Circuits linéaires du premier ordre

Vue d'ensemble

Les circuits linéaires du premier ordre — RC et RL soumis à un échelon de tension — sont le premier laboratoire où le physicien rencontre une équation différentielle linéaire d'ordre 1, sa solution exponentielle et la notion clé de constante de temps τ. Tu vas y croiser les outils que tu réutiliseras toute l'année : Kirchhoff, conventions récepteur/générateur, conditions initiales, continuités à $t = 0$ , bilan énergétique. Cette fiche regroupe les 2 équations différentielles canoniques (RC et RL), les 4 démonstrations à savoir refaire, le rendement 50 % de la charge d'un condensateur et les pièges qui font perdre des points en DS.

Au programme MPSI (officiel) — Régime transitoire d'un circuit RC série soumis à un échelon de tension : équation différentielle

τ d u_{C} / d t + u_{C} = E

, constante de temps

τ = R C

, solution exponentielle, allure et durée caractéristique

5 τ

. Bilan énergétique de la charge d'un condensateur : énergie fournie, stockée, dissipée. Régime transitoire d'un circuit RL série soumis à un échelon :

τ = L / R

. Portraits de phase qualitatifs. Analogies entre grandeurs électriques et mécaniques.

Prérequis

Lois de Kirchhoff (lois des nœuds et des mailles) et conventions récepteur/générateur
Relations courant/tension des dipôles linéaires : résistor $u = R i$ , condensateur $i = C d u / d t$ , bobine $u = L d i / d t$
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants (solution générale + solution particulière)
Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur et continuité du courant dans une bobine

🎯 Accompagnement Majorant

Les transitoires RC et RL tombent à TOUS les DS du premier semestre. Si tu hésites encore sur le signe d'une équation différentielle ou sur la condition initiale à $t = 0^{+}$ , nos mentors alumni X · Centrale · Mines te débloquent en 1 séance, avec exos sur-mesure tirés de tes propres DS et khôlles.

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1. Circuit RC série soumis à un échelon de tension

1.1 — Montage et mise en équation

Définition 1.1 — Échelon de tension

Un échelon de tension d'amplitude $E$ est un générateur idéal de tension $e (t)$ tel que $e (t) = 0$ pour $t < 0$ et $e (t) = E$ pour $t \geq 0$ . Mathématiquement, on note $e (t) = E 1_{t \geq 0}$ . Physiquement, il modélise le basculement d'un interrupteur fermant le circuit sur une pile à l'instant $t = 0$ .

Définition 1.2 — Circuit RC série

Un circuit RC série est l'association en série d'un générateur de tension $e (t)$ , d'un résistor de résistance $R > 0$ et d'un condensateur de capacité $C > 0$ . On note $u_{C} (t)$ la tension aux bornes du condensateur (orientée du $+$ vers le $-$ en convention récepteur), $i (t)$ le courant orienté dans le sens du parcours de la maille, et $q (t) = C u_{C} (t)$ la charge de l'armature « entrante ».

Théorème 1.3 — Équation différentielle du circuit RC série ★ À savoir démontrer

Pour $t \geq 0$ , la tension $u_{C} (t)$ aux bornes du condensateur satisfait :

τ \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E avec τ = R C,

où $τ$ est appelée constante de temps du circuit, homogène à un temps ( $Ω \cdot F = s$ ).

Démonstration (loi des mailles + relations constitutives)

On oriente la maille dans le sens du courant $i (t)$ . En convention récepteur sur le résistor et le condensateur, la loi des mailles donne :

e (t) = u_{R} (t) + u_{C} (t) .

Le résistor vérifie la loi d'Ohm $u_{R} = R i$ . Le condensateur, en convention récepteur avec $q = C u_{C}$ , vérifie $i = d q / d t = C d u_{C} / d t$ . En reportant :

E = R i + u_{C} = R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C},

soit, en posant $τ = R C$ :

τ \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E . ■

Vérification dimensionnelle : $[R] \cdot [C] = Ω \cdot F = \frac{V}{A} \cdot \frac{C}{V} = \frac{C}{A} = s$ . OK.

⚠ Piège #1 — Signe en convention générateur. Si tu places le condensateur en convention générateur par mégarde, tu obtiens

i = - C d u_{C} / d t

et l'équation change de signe — la solution devient une exponentielle croissante non bornée qui n'a aucun sens physique. Règle d'or : toujours orienter le courant dans le sens du parcours de la maille et travailler en convention récepteur sur les dipôles passifs.

1.2 — Résolution avec condition initiale

Théorème 1.4 — Solution du circuit RC avec condition initiale ★ À savoir démontrer

Soit $U_{0} = u_{C} (0^{-})$ la tension initiale aux bornes du condensateur. Par continuité de $u_{C}$ , on a aussi $u_{C} (0^{+}) = U_{0}$ , et pour tout $t \geq 0$ :

u_{C} (t) = E + (U_{0} - E) e^{- t / τ} .

En particulier, à condensateur initialement déchargé ( $U_{0} = 0$ ) : $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ .

Démonstration (solution homogène + solution particulière)

L'équation $τ u_{C}^{'} + u_{C} = E$ est linéaire d'ordre 1 à coefficients constants avec second membre constant. On cherche sa solution sous la forme $u_{C} (t) = u_{C, h} (t) + u_{C, p} (t)$ .

(i) Solution particulière constante. On cherche une solution constante $u_{C, p} = α$ . En reportant $α^{'} = 0$ dans l'équation, on obtient $α = E$ , donc $u_{C, p} (t) = E$ (régime permanent).

(ii) Solution générale de l'équation homogène. L'équation $τ u_{C}^{'} + u_{C} = 0$ a pour solutions $u_{C, h} (t) = A e^{- t / τ}$ avec $A \in R$ (équation caractéristique $τ r + 1 = 0$ donc $r = - 1/ τ$ ).

(iii) Recollage avec la condition initiale. La solution générale s'écrit $u_{C} (t) = E + A e^{- t / τ}$ . À $t = 0^{+}$ , la continuité de $u_{C}$ impose $u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-}) = U_{0}$ , donc :

U_{0} = E + A ⟺ A = U_{0} - E .

D'où $u_{C} (t) = E + (U_{0} - E) e^{- t / τ}$ . $■$

Vérification limites : $u_{C} (0^{+}) = E + (U_{0} - E) = U_{0}$ ✓ et $u_{C} (t) t \to + \infty E$ ✓ (régime permanent : le condensateur se charge jusqu'à la tension du générateur).

Proposition 1.5 — Courant transitoire dans le circuit RC

En dérivant $u_{C}$ et en utilisant $i = C d u_{C} / d t$ :

i (t) = \frac{E - U _{0}}{R} e^{- t / τ} .

Discontinuité du courant : à $t = 0^{-}$ , $i = 0$ (circuit ouvert) ; à $t = 0^{+}$ , $i (0^{+}) = (E - U_{0}) / R$ . Le courant peut être discontinu (ce qui n'est pas interdit puisqu'aucune bobine n'est présente). Le condensateur, lui, garde une tension continue.

⚠ Piège #2 — Continuités à $t = 0$ . En présence d'un condensateur seul, c'est

u_{C}

qui est continue, JAMAIS le courant. Beaucoup d'élèves écrivent par réflexe

i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0

— c'est faux ici,

i

saute de

0

(E - U_{0}) / R

. La règle générale : tension continue sur

C

, courant continu dans

L

, point.

2. Constante de temps τ, allures et temps caractéristiques

2.1 — Interprétation de τ

Proposition 2.1 — Trois lectures graphiques de τ

Pour la charge d'un condensateur initialement déchargé sous l'échelon $E$ : $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ . La constante $τ$ se lit graphiquement de trois façons :

Tangente à l'origine. $u_{C}^{'} (0) = E / τ$ : la tangente à $u_{C}$ au point $(0, 0)$ coupe l'asymptote horizontale $u_{C} = E$ à l'abscisse $t = τ$ .
Valeur à $t = τ$ . $u_{C} (τ) = E (1 - e^{- 1}) \approx 0, 63 E$ . À l'instant $τ$ , la tension a atteint environ 63 % de sa valeur finale.
Régime quasi-permanent à $5 τ$ . $u_{C} (5 τ) = E (1 - e^{- 5}) \approx 0, 993 E$ : à $5 τ$ , le condensateur est chargé à plus de 99 %. C'est la durée usuelle au-delà de laquelle on considère le régime transitoire comme terminé.

💡 Exemple — Ordres de grandeur de τ. Pour

R = 1 k Ω

C = 1 μ F

τ = 1 0^{3} \times 1 0^{- 6} = 1 0^{- 3} s = 1 ms

, le condensateur est chargé en

5 ms

. Pour

R = 1 M Ω

C = 1 μ F

τ = 1 s

, charge en

5 s

— perceptible à l'oscilloscope. C'est en jouant sur le couple

(R, C)

que tu calibres la rapidité d'un circuit RC dans une chaîne d'acquisition.

📐 Méthode-type — Calculer une constante de temps en 4 étapes.

Identifier le condensateur ou la bobine. Un seul élément réactif = circuit du premier ordre.
Court-circuiter le générateur de tension (et débrancher les générateurs de courant) pour calculer la résistance équivalente $R_{\overset{e}{ˊ} q}$ vue des bornes du condensateur ou de la bobine.
Appliquer la formule : $τ = R_{\overset{e}{ˊ} q} C$ pour un condensateur, $τ = L / R_{\overset{e}{ˊ} q}$ pour une bobine.
Vérifier la dimension et l'ordre de grandeur — un $τ$ qui sort en $1 0^{- 9} s$ ou $1 0^{6} s$ sur un montage de TP est en général une erreur de calcul.

Cette méthode marche aussi pour des circuits avec plusieurs résistors en série/parallèle : ce qui compte, c'est la résistance équivalente vue du condensateur ou de la bobine, générateurs éteints.

2.2 — Allures de charge et décharge

Proposition 2.2 — Symétrie charge/décharge

Pour un même circuit RC :

Charge ( $U_{0} = 0, E > 0$ ) : $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ , exponentielle croissante de $0$ vers $E$ , concavité tournée vers le bas.
Décharge ( $U_{0} > 0, E = 0$ ) : $u_{C} (t) = U_{0} e^{- t / τ}$ , exponentielle décroissante de $U_{0}$ vers $0$ , concavité tournée vers le haut.

La constante de temps $τ$ est identique dans les deux cas — c'est une propriété du circuit, pas de la sollicitation.

📝 Lecture rapide d'un oscillogramme. Devant une courbe expérimentale, repère : (1) la valeur asymptotique

u_{C} (\infty)

; (2) le point où la courbe atteint 63 % de cette valeur ou 37 % de l'écart initial — son abscisse donne

τ

; (3) la pente à l'origine

u_{C}^{'} (0)

prolongée jusqu'à l'asymptote, qui recoupe l'asymptote à

t = τ

3. Bilan énergétique de la charge d'un condensateur

Définition 3.1 — Énergie stockée dans un condensateur

Un condensateur de capacité $C$ sous la tension $u_{C}$ stocke l'énergie électrique :

E_{C} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} = \frac{1}{2} \frac{q ^{2}}{C} .

Cette énergie est positive, continue (puisque $u_{C}$ l'est), et restituable intégralement à un autre circuit lors d'une décharge sur une charge non dissipative.

Théorème 3.2 — Bilan énergétique de la charge sous échelon ★ À savoir démontrer

Soit un condensateur initialement déchargé chargé par un générateur idéal de tension $E$ à travers un résistor $R$ . De $t = 0$ à $t = + \infty$ :

Énergie fournie par le générateur : $W_{g} = C E^{2}$ .
Énergie stockée dans le condensateur : $W_{C} = \frac{1}{2} C E^{2}$ .
Énergie dissipée par effet Joule dans $R$ : $W_{R} = \frac{1}{2} C E^{2}$ .

Conséquence majeure : le rendement énergétique de la charge d'un condensateur par un échelon vaut $η = W_{C} / W_{g} = 1/2 = 50 %$ , indépendamment de $R$ , $C$ et $E$ . La moitié de l'énergie est toujours perdue en chaleur.

Démonstration (intégration directe des trois bilans)

On suppose le condensateur initialement déchargé : $U_{0} = 0$ . Donc $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ et $i (t) = (E / R) e^{- t / τ}$ .

(i) Énergie fournie par le générateur. La puissance instantanée fournie est $P_{g} (t) = e (t) i (t) = E i (t)$ . En intégrant :

W_{g} = \int_{0}^{+ \infty} E i (t) d t = E \cdot \frac{E}{R} \int_{0}^{+ \infty} e^{- t / τ} d t = \frac{E ^{2}}{R} \cdot τ = \frac{E ^{2}}{R} \cdot R C = C E^{2} .

(ii) Énergie stockée dans le condensateur. Comme $u_{C} (0) = 0$ et $u_{C} (+ \infty) = E$ :

W_{C} = E_{C} (+ \infty) - E_{C} (0) = \frac{1}{2} C E^{2} - 0 = \frac{1}{2} C E^{2} .

(iii) Énergie dissipée par effet Joule. La puissance dissipée vaut $P_{R} (t) = R i (t)^{2}$ , donc :

W_{R} = \int_{0}^{+ \infty} R i (t)^{2} d t = R \cdot \frac{E ^{2}}{R ^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{E ^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{1}{2} C E^{2} .

Vérification de la conservation. $W_{g} = W_{C} + W_{R} = C E^{2}$ ✓ : le bilan énergétique est cohérent (la puissance fournie est intégralement répartie entre stockage et dissipation).

D'où $η = W_{C} / W_{g} = \frac{1}{2}$ . $■$

📝 Le rendement 50 %, pourquoi ? Il vient du fait que la tension aux bornes du condensateur croît progressivement de

0

E

, alors que le générateur impose

E

en permanence. La différence

E - u_{C} (t)

chute en pure perte aux bornes du résistor, et l'intégration donne exactement la même quantité que l'énergie stockée. Pour améliorer ce rendement, il faut se rapprocher de l'équilibre par paliers (charge quasi-statique par échelons fins, ou hacheur abaisseur électronique) — c'est l'idée qui motive les alimentations à découpage en électronique de puissance.

🧑‍🏫 Décortique le bilan énergétique

Le rendement 50 % est LA question piège des oraux X-ENS et Mines. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X · Centrale, tu maîtrises les trois intégrales, le raisonnement physique derrière, et les variantes en oral (décharge sur résistor, transfert entre deux condensateurs).

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4. Circuit RL série soumis à un échelon de tension

Définition 4.1 — Circuit RL série

Un circuit RL série est l'association en série d'un générateur de tension $e (t)$ , d'un résistor de résistance $R > 0$ et d'une bobine d'inductance $L > 0$ sans résistance interne (modèle idéal). On note $i (t)$ le courant orienté dans le sens du parcours de la maille.

Théorème 4.2 — Équation et solution du circuit RL ★ À savoir démontrer

Pour un échelon $e (t) = E 1_{t \geq 0}$ appliqué à $t = 0$ , le courant $i (t)$ satisfait :

τ \frac{d i}{d t} + i = \frac{E}{R} avec τ = \frac{L}{R} .

Si $i (0^{-}) = I_{0}$ , par continuité du courant dans une bobine on a $i (0^{+}) = I_{0}$ , et :

i (t) = \frac{E}{R} + (I_{0} - \frac{E}{R}) e^{- t / τ} .

En particulier, à courant initialement nul ( $I_{0} = 0$ ) : $i (t) = \frac{E}{R} (1 - e^{- t / τ})$ , exponentielle croissante de $0$ vers la valeur permanente $I_{\infty} = E / R$ .

Démonstration (loi des mailles + intégration)

(i) Mise en équation. La loi des mailles donne $e (t) = u_{R} + u_{L}$ avec $u_{R} = R i$ et $u_{L} = L d i / d t$ (convention récepteur sur la bobine). Pour $t \geq 0$ :

E = R i + L \frac{d i}{d t} .

En divisant par $R$ et en posant $τ = L / R$ , on obtient $τ d i / d t + i = E / R$ . Dimension : $[L] / [R] = H /Ω = s$ . OK.

(ii) Solution générale. Solution particulière constante : $i_{p} = E / R$ (régime permanent). Solution homogène : $i_{h} = A e^{- t / τ}$ . Donc $i (t) = E / R + A e^{- t / τ}$ .

(iii) Condition initiale. Par continuité du courant dans une bobine, $i (0^{+}) = i (0^{-}) = I_{0}$ , d'où :

I_{0} = \frac{E}{R} + A ⟺ A = I_{0} - \frac{E}{R} .

On obtient $i (t) = E / R + (I_{0} - E / R) e^{- t / τ}$ . $■$

Limite : $i (+ \infty) = E / R$ . En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil (tension nulle à ses bornes puisque $d i / d t = 0$ ) — c'est la formule à connaître par cœur.

⚠ Piège #3 — Tension aux bornes de la bobine. En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil (

u_{L} = 0

), pas comme un interrupteur ouvert. À l'inverse, le condensateur en régime permanent se comporte comme un interrupteur ouvert (

i = 0

). Mémorise : «

L

→ fil à l'infini,

C

→ coupure à l'infini ». C'est la base du raisonnement « régime permanent » qui te fait gagner 5 minutes par exercice.

Proposition 4.3 — Énergie stockée dans une bobine

Une bobine d'inductance $L$ parcourue par le courant $i$ stocke l'énergie magnétique :

E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2} .

Le bilan énergétique de l'établissement du courant dans un circuit RL sous échelon est formellement identique à celui du condensateur — rendement $50 %$ avec $W_{L} = \frac{1}{2} L (E / R)^{2}$ stocké et autant dissipé dans $R$ .

5. Portraits de phase qualitatifs

Définition 5.1 — Portrait de phase

Le portrait de phase d'un système du premier ordre est le tracé, dans le plan $(u_{C}, d u_{C} / d t)$ , de la trajectoire suivie par le système au cours du temps. C'est une représentation sans le temps qui met en évidence la nature asymptotique du régime.

Proposition 5.2 — Portrait de phase du RC sous échelon

Pour un circuit RC sous échelon $E$ , l'équation $τ u_{C}^{'} + u_{C} = E$ se réécrit $u_{C}^{'} = (E - u_{C}) / τ$ . Dans le plan $(u_{C}, u_{C}^{'})$ , la trajectoire est donc le segment de droite :

u_{C}^{'} = \frac{E - u _{C}}{τ},

partant du point $(U_{0}, (E - U_{0}) / τ)$ à $t = 0^{+}$ et convergeant vers le point fixe $(E, 0)$ — qui est un point attracteur stable.

📝 Lecture du portrait de phase. Pour un système du premier ordre, le portrait est toujours un segment de droite menant à un point fixe — c'est la signature topologique. Si tu vois une ellipse ou une spirale, tu es face à un système d'ordre 2 (oscillateur amorti) — chapitre suivant. Cette dichotomie ordre-1/ordre-2 se reconnaît au premier coup d'œil sur un oscillogramme XY.

💡 Exemple — Charge d'un condensateur déchargé. Avec

U_{0} = 0

E = 5 V

τ = 1 ms

: la trajectoire de phase est le segment partant de

(0, 5000 V/s)

et arrivant en

(5 V, 0)

. La pente du segment est

- 1/ τ = - 1 0^{3} s^{- 1}

, négative et indépendante de

E

— elle dépend uniquement du couple

(R, C)

du circuit.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant un transitoire RC ou RL. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier la continuité de $u_{C}$ (ou de $i_{L}$ ) à $t = 0$ . Sans la condition initiale

u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-})

(resp.

i_{L} (0^{+}) = i_{L} (0^{-})

), tu ne peux pas déterminer la constante d'intégration. Beaucoup d'élèves écrivent la solution générale et s'arrêtent là — il manque une demi-page de raisonnement et 2 points sur 5. Réflexe : poser explicitement la continuité dans une phrase avant d'appliquer la valeur initiale.

⚠ Erreur 2 — Confondre constante de temps et période.

τ

n'est PAS une période — il n'y a aucune oscillation dans un circuit du premier ordre. Écrire «

τ

est la période du circuit RC » est sanctionné.

τ

est la durée caractéristique de convergence vers le régime permanent.

⚠ Erreur 3 — Mauvaise convention sur le condensateur. Si tu écris

i = - C d u_{C} / d t

parce que tu as orienté

i

« à l'envers », ton signe de

τ

saute et tu obtiens une exponentielle croissante non bornée. Avant d'écrire la relation constitutive, dessine systématiquement les flèches

u

i

en convention récepteur sur le composant.

⚠ Erreur 4 — Bilan énergétique tronqué. Écrire «

W_{g} = W_{C}

» (l'énergie fournie est intégralement stockée) est faux et coûte cher : la moitié de l'énergie est dissipée par effet Joule, indépendamment de $R$ . La conservation correcte est

W_{g} = W_{C} + W_{R}

avec

W_{C} = W_{R} = \frac{1}{2} C E^{2}

. Vérifier la conservation en fin de question est un automatisme à acquérir.

⚠ Erreur 5 — Vouloir « court-circuiter la bobine » en régime permanent dans une formule de $τ$ . Pour calculer

τ

d'un circuit RL, on cherche

R_{\overset{e}{ˊ} q}

vue des bornes de la bobine, en court-circuitant les générateurs de tension et en débranchant les générateurs de courant. Ne pas confondre avec le régime permanent où c'est la bobine elle-même qui se comporte comme un fil.

7. Pour aller plus loin

Les circuits du premier ordre sont la brique élémentaire de toute l'électrocinétique du programme. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Oscillateur harmonique amorti (RLC série) — l'équation différentielle devient d'ordre 2 et trois régimes apparaissent (pseudo-périodique, critique, apériodique). Le langage de $τ$ est remplacé par celui du facteur de qualité $Q$ .
Régime sinusoïdal forcé — l'échelon est remplacé par une excitation sinusoïdale ; la réponse est une exponentielle convoluée à une sinusoïde, ce qui ouvre la voie au formalisme complexe et aux fonctions de transfert.
Filtres passe-bas et passe-haut du premier ordre — un même circuit RC, avec une sortie sur $C$ ou sur $R$ , réalise respectivement un passe-bas ou un passe-haut de fréquence de coupure $f_{c} = 1/ (2 π τ)$ .
Analogies électromécaniques — un circuit RL est l'analogue d'une masse avec frottement fluide ; $L \leftrightarrow m$ , $R \leftrightarrow λ$ (coefficient de frottement), $i \leftrightarrow v$ . Le $τ$ électrique devient un $τ = m / λ$ mécanique.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu établir l'équation différentielle $τ d u_{C} / d t + u_{C} = E$ à partir de la loi des mailles et des relations constitutives ?
Connais-tu par cœur $τ = R C$ pour le RC et $τ = L / R$ pour le RL — avec la dimension qui se vérifie en quelques secondes ?
Sais-tu résoudre l'équation linéaire d'ordre 1 par solution homogène + particulière, et trouver la constante avec la condition initiale ?
Sais-tu écrire $u_{C} (t) = E + (U_{0} - E) e^{- t / τ}$ en moins de 30 secondes pour des CI quelconques ?
Connais-tu les trois lectures graphiques de $τ$ (tangente à l'origine, valeur 63 %, durée $5 τ$ pour 99 %) ?
Sais-tu démontrer le rendement $η = 50 %$ de la charge d'un condensateur sous échelon, par intégration des trois bilans $W_{g}, W_{C}, W_{R}$ ?
Connais-tu la règle « $u_{C}$ continue, $i_{L}$ continu », et sais-tu l'appliquer à $t = 0^{+}$ ?
Sais-tu reconnaître qu'en régime permanent, $L$ → fil et $C$ → interrupteur ouvert ?
Sais-tu écrire le courant transitoire $i (t) = (E - U_{0}) / R \cdot e^{- t / τ}$ dans le RC, et expliquer pourquoi il peut être discontinu à $t = 0$ ?
Sais-tu calculer $τ$ sur un circuit avec plusieurs résistors par la méthode du « générateur éteint, résistance vue du composant réactif » ?
Sais-tu tracer le portrait de phase d'un circuit RC sous échelon et l'identifier comme segment de droite menant au point attracteur ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation différentielle du circuit RC — loi des mailles + $i = C d u_{C} / d t$
Résolution complète du circuit RC avec CI — particulière constante + homogène + recollage à $t = 0^{+}$
Bilan énergétique de la charge — rendement 50 % — intégrer $W_{g}$ , $W_{C}$ , $W_{R}$ sur $[0, + \infty [$
Équation et solution du circuit RL — $τ = L / R$ et continuité du courant dans la bobine

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Circuit RC série soumis à un échelon de tension

1.1 — Montage et mise en équation

1.2 — Résolution avec condition initiale

2. Constante de temps τ, allures et temps caractéristiques

2.1 — Interprétation de τ

2.2 — Allures de charge et décharge

3. Bilan énergétique de la charge d'un condensateur

4. Circuit RL série soumis à un échelon de tension

5. Portraits de phase qualitatifs

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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