Champs newtoniens

Vue d'ensemble

Les champs newtoniens sont la grande synthèse de ta première année : tu y découvres que la même structure mathématique — une force radiale en $1/ r^{2}$ — gouverne aussi bien la chute d'une pomme, le mouvement de la Lune, l'orbite de la Station spatiale internationale, et la diffusion de Rutherford des particules $α$ par un noyau d'or. C'est le chapitre où la mécanique de Newton montre toute sa puissance prédictive : les 3 lois de Kepler tombent comme des corollaires, la vitesse de libération permet de quitter la Terre, et la nature de l'orbite (elliptique, parabolique, hyperbolique) se lit directement sur le signe de l'énergie mécanique. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire, et les pièges qui font basculer une copie en colle ou aux écrits Centrale / Mines.

Au programme MPSI (officiel) — Force centrale conservative en

1/ r^{2}

(attractive gravitationnelle, attractive ou répulsive coulombienne), énergie potentielle associée

E_{p} (r) = - k / r

, conservation du moment cinétique et de l'énergie mécanique, énergie potentielle effective et discussion qualitative de la trajectoire, cas particulier de l'orbite circulaire, énoncé des 3 lois de Kepler, vitesse de libération, applications aux satellites artificiels (orbite basse, orbite géostationnaire) et au système solaire.

Prérequis

Cinématique du point en coordonnées polaires : $v = \overset{r}{˙} u_{r} + r \dot{θ} u_{θ}$
PFD et théorème de l'énergie mécanique pour une force conservative
Mouvement à force centrale : moment cinétique $L_{O} = m r \land v$ conservé, loi des aires $C = r^{2} \dot{θ}$ constante
Notion d'énergie potentielle $E_{p}$ telle que $F = - \nabla E_{p}$ , avec ici $F_{r} = - d E_{p} / d r$

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds vitesse en orbite, vitesse de libération et énergie totale ? C'est l'écueil n°1 du chapitre : 1 élève MPSI sur 2 perd 3 à 4 points en colle parce qu'il mélange les facteurs $2$ et les signes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te construisent un réflexe « PFD radial → $v^{2} = GM / r$ → $E_{m} = - GM m / (2 r)$ » en 2 séances ciblées, avec exos issus de tes propres DS.

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1. La force newtonienne en 1/r²

Définition 1.1 — Force centrale newtonienne

Soit $O$ un point fixe d'un référentiel galiléen et $M$ un point matériel de coordonnée radiale $r = O M > 0$ . On dit que $M$ est soumis à un champ newtonien de centre $O$ si la force qu'il subit s'écrit :

F = - \frac{k}{r ^{2}} u_{r},

où $u_{r}$ est le vecteur unitaire $O M / r$ et $k$ une constante caractéristique du couple d'objets en interaction. La force est dite attractive si $k > 0$ (elle pointe vers $O$ ), répulsive si $k < 0$ .

Définition 1.2 — Deux exemples canoniques

Gravitation (Newton). Entre deux masses $M$ (au centre $O$ ) et $m$ (au point $M$ ) : $k = GM m > 0$ (attractive), avec $G \approx 6, 674 \times 1 0^{- 11}$ N·m²·kg⁻². La force s'écrit $F = - GM m / r^{2} u_{r}$ .
Interaction de Coulomb. Entre deux charges $q_{1}$ (en $O$ ) et $q_{2}$ (en $M$ ) : $k = - q_{1} q_{2} / (4 π ε_{0})$ . Si $q_{1} q_{2} > 0$ , $k < 0$ (répulsive, charges de même signe) ; si $q_{1} q_{2} < 0$ , $k > 0$ (attractive, charges opposées, exemple : électron autour d'un noyau).

Proposition 1.3 — Énergie potentielle newtonienne

La force $F = - k / r^{2} u_{r}$ est conservative et dérive de l'énergie potentielle :

E_{p} (r) = - \frac{k}{r}, avec la convention E_{p} (r) \to 0 quand r \to + \infty.

En effet, $F_{r} = - d E_{p} / d r = - k / r^{2}$ . Pour le cas attractif ( $k > 0$ ), $E_{p}$ est négative en tout point fini : il faut fournir de l'énergie pour éloigner $M$ à l'infini.

📝 Choix de la référence de $E_{p}$ . La convention

E_{p} (+ \infty) = 0

est universelle pour les champs newtoniens — elle simplifie tous les calculs de vitesse de libération et de classification d'orbites. Si tu prends une autre référence, tu changes une constante additive qui n'a aucun effet physique mais qui te ralentit ; n'invente jamais une « autre origine » sans nécessité.

Définition 1.4 — Énergie mécanique et énergie potentielle effective

L'énergie mécanique du point matériel est :

E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + E_{p} (r) = \frac{1}{2} m (\overset{r}{˙}^{2} + r^{2} \dot{θ}^{2}) - \frac{k}{r} .

Comme la force est centrale, le moment cinétique $L_{O} = m r^{2} \dot{θ}$ est conservé. En posant $C = L_{O} / m = r^{2} \dot{θ}$ (constante des aires), on a $r^{2} \dot{θ}^{2} = C^{2} / r^{2}$ et :

E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + = E_{p, eff} (r) \frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}} - \frac{k}{r} .

$E_{p, eff}$ est l'énergie potentielle effective : elle transforme le problème à 2D plan en un problème radial 1D $\overset{r}{˙}^{2} = (2/ m) [E_{m} - E_{p, eff} (r)]$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — confondre $E_{p}$ et $E_{p, eff}$ .

E_{p} (r) = - k / r

est la vraie énergie potentielle de la force ;

E_{p, eff}

inclut en plus le terme centrifuge

m C^{2} / (2 r^{2})

qui vient de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique. Tu utilises

E_{p}

quand tu écris «

E_{m} = E_{c} + E_{p}

» avec

v

complet (radial + orthoradial) ; tu utilises

E_{p, eff}

quand tu réduis au mouvement radial seul. Mélanger les deux est sanctionné dès la khôlle.

2. Classification des trajectoires (cas attractif k > 0)

Théorème 2.1 — Nature de la trajectoire selon l'énergie ★ À savoir démontrer

Dans un champ newtonien attractif ( $k > 0$ ), la trajectoire d'un point matériel de masse $m$ et d'énergie mécanique $E_{m}$ est une conique de foyer $O$ . Sa nature dépend du signe de $E_{m}$ :

$E_{m} < 0$ — orbite elliptique (état lié, période finie).
$E_{m} = 0$ — trajectoire parabolique (cas limite).
$E_{m} > 0$ — trajectoire hyperbolique (état de diffusion, le point s'échappe à l'infini).

Démonstration (par l'énergie potentielle effective)

Le mouvement radial vérifie $\frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} = E_{m} - E_{p, eff} (r) \geq 0$ , avec :

E_{p, eff} (r) = \frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}} - \frac{k}{r} .

Étudions $E_{p, eff}$ sur $] 0, + \infty [$ (cas $k > 0$ , $C \neq = 0$ ) : $E_{p, eff} (r) \to + \infty$ en $0^{+}$ (barrière centrifuge), $E_{p, eff} (r) \to 0^{-}$ en $+ \infty$ . La dérivée $d E_{p, eff} / d r = - m C^{2} / r^{3} + k / r^{2}$ s'annule en $r_{0} = m C^{2} / k$ , où $E_{p, eff}$ atteint son minimum $E_{0} = - k^{2} / (2 m C^{2}) < 0$ . La courbe a la forme d'un puits.

Si $E_{m} < 0$ : la droite horizontale $y = E_{m}$ coupe $E_{p, eff}$ en deux points $r_{m i n} < r_{m a x}$ (péricentre, apocentre). $r$ oscille entre ces deux bornes : le mouvement est borné, l'orbite est une ellipse de foyer $O$ .
Si $E_{m} = 0$ : la droite coupe en un unique point $r_{m i n}$ et tend vers $0$ à l'infini : $r$ peut atteindre $+ \infty$ avec $\overset{r}{˙} \to 0$ — trajectoire parabolique.
Si $E_{m} > 0$ : la droite coupe en un unique point $r_{m i n}$ et reste au-dessus de $0$ à l'infini : $r$ atteint $+ \infty$ avec $\overset{r}{˙}^{2} \to 2 E_{m} / m > 0$ — trajectoire hyperbolique.
Cas dégénéré $E_{m} = E_{0}$ : $r = r_{0}$ constant — orbite circulaire (sous-cas de l'ellipse).

La démonstration que les trajectoires sont précisément des coniques (et non d'autres courbes vérifiant le même encadrement) fait appel à la formule de Binet ou à l'équation polaire $r (θ) = p / (1 + e cos θ)$ — admise en MPSI.

💡 Exemple — Comète vs. astéroïde. Une comète à période longue (ex. : Halley) a

E_{m} < 0

: elle revient. L'objet interstellaire ʻOumuamua, détecté en 2017, avait

E_{m} > 0

— sa trajectoire hyperbolique a montré qu'il venait d'au-delà du système solaire et qu'il y repartirait à jamais.

📝 Cas répulsif ( $k < 0$ ). Pour la diffusion de Rutherford (particule

α

sur noyau lourd),

E_{p} (r) = - k / r > 0

E_{m} > 0

nécessairement. La seule trajectoire possible est hyperbolique (branche repoussante), avec un péricentre

r_{m i n}

qui mesure la portée de l'approche.

3. Orbite circulaire — formules à connaître par cœur

Théorème 3.1 — Vitesse en orbite circulaire ★ À savoir démontrer

Un satellite (ou planète) de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre central de masse $M$ (avec $M ≫ m$ ) a pour vitesse :

v^{2} = \frac{GM}{r}, v = \frac{GM}{r} .

La période de révolution est $T = 2 π r / v = 2 π r r / (GM)$ , et l'énergie mécanique vaut $E_{m} = - GM m / (2 r)$ .

Démonstration (PFD radial sur cercle + théorème du viriel pour l'énergie)

Étape 1 — PFD radial. Le mouvement étant circulaire uniforme (la force centrale et l'absence de force tangentielle entraînent $\overset{v}{˙} = 0$ ), l'accélération est purement centripète : $a = - v^{2} / r u_{r}$ . Le PFD projeté sur $u_{r}$ :

m \cdot (- \frac{v ^{2}}{r}) = - \frac{GM m}{r ^{2}},

d'où $v^{2} = GM / r$ .

Étape 2 — Énergie cinétique. $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \cdot GM / r = GM m / (2 r)$ .

Étape 3 — Énergie potentielle. $E_{p} (r) = - GM m / r$ .

Étape 4 — Énergie mécanique.

E_{m} = E_{c} + E_{p} = \frac{GM m}{2 r} - \frac{GM m}{r} = - \frac{GM m}{2 r} .

On remarque la relation $E_{m} = - E_{c} = E_{p} /2$ (cas particulier du théorème du viriel pour une force en $1/ r^{2}$ ) : caractéristique d'un état lié, $E_{m}$ est négative et vaut la moitié de l'énergie potentielle.

Théorème 3.2 — 3ᵉ loi de Kepler pour l'orbite circulaire ★ À savoir démontrer

Pour toute orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre central de masse $M$ :

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM} .

Le rapport $T^{2} / r^{3}$ ne dépend ni de la masse du satellite, ni du rayon : c'est une constante caractéristique de l'astre central. Pour le Soleil : $T^{2} / a^{3} \approx 3, 0 \times 1 0^{- 19}$ s²·m⁻³.

Démonstration (à partir du PFD radial)

Sur une orbite circulaire de rayon $r$ , $v = 2 π r / T$ . Par le PFD radial (démo 3.1), $v^{2} = GM / r$ , donc :

(\frac{2 π r}{T})^{2} = \frac{GM}{r} ⟺ \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{T ^{2}} = \frac{GM}{r} ⟺ T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3} .

Soit $T^{2} / r^{3} = 4 π^{2} / (GM)$ . Le résultat se généralise (admis en MPSI) à une orbite elliptique en remplaçant $r$ par le demi-grand axe $a$ :

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM} .

📐 Méthode-type — Calculer les caractéristiques d'un satellite. Pour toute orbite circulaire, applique systématiquement, dans cet ordre :

Identifier l'astre central et son $GM$ . Pour la Terre : $G M_{T} \approx 3, 986 \times 1 0^{14}$ m³·s⁻². Pour le Soleil : $G M_{S} \approx 1, 327 \times 1 0^{20}$ m³·s⁻².
Écrire le rayon $r = R + h$ où $R$ est le rayon de l'astre (Terre : $R_{T} \approx 6, 378 \times 1 0^{6}$ m) et $h$ l'altitude.
Calculer la vitesse $v = GM / r$ .
Calculer la période $T = 2 π r / v = 2 π r^{3} / (GM)$ .
Calculer l'énergie mécanique $E_{m} = - GM m / (2 r)$ (négative : état lié).

Ne mélange jamais altitude

h

et rayon

r = R + h

: l'erreur de 6 400 km coûte la moitié des points.

💡 Exemple canonique — L'orbite géostationnaire. Un satellite géostationnaire reste fixe au-dessus d'un point de l'équateur : sa période vaut donc

T = 86164

s (jour sidéral, pas le jour solaire de 86 400 s). On en déduit :

r_{geo} = (\frac{G M _{T} \cdot T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4, 22 \times 1 0^{7} m,

soit une altitude

h \approx 4, 22 \times 1 0^{7} - 6, 38 \times 1 0^{6} \approx 35786

km. La vitesse correspondante est

v \approx 3, 07

km·s⁻¹. C'est l'orbite des satellites de télécommunications (TV par satellite, Astra, Eutelsat) et des satellites météo géostationnaires (Meteosat).

🧑‍🏫 Décortique le viriel avec un mentor

La relation $E_{m} = - E_{c} = E_{p} /2$ revient à chaque colle de méca céleste. Beaucoup d'élèves l'apprennent par cœur sans comprendre pourquoi elle marche uniquement pour les forces en $1/ r^{2}$ . En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de Centrale, tu maîtrises le théorème du viriel, ses 3 variantes (étoile, atome de Bohr, diffusion) et ses pièges en oral.

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4. Les trois lois de Kepler

Énoncées entre 1609 et 1619 par Johannes Kepler à partir des observations de Tycho Brahe, elles précèdent la mécanique de Newton de plus d'un demi-siècle. Newton démontrera en 1687 qu'elles découlent toutes les trois d'une force d'attraction centrale en $1/ r^{2}$ : c'est la naissance de la physique théorique moderne.

Définition 4.0 — Éléments d'une ellipse képlérienne

Une ellipse képlérienne est entièrement caractérisée par :

Son demi-grand axe $a > 0$ (moyenne arithmétique des distances péricentre/apocentre).
Son excentricité $e \in [0, 1 [$ (0 = cercle, proche de 1 = ellipse très allongée).
Son paramètre $p = a (1 - e^{2})$ , aussi appelé semi-latus rectum.

On a alors péricentre $r_{m i n} = a (1 - e)$ , apocentre $r_{m a x} = a (1 + e)$ , et demi-petit axe $b = a 1 - e^{2}$ .

Théorème 4.1 — 1ʳᵉ loi de Kepler (loi des orbites)

Dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. L'équation polaire de la trajectoire est :

r (θ) = \frac{p}{1 + e cos ( θ - θ _{0} )},

où $p = m C^{2} / k$ est le paramètre de la conique et $e$ son excentricité ( $0 \leq e < 1$ pour une ellipse).

Théorème 4.2 — 2ᵉ loi de Kepler (loi des aires)

Le rayon vecteur Soleil-planète balaye des aires égales en des temps égaux. Quantitativement, la vitesse aréolaire $d A / d t = C /2$ est constante, où $C = r^{2} \dot{θ}$ est la constante des aires.

Conséquence pratique. Une planète va plus vite quand elle est proche du Soleil (au périhélie) et plus lentement quand elle en est éloignée (à l'aphélie). C'est une conséquence directe de la conservation du moment cinétique pour toute force centrale — pas spécifique au cas newtonien.

Théorème 4.3 — 3ᵉ loi de Kepler (loi des périodes) ★ À savoir démontrer

Pour toute orbite (elliptique ou circulaire) d'une planète autour d'un astre central de masse $M$ , le carré de la période $T$ est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ :

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM} .

Le rapport $T^{2} / a^{3}$ est indépendant de la planète considérée — il caractérise l'astre central. Cette loi a permis à Newton de calculer la masse du Soleil à partir des données planétaires connues.

Démonstration (cas de l'orbite circulaire)

Démonstration identique à celle du théorème 3.2 : sur un cercle de rayon $r = a$ , le PFD radial donne $v^{2} = GM / r$ ; avec $v = 2 π r / T$ , on obtient $4 π^{2} r^{2} / T^{2} = GM / r$ , soit $T^{2} / r^{3} = 4 π^{2} / (GM)$ .

Le passage au cas elliptique général (avec $r \to a$ demi-grand axe) est admis en MPSI ; il se démontre par intégration de la loi des aires sur une période : $A_{ellipse} = π ab = (C /2) T$ avec $b = a 1 - e^{2}$ , puis en éliminant $C$ via $p = b^{2} / a = m C^{2} / k$ — résultat à connaître mais pas à savoir redémontrer en intégralité.

💡 Exemple — Masse du Soleil par la 3ᵉ loi. Pour la Terre,

a \approx 1, 496 \times 1 0^{11}

m (1 UA) et

T = 1

\approx 3, 156 \times 1 0^{7}

s. On en déduit :

M_{S} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{G T ^{2}} \approx \frac{4 π ^{2} \cdot ( 1 , 496 \times 1 0 ^{11} ) ^{3}}{6 , 674 \times 1 0 ^{- 11} \cdot ( 3 , 156 \times 1 0 ^{7} ) ^{2}} \approx 1, 99 \times 1 0^{30} kg .

Cette valeur est celle qu'on attend pour le Soleil — la 3ᵉ loi est l'outil de pesée de l'univers (étoile centrale, trou noir, exoplanète…).

⚠ Piège — la 3ᵉ loi de Kepler s'écrit avec le demi-grand axe $a$ , pas avec le rayon r. Pour une ellipse,

r

varie entre

r_{m i n} = a (1 - e)

au périhélie et

r_{m a x} = a (1 + e)

à l'aphélie. C'est

a = (r_{m i n} + r_{m a x}) /2

qui intervient. Pour un cercle,

e = 0

a = r

: les deux écritures coïncident, d'où la confusion fréquente.

5. Vitesse de libération (vitesse d'évasion)

Définition 5.1 — Vitesse de libération

La vitesse de libération $v_{lib}$ au point $M$ (à la distance $r$ du centre attractif) est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un objet en $M$ pour qu'il puisse atteindre l'infini sans retour, c'est-à-dire pour que sa trajectoire ne soit plus une ellipse fermée.

Théorème 5.2 — Expression de la vitesse de libération ★ À savoir démontrer

Dans un champ newtonien attractif $F = - GM m / r^{2} u_{r}$ , la vitesse de libération au point de coordonnée $r$ vaut :

v_{lib} (r) = \frac{2 GM}{r} .

Si la trajectoire de départ est circulaire, on a $v_{lib} = v_{orb} 2$ : il faut multiplier la vitesse orbitale par $2 \approx 1, 414$ pour s'échapper.

Démonstration (condition

E_{m} \geq 0

)

Étape 1 — Critère. D'après le théorème 2.1 de classification, l'objet s'échappe à l'infini si et seulement si $E_{m} \geq 0$ . Le cas limite $E_{m} = 0$ correspond à une trajectoire parabolique : l'objet atteint l'infini avec une vitesse nulle. C'est exactement la condition « minimale » de la définition.

Étape 2 — Calcul. Au point de départ $r$ avec vitesse $v$ :

E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r} .

La condition $E_{m} \geq 0$ s'écrit $v^{2} \geq 2 GM / r$ , soit $v \geq 2 GM / r$ . On définit donc :

v_{lib} (r) = \frac{2 GM}{r} .

Étape 3 — Comparaison à la vitesse orbitale. Sur un cercle de rayon $r$ , $v_{orb}^{2} = GM / r$ , donc :

\frac{v _{lib}^{2}}{v _{orb}^{2}} = \frac{2 GM / r}{GM / r} = 2, soit v_{lib} = 2 \cdot v_{orb} .

💡 Exemple — Vitesse de libération depuis la Terre. Au niveau du sol (

r = R_{T} \approx 6, 378 \times 1 0^{6}

G M_{T} \approx 3, 986 \times 1 0^{14}

m³·s⁻²) :

v_{lib} (R_{T}) = \frac{2 \cdot 3 , 986 \times 1 0 ^{14}}{6 , 378 \times 1 0 ^{6}} \approx 1, 12 \times 1 0^{4} m\cdots^{- 1} = 11, 2 km\cdots^{- 1} .

C'est la vitesse nécessaire (en ignorant la résistance de l'air) pour quitter définitivement la Terre. Pour comparaison : la vitesse orbitale basse vaut

v_{orb} (R_{T}) \approx 7, 9

km·s⁻¹, et bien

v_{lib} / v_{orb} = 2

💡 Exemple — Sondes interplanétaires (Voyager, Apollo). La mission Apollo 11 a dû atteindre

v \approx 10, 8

km·s⁻¹ pour rejoindre la Lune (orbite elliptique très excentrique, légèrement sous la vitesse de libération). Les sondes Voyager, lancées en 1977 pour quitter le système solaire, ont dépassé la vitesse de libération du Soleil grâce à des assistances gravitationnelles successives (Jupiter, Saturne) — un véritable problème à

N

corps dont la théorie newtonienne en

1/ r^{2}

reste le squelette.

⚠ Piège — direction de $v_{lib}$ . La formule

v_{lib} = 2 GM / r

ne dépend que de la norme : le critère

E_{m} \geq 0

ne fait intervenir que

v^{2}

, pas l'orientation. Tirer la fusée horizontalement ou à 45° à la même vitesse

v_{lib}

suffit dans les deux cas à s'échapper (on néglige la barrière centrifuge effective, ce qui est valide dès qu'on part avec

E_{m} \geq 0

). En pratique on tire dans la direction du mouvement de la Terre (assistance) — mais c'est une optimisation, pas une nécessité théorique.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Erreurs systématiquement relevées dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de mécanique céleste et de champs newtoniens. Coût typique : 1 à 3 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier le signe « moins » dans $E_{p} = - k / r$ . Pour le cas attractif (

k > 0

E_{p}

est négative (puits attractif). L'écrire

+ k / r

inverse tout le raisonnement énergétique :

E_{m}

devient positive pour une orbite circulaire, la condition de libération devient absurde. Vérifie toujours : «

E_{p} \to 0

à l'infini, donc

E_p &lt; 0

près d'un astre attractif ».

⚠ Erreur 2 — Mélanger rayon $r$ et altitude $h$ pour un satellite. Pour un satellite à l'altitude

h

, c'est

r = R_{T} + h

qu'on injecte dans

v^{2} = GM / r

, pas

h

tout seul. Erreur classique en colle : 6 400 km manquants transforment l'orbite géostationnaire en orbite basse impossible.

⚠ Erreur 3 — Appliquer Kepler 3 avec $r$ au lieu de $a$ sur une ellipse.

T^{2} / a^{3} = 4 π^{2} / (GM)

utilise le demi-grand axe

a = (r_{m i n} + r_{m a x}) /2

. Sur un cercle,

a = r

donc l'erreur se camoufle. Sur une ellipse type comète de Halley (

e \approx 0, 97

), prendre

r_{m i n}

r_{m a x}

au lieu de

a

donne une période 30 fois trop petite ou trop grande.

⚠ Erreur 4 — Confondre vitesse en orbite circulaire et vitesse de libération.

v_{orb} = GM / r

(orbite stable) et

v_{lib} = 2 GM / r

(échappée parabolique). Le facteur

2

est structurel (il vient du facteur 2 dans

E_{p}

) — ne l'invente pas, ne l'oublie pas. Mnémo : « lib = orb × racine 2 ».

⚠ Erreur 5 — Oublier que l'énergie mécanique d'une orbite liée est négative.

E_m = -GMm/(2r) &lt; 0

en orbite circulaire : c'est la signature d'un état lié. Écrire

E_{m} = + GM m / (2 r)

+ GM m / r

est une faute de signe que les correcteurs repèrent immédiatement. Comme contrôle, le théorème du viriel donne

E_{m} = - E_{c}

— donc

E_{m}

a le signe opposé à

E_{c}

, qui est toujours positive.

7. Pour aller plus loin

Le champ newtonien est l'archétype du potentiel central conservatif. Sa structure mathématique réapparaît dans toute la physique :

Atome d'hydrogène (mécanique quantique, 2ᵉ année) — la même $E_{p} (r) = - k / r$ avec $k = e^{2} / (4 π ε_{0})$ donne les niveaux de Bohr $E_{n} = - 13, 6/ n^{2}$ eV. Les calculs d'orbites de Bohr reproduisent quasi mot pour mot ceux de Kepler.
Mécanique des fluides et gravitation continue (2ᵉ année) — le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel généralise $F = - GM m / r^{2} u_{r}$ à des distributions étendues de masse.
Diffusion de Rutherford (physique nucléaire) — l'expérience de 1909 qui a révélé le noyau atomique repose intégralement sur la trajectoire hyperbolique d'une particule $α$ dans un champ coulombien répulsif. La section efficace différentielle de Rutherford est l'un des grands triomphes du modèle.
Relativité générale (au-delà du programme) — Einstein, en 1915, modifie la loi de Newton pour expliquer la précession du périhélie de Mercure (43" par siècle, inexplicable par Kepler-Newton seul). Les ondes gravitationnelles détectées par LIGO en 2015 viennent de binaires d'étoiles à neutrons obéissant à des Kepler relativistes.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS de mécanique, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire $F = - k / r^{2} u_{r}$ et préciser le signe de $k$ selon le cas attractif ou répulsif ?
Sais-tu retrouver $E_{p} (r) = - k / r$ à partir de $F_{r} = - d E_{p} / d r$ et de la convention $E_{p} (+ \infty) = 0$ ?
Sais-tu distinguer $E_{p}$ (potentielle vraie) et $E_{p, eff}$ (avec barrière centrifuge) et expliquer leur rôle respectif ?
Sais-tu énoncer la classification des trajectoires selon le signe de $E_{m}$ (ellipse / parabole / hyperbole) ?
Sais-tu démontrer $v^{2} = GM / r$ en orbite circulaire par le PFD radial ?
Sais-tu démontrer $E_{m} = - GM m / (2 r)$ pour une orbite circulaire et reconnaître le théorème du viriel $E_{m} = - E_{c} = E_{p} /2$ ?
Sais-tu démontrer la 3ᵉ loi de Kepler $T^{2} / a^{3} = 4 π^{2} / (GM)$ (au moins dans le cas circulaire) ?
Sais-tu énoncer les 3 lois de Kepler en distinguant ce qui est général (force centrale → loi des aires) de ce qui est spécifique au newtonien (ellipse / loi des périodes) ?
Sais-tu démontrer $v_{lib} = 2 GM / r$ à partir de la condition $E_{m} \geq 0$ ?
Connais-tu le rapport $v_{lib} / v_{orb} = 2$ et son origine structurelle ?
Sais-tu calculer l'altitude géostationnaire ( $\approx 35786$ km) à partir de $T_{sid \overset{e}{ˊ} ral}$ et $G M_{T}$ ?
Sais-tu utiliser la 3ᵉ loi de Kepler pour « peser » un astre central (Soleil, exoplanète) à partir des paramètres d'un de ses satellites ?

Démonstrations à savoir refaire

Classification des trajectoires selon $E_{m}$ — étude de $E_{p, eff}$ + signe du minimum
Vitesse et énergie en orbite circulaire — PFD radial puis viriel $E_{m} = - GM m / (2 r)$
3ᵉ loi de Kepler pour l'orbite circulaire — combiner $v = 2 π r / T$ et $v^{2} = GM / r$
Vitesse de libération $v_{lib} = 2 GM / r$ — condition $E_{m} \geq 0$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. La force newtonienne en 1/r²

2. Classification des trajectoires (cas attractif k > 0)

3. Orbite circulaire — formules à connaître par cœur

4. Les trois lois de Kepler

5. Vitesse de libération (vitesse d'évasion)

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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