centrifuge, Coriolis, théorème du moment cinétique en référentiel tournant) est l'objet d'un chapitre de spé. En MPSI, retiens uniquement le mécanisme « on ajoute $- m a_{e}$ » et l'exemple du wagon.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Erreurs systématiquement relevées dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de mécanique du point. Elles coûtent 1 à 3 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier de préciser système et référentiel. Beaucoup d'élèves attaquent par « D'après le PFD,

m \overset{x}{¨} = \dots

» sans énoncer le système ni justifier le référentiel galiléen. Le correcteur retire 1 point. Réflexe : « Système : le point $M$ . Référentiel : terrestre, supposé galiléen. »

⚠ Erreur 2 — Confondre $T \leq μ_{s} N$ (statique) et $T = μ_{c} N$ (cinétique). Au repos, le frottement prend la valeur nécessaire à l'équilibre, bornée par

μ_{s} N

. Seule la limite de glissement donne l'égalité. Dès que ça glisse,

T = μ_{c} N

⚠ Erreur 3 — Mauvaise décomposition du poids sur un plan incliné.

P = m g sin α e_{x} - m g cos α e_{y}

avec

O x

le long du plan et

O y

normal. Beaucoup inversent

sin

cos

. Vérif : si

α = 0

P

doit n'avoir qu'une composante selon

e_{y}

— c'est bien

sin α

qui multiplie

e_{x}

⚠ Erreur 4 — Linéariser $sin θ \approx θ$ sans le dire. Le passage de

\ddot{θ} + (g / L) sin θ = 0

\ddot{θ} + (g / L) θ = 0

est une approximation qui mérite justification (« dans l'approximation des petites oscillations,

∣ θ ∣ ≪ 1

sin θ \approx θ

à l'ordre 1 »). Sans cette phrase, 1 point en moins.

⚠ Erreur 5 — Confondre actions réciproques et équilibre. Les forces

F_{A \to B}

F_{B \to A}

sont opposées (3ᵉ loi) mais s'appliquent à des systèmes différents — elles ne se compensent jamais sur un même système.

7. Pour aller plus loin

La dynamique du point est l'infrastructure de toute la mécanique MPSI et MP/PC/PSI. Chapitres aval :

Approches énergétiques — théorème de l'énergie cinétique (PFD scalaire-produit $v$ ), travail, puissance, énergie potentielle.
Oscillateurs amortis et forcés — $\overset{x}{¨} + 2 ξ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = F (t)$ ; même trame PFD.
Mouvement à force centrale (Kepler) — PFD en polaires + gravitation newtonienne donne les ellipses planétaires.
Systèmes de points (spé) — théorème du centre d'inertie, extension du PFD à $N$ points.
Mécanique des solides (spé) — moment cinétique, moment d'une force, théorème du moment cinétique.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS de mécanique, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer les trois lois de Newton dans l'ordre, mot pour mot, avec leur statut (inertie = définition de référentiel galiléen, PFD = relation fondamentale, réciproques = anti-équilibre) ?
Connais-tu les 5 forces usuelles avec leurs expressions (poids $m g$ , réaction normale, frottement statique vs cinétique, tension d'un fil, rappel d'un ressort $- k (ℓ - ℓ_{0}) u$ ) ?
Sais-tu énoncer les deux lois de Coulomb du frottement solide et la distinction $\leq μ_{s} N$ (statique) vs $= μ_{c} N$ (cinétique) ?
Sais-tu réciter la méthode-type PFD en 4 étapes (système, référentiel, bilan, projection) sans regarder ?
Sais-tu démontrer l'équation du pendule simple, linéariser et obtenir $T = 2 π L / g$ ?
Sais-tu démontrer $\overset{x}{¨} + ω_{0}^{2} x = 0$ pour l'oscillateur harmonique et tracer son portrait de phase elliptique ?
Sais-tu résoudre une chute libre avec frottement fluide linéaire et obtenir $v (t) = v_{lim} (1 - e^{- t / τ})$ ?
Sais-tu traiter le plan incliné avec et sans frottement, et déduire l'angle limite $α_{c} = arctan (μ_{s})$ ?
Sais-tu écrire le PFD dans un référentiel non galiléen en translation accélérée (force d'inertie $- m a_{0}$ ) ?
Distingues-tu forces conservatives (poids, ressort, gravitation) et non conservatives (frottements) ?
Sais-tu reconnaître les 5 erreurs typiques de copie (système oublié, $μ_{s}$ vs $μ_{c}$ , décomposition poids, linéarisation non justifiée, confusion actions réciproques / équilibre) ?

Démonstrations à savoir refaire

Chute libre avec frottement fluide linéaire — équation d'ordre 1, solution $v (t) = v_{lim} (1 - e^{- t / τ})$
Oscillateur harmonique non amorti — PFD + équation $\overset{x}{¨} + ω_{0}^{2} x = 0$ , portrait de phase elliptique
Pendule simple en petites oscillations — PFD en polaires, projection orthoradiale, linéarisation $sin θ \approx θ$ , période $T = 2 π L / g$