Champs de force centrale

Vue d'ensemble

Les champs de force centrale sont la première vraie rencontre du MPSI avec une structure de symétrie qui contraint à elle seule le mouvement : dès qu'une force pointe en permanence vers (ou s'éloigne de) un point fixe $O$ , le moment cinétique est conservé, le mouvement est plan, et la loi des aires de Kepler tombe presque sans calcul. Cette fiche regroupe les 5 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points sur les questions « champ central » de Mines-Ponts et Centrale.

Au programme MPSI (officiel) — Force centrale conservative : énergie potentielle associée. Conservation du moment cinétique. Mouvement plan. Loi des aires. Constante des aires

C = r^{2} \dot{θ}

. Énergie potentielle effective

E_{p, eff} (r)

. Discussion qualitative du mouvement à partir du graphe de

E_{p, eff}

(états liés, états de diffusion, mouvement circulaire). Cas du potentiel newtonien

- k / r

(introduction au chapitre Kepler suivant).

Prérequis

Coordonnées polaires $(r, θ)$ et base mobile $(u_{r}, u_{θ})$ : vitesse $v = \overset{r}{˙} u_{r} + r \dot{θ} u_{θ}$
Théorème du moment cinétique $\frac{d L _{O}}{d t} = M_{O} (F)$
Théorème de l'énergie mécanique pour une force conservative : $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ constante
Notion d'énergie potentielle $F = - \nabla E_{p}$

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Force centrale de centre O

Une force $F$ appliquée à un point matériel $M$ est dite centrale de centre $O$ si elle est, à chaque instant, portée par la droite $(O M)$ . En notant $r = O M$ et $u_{r} = O M / r$ , cela s'écrit :

F = F (r, θ, t) u_{r} .

Si de plus $F$ ne dépend que de $r$ , la force est dite centrale et à symétrie sphérique — c'est le cas usuel (gravitation, Coulomb).

Définition 1.2 — Force centrale conservative

Une force centrale de la forme $F (r) = F (r) u_{r}$ dérive d'une énergie potentielle $E_{p} (r)$ telle que :

F (r) = - \frac{d E _{p}}{d r} .

Exemples canoniques (à connaître par cœur) :

Gravitation entre une masse $M$ fixe en $O$ et une masse $m$ en $M$ : $F = - \frac{GM m}{r ^{2}} u_{r}$ , $E_{p} (r) = - \frac{GM m}{r}$ (potentiel newtonien attractif).
Coulomb répulsive entre charges de même signe : $F = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{r}$ , $E_{p} (r) = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r}$ (potentiel répulsif, $E_{p} > 0$ ).
Coulomb attractive (charges opposées) : même forme que Newton avec $k = - q_{1} q_{2} / (4 π ε_{0}) > 0$ , $E_{p} (r) = - k / r$ .

Définition 1.3 — Moment cinétique de M par rapport à O

Le moment cinétique du point $M$ (de masse $m$ , vitesse $v$ dans le référentiel galiléen $R$ ) par rapport au point fixe $O$ est :

L_{O} = O M \land m v = m r \land v .

Unité : $kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 1}$ .

Définition 1.4 — Constante des aires

Pour un mouvement plan repéré en coordonnées polaires $(r, θ)$ autour de $O$ , on appelle constante des aires la quantité :

C = r^{2} \dot{θ} .

Elle est reliée au moment cinétique par $L_{O} = m r^{2} \dot{θ} = m C$ , donc $C = L_{O} / m$ .

Définition 1.5 — Énergie potentielle effective

Pour un point soumis à une force centrale conservative $F = - \frac{d E _{p}}{d r} u_{r}$ avec moment cinétique $L$ (constant), on appelle énergie potentielle effective :

E_{p, eff} (r) = E_{p} (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} .

Le second terme $\frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ est la barrière centrifuge. Il réduit le problème 2D à une étude 1D de la variable radiale $r$ .

Définition 1.6 — État lié, état de diffusion

État lié : la distance $r (t)$ reste bornée pour tout $t$ . Le point ne s'échappe jamais à l'infini.
État de diffusion (ou non lié) : $r (t) \to + \infty$ quand $t \to + \infty$ (et/ou $t \to - \infty$ ). Le point vient « de loin » et repart « à l'infini ».
État circulaire : cas particulier d'état lié où $r (t) = r_{0}$ constant.

2. Théorèmes fondamentaux du mouvement à force centrale

2.1 — Conservation du moment cinétique

Théorème 2.1 — Conservation de

L_{O}

pour une force centrale ★ À savoir démontrer

Soit $M$ un point matériel soumis à une force centrale de centre $O$ fixe dans un référentiel galiléen $R$ . Alors son moment cinétique en $O$ est conservé :

L_{O} = O M \land m v = constant .

Démonstration (théorème du moment cinétique appliqué à O)

Dans $R$ galiléen, le théorème du moment cinétique en un point fixe $O$ s'écrit :

\frac{d L _{O}}{d t} = M_{O} (F) = O M \land F .

Comme $F$ est centrale de centre $O$ , elle est colinéaire à $O M$ : $F = F (r, θ, t) u_{r}$ . Or $O M = r u_{r}$ , donc :

M_{O} (F) = r u_{r} \land F (r, θ, t) u_{r} = 0 .

On en déduit $\frac{d L _{O}}{d t} = 0$ , donc $L_{O}$ est un vecteur constant au cours du temps.

Proposition 2.2 — Le mouvement est plan

Si $L_{O} \neq = 0$ , le mouvement de $M$ se fait dans le plan fixe $Π$ passant par $O$ et orthogonal à $L_{O}$ .

Preuve éclair : par définition de $L_{O} = m O M \land v$ , le vecteur $O M$ est orthogonal à $L_{O}$ . Comme $L_{O}$ est constant, son orthogonal est un plan fixe $Π$ — donc $M$ reste dans $Π$ pour tout $t$ .

📝 Cas dégénéré. Si

L_{O} = 0

, alors

O M

v

sont colinéaires : le mouvement est rectiligne sur la droite passant par

O

. C'est le cas d'une chute radiale (problème à 1D).

2.2 — Loi des aires (deuxième loi de Kepler)

Théorème 2.3 — Loi des aires ★ À savoir démontrer

Pour un mouvement plan à force centrale, repéré en polaires $(r, θ)$ autour de $O$ , la constante des aires :

C = r^{2} \dot{θ} = \frac{L _{O}}{m}

est conservée. Géométriquement, l'aire balayée par le rayon vecteur $O M$ entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ est :

A (t_{1}, t_{2}) = \frac{1}{2} C (t_{2} - t_{1}) .

Le rayon balaie des aires égales pendant des durées égales (Kepler 1609).

Démonstration (à partir de

L_{O}

en polaires)

Plaçons-nous dans le plan du mouvement $Π$ , repère polaire $(O, u_{r}, u_{θ})$ . La position est $O M = r u_{r}$ et la vitesse :

v = \overset{r}{˙} u_{r} + r \dot{θ} u_{θ} .

Le moment cinétique en $O$ vaut donc :

L_{O} = m O M \land v = m r u_{r} \land (\overset{r}{˙} u_{r} + r \dot{θ} u_{θ}) = m r^{2} \dot{θ} (u_{r} \land u_{θ}) .

Or $u_{r} \land u_{θ} = u_{z}$ (vecteur normal au plan, fixe). Donc $L_{O} = m r^{2} \dot{θ} u_{z}$ , de norme $L_{O} = m r^{2} ∣ \dot{θ} ∣$ . Comme $L_{O}$ est constant (Théorème 2.1), la quantité algébrique :

C = r^{2} \dot{θ} = \frac{L _{O}}{m} = constante .

Pour le résultat géométrique : l'aire balayée en $d t$ par $O M$ est l'aire du « petit triangle » entre $O M (t)$ et $O M (t + d t)$ , soit $d A = \frac{1}{2} r \cdot (r d θ) = \frac{1}{2} r^{2} d θ$ . D'où $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^{2} \dot{θ} = \frac{C}{2}$ , constante. Par intégration entre $t_{1}$ et $t_{2}$ , on obtient $A = \frac{1}{2} C (t_{2} - t_{1})$ .

💡 Conséquence physique de Kepler 2. Pour une planète en orbite elliptique autour du Soleil (situé en un foyer), la planète va plus vite quand elle est proche (périhélie) et plus lentement quand elle est loin (aphélie) : le produit

r^{2} \dot{θ}

reste constant. Sur Terre, c'est exactement ce qui explique pourquoi l'hiver boréal est plus court que l'été boréal (la Terre est au périhélie début janvier).

2.3 — Conservation de l'énergie mécanique

Théorème 2.4 — Conservation de

E_{m}

pour une force centrale conservative

Si la force est centrale conservative, $F (r) = - \frac{d E _{p}}{d r} u_{r}$ , alors l'énergie mécanique $E_{m} = E_{c} + E_{p} (r)$ est conservée au cours du mouvement.

Preuve éclair : application directe du théorème de l'énergie mécanique, la seule force étant conservative.

2.4 — Énergie potentielle effective et barrière centrifuge

Théorème 2.5 — Réduction 1D via la barrière centrifuge ★ À savoir démontrer

Pour un mouvement plan à force centrale conservative, l'énergie mécanique se met sous la forme :

E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + E_{p, eff} (r), avec E_{p, eff} (r) = E_{p} (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} .

L'étude du mouvement radial se ramène alors à un problème à un degré de liberté $r$ , soumis à l'énergie potentielle effective $E_{p, eff}$ .

Démonstration (en polaires + élimination de

\dot{θ}

)

En polaires plans, $v = \overset{r}{˙} u_{r} + r \dot{θ} u_{θ}$ , donc :

E_{c} = \frac{1}{2} m ∥ v ∥^{2} = \frac{1}{2} m (\overset{r}{˙}^{2} + r^{2} \dot{θ}^{2}) .

La loi des aires (Théorème 2.3) donne $r^{2} \dot{θ} = L / m$ , donc $\dot{θ} = L / (m r^{2})$ et :

r^{2} \dot{θ}^{2} = r^{2} \cdot \frac{L ^{2}}{m ^{2} r ^{4}} = \frac{L ^{2}}{m ^{2} r ^{2}} .

D'où :

E_{c} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{1}{2} m \cdot \frac{L ^{2}}{m ^{2} r ^{2}} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} .

Et par conservation de l'énergie mécanique $E_{m} = E_{c} + E_{p} (r)$ :

E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + E_{p, eff} (r) E_{p} (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} .

Le terme $\frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ — d'origine purement cinétique — joue formellement le rôle d'un potentiel répulsif en $1/ r^{2}$ qui interdit à $M$ d'atteindre $O$ tant que $L \neq = 0$ : c'est la barrière centrifuge.

📝 L'astuce conceptuelle. En 2D plan, le mouvement a 2 degrés de liberté

(r, θ)

. La conservation de

L

élimine $\dot{θ}$ au profit de

r

— il reste un seul degré de liberté

r

, avec un potentiel modifié

E_{p, eff}

. C'est exactement la même idée qui sera réutilisée en spé pour le pendule sphérique et l'atome d'hydrogène.

🧑‍🏫 Démos centrales avec un mentor

La démo de la barrière centrifuge est LA démo qui tombe en oral. Tu dois pouvoir la rejouer au tableau en 3 minutes — coordonnées polaires, élimination de $\dot{θ}$ via Kepler 2, réécriture en $E_{p, eff}$ . En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X, tu la maîtrises pour de bon, plus le piège de la barrière qui n'est PAS une vraie force.

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3. Discussion qualitative du mouvement à partir de E_p,eff(r)

L'étude du graphe de $E_{p, eff} (r)$ est la technique reine des problèmes de force centrale en MPSI. Une fois $L$ fixé (et donc $E_{p, eff} (r)$ tracé), la nature du mouvement ne dépend plus que de la valeur $E_{m}$ de l'énergie mécanique : on lit la trajectoire radiale comme un mouvement 1D dans le « puits » $E_{p, eff}$ .

📐 Méthode-type — Discussion d'un mouvement central via $E_{p, eff}$ .

Identifier le potentiel $E_{p} (r)$ (newtonien $- k / r$ , Coulomb répulsif $+ k / r$ , oscillateur 3D $\frac{1}{2} k r^{2}$ , Lennard-Jones, etc.).
Calculer $E_{p, eff} (r) = E_{p} (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ et tracer son graphe sur $] 0, + \infty [$ . Repérer les extrema (annuler la dérivée).
Tracer la droite horizontale $E_{m}$ . La condition $\overset{r}{˙}^{2} \geq 0$ impose $E_{m} \geq E_{p, eff} (r)$ , donc le mouvement radial est restreint à ${r : E_{p, eff} (r) \leq E_{m}}$ .
Lire la nature du mouvement :
- Domaine $[r_{m i n}, r_{m a x}]$ borné → état lié : $r$ oscille entre péricentre et apocentre.
- Domaine $[r_{m i n}, + \infty [$ non borné → état de diffusion : $r$ part à l'infini.
- Un seul point $r_{0}$ (tangence) → mouvement circulaire de rayon $r_{0}$ .
Calculer les vitesses radiales aux points particuliers via $\frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} = E_{m} - E_{p, eff} (r)$ (nulle aux extrema $r_{m i n}, r_{m a x}$ ).

3.1 — Cas du potentiel newtonien attractif $E_{p} (r) = - k / r$

L'énergie potentielle effective vaut :

E_{p, eff} (r) = - \frac{k}{r} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}, k > 0.

Étude : $E_{p, eff} (r) \to + \infty$ quand $r \to 0^{+}$ (la barrière centrifuge l'emporte sur l'attraction), $E_{p, eff} (r) \to 0^{-}$ quand $r \to + \infty$ . La dérivée $\frac{d E _{p, eff}}{d r} = \frac{k}{r ^{2}} - \frac{L ^{2}}{m r ^{3}}$ s'annule en $r_{0} = \frac{L ^{2}}{mk}$ , où $E_{p, eff}$ admet un minimum $E_{p, eff} (r_{0}) = - \frac{m k ^{2}}{2 L ^{2}}$ .

Proposition 3.1 — Classification des orbites newtoniennes

Selon la valeur de $E_{m}$ :

$E_{m} = E_{p, eff} (r_{0}) = - \frac{m k ^{2}}{2 L ^{2}}$ : orbite circulaire de rayon $r_{0} = L^{2} / (mk)$ .
$E_{p, eff} (r_{0}) < E_{m} < 0$ : orbite elliptique (état lié), $r$ oscille entre $r_{m i n}$ (péricentre) et $r_{m a x}$ (apocentre).
$E_{m} = 0$ : orbite parabolique (limite de diffusion, vitesse nulle à l'infini).
$E_{m} > 0$ : orbite hyperbolique (état de diffusion, vitesse non nulle à l'infini).

(La nature exacte des coniques est démontrée au chapitre suivant via la formule de Binet.)

3.2 — Cas du potentiel coulombien répulsif $E_{p} (r) = + k / r$

Avec $k > 0$ , $E_{p, eff} (r) = \frac{k}{r} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} > 0$ sur $] 0, + \infty [$ . C'est une fonction strictement décroissante qui tend vers $+ \infty$ en $0$ et vers $0^{+}$ en $+ \infty$ . Aucun état lié possible : pour toute valeur de $E_{m} > 0$ , il existe un unique $r_{m i n}$ tel que $E_{p, eff} (r_{m i n}) = E_{m}$ , et $r \in [r_{m i n}, + \infty [$ . Le mouvement est toujours de diffusion (trajectoire hyperbolique). C'est le cas Rutherford de la diffusion de particules $α$ par un noyau positif.

💡 Exemple canonique — Diffusion de Rutherford (1909). Une particule

α

(charge

+ 2 e

) lancée vers un noyau d'or (charge

+ Z e

) subit la force coulombienne répulsive

F = \frac{2 Z e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{r}

. La discussion via

E_{p, eff}

donne immédiatement : trajectoire hyperbolique, distance minimale d'approche

r_{m i n}

telle que

E_{m} = \frac{k}{r _{m i n}} + \frac{L ^{2}}{2 m r _{m i n}^{2}}

. Pour un paramètre d'impact nul (

L = 0

r_{m i n} = k / E_{m}

— c'est l'« approche frontale » qui a permis à Rutherford d'estimer la taille du noyau.

4. Mouvement circulaire et formule de Binet

4.1 — Condition de circularité

Théorème 4.1 — Condition de mouvement circulaire ★ À savoir démontrer

Soit $M$ un point soumis à une force centrale attractive $F = - F (r) u_{r}$ avec $F (r) > 0$ . Une trajectoire circulaire de rayon $r_{0}$ , parcourue à vitesse uniforme $v_{0}$ , est possible si et seulement si :

F (r_{0}) = \frac{m v _{0}^{2}}{r _{0}} .

Démonstration (PFD en polaires, accélération normale)

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $r_{0}$ , $r (t) = r_{0}$ constant, donc $\overset{r}{˙} = \overset{r}{¨} = 0$ . En polaires, l'accélération s'écrit :

a = (\overset{r}{¨} - r \dot{θ}^{2}) u_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \overset{r}{˙} \dot{θ}) u_{θ} .

Avec $\overset{r}{˙} = \overset{r}{¨} = 0$ et $r = r_{0}$ :

a = - r_{0} \dot{θ}^{2} u_{r} + r_{0} \ddot{θ} u_{θ} .

Le PFD $m a = F = - F (r_{0}) u_{r}$ projeté sur $u_{θ}$ donne $m r_{0} \ddot{θ} = 0$ , donc $\dot{θ}$ est constant : le mouvement est uniforme. La projection sur $u_{r}$ donne :

- m r_{0} \dot{θ}^{2} = - F (r_{0}), soit F (r_{0}) = m r_{0} \dot{θ}^{2} = \frac{m v _{0}^{2}}{r _{0}},

avec $v_{0} = r_{0} ∣ \dot{θ} ∣$ (vitesse orthoradiale). Réciproquement, on vérifie que toute condition initiale satisfaisant cette relation, plus $\overset{r}{˙} (0) = 0$ , donne bien un cercle.

💡 Application — Orbite circulaire newtonienne. Pour

F (r) = GM m / r^{2}

, la condition

F (r_{0}) = m v_{0}^{2} / r_{0}

donne

\frac{GM m}{r _{0}^{2}} = \frac{m v _{0}^{2}}{r _{0}}

, soit la première vitesse cosmique :

v_{0} = GM / r_{0}

. Pour un satellite en orbite basse autour de la Terre (

r_{0} \approx R_{T}

v_{0} \approx 7, 9 km/s

4.2 — Formules de Binet (équation de la trajectoire)

Proposition 4.2 — Formules de Binet

Pour un mouvement à force centrale, en posant $u (θ) = 1/ r (θ)$ , on a les deux identités suivantes (Binet) :

v^{2} = C^{2} ((\frac{d u}{d θ})^{2} + u^{2}), a \cdot u_{r} = - C^{2} u^{2} (\frac{d ^{2} u}{d θ ^{2}} + u) .

Avec $C = r^{2} \dot{θ}$ la constante des aires. Combinée au PFD radial, la deuxième formule de Binet donne l'équation différentielle de la trajectoire $u (θ)$ — sans passer par le temps.

📝 Pourquoi Binet est utile. Le PFD donne

r (t)

θ (t)

paramétrés par le temps — mais ce qu'on veut souvent, c'est la trajectoire géométrique

r (θ)

. Binet permet d'obtenir directement une équation différentielle en

u (θ)

, sans intégrer le temps. Pour le potentiel newtonien, cette équation est linéaire et donne les coniques (cf. chapitre Kepler suivant).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les problèmes de mécanique du point. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre force centrale et force conservative. Une force centrale n'est pas automatiquement conservative : si

F

dépend de

θ

ou de

t

(pas seulement de

r

), elle reste centrale mais n'admet pas nécessairement d'énergie potentielle. Réciproquement, une force conservative peut ne pas être centrale (ex. pesanteur

F = - m g u_{z}

est conservative mais pas centrale). Règle : « centrale » concerne la direction, « conservative » concerne l'existence d'un $E_{p}$ . Conservation de

L_{O}

ne demande QUE la centralité.

⚠ Erreur 2 — Croire que la barrière centrifuge est une vraie force. Le terme

\frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}

dans

E_{p, eff}

est un artefact mathématique issu de la réécriture de l'énergie cinétique en éliminant

\dot{θ}

. Il n'y a pas de force répulsive supplémentaire dans le référentiel galiléen : c'est juste l'effet de l'inertie orthoradiale. Ne JAMAIS écrire « la force centrifuge

L^{2} / (m r^{3})

repousse… » dans un raisonnement galiléen — c'est sanctionné aux concours.

⚠ Erreur 3 — Oublier la barrière dans la discussion énergétique. Beaucoup d'élèves écrivent

E_{m} \geq E_{p} (r)

au lieu de

E_{m} \geq E_{p, eff} (r)

, et en déduisent à tort que le point peut « tomber sur

O

» pour le potentiel newtonien. C'est faux : tant que

L \neq = 0

, la barrière centrifuge

L^{2} / (2 m r^{2}) \to + \infty

0

empêche le passage à

r = 0

. Le seul cas où

M

atteint

O

est

L = 0

(chute radiale).

⚠ Erreur 4 — Appliquer la loi des aires sans avoir vérifié la centralité.

C = r^{2} \dot{θ}

n'est constant QUE pour une force centrale. Dans un problème avec frottement orthoradial (ex. trainée atmosphérique sur un satellite),

L_{O}

n'est plus conservé et

C

varie. Toujours justifier la centralité avant d'invoquer Kepler 2.

⚠ Erreur 5 — Confondre L et C.

L

(norme du moment cinétique, en

kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 1}

) et

C = L / m

(constante des aires, en

m^{2} \cdot s^{- 1}

) sont reliés mais distincts dimensionnellement. Vérifie toujours l'homogénéité de tes formules :

E_{p, eff}

contient

L^{2} / (2 m r^{2})

, pas

C^{2} / (2 m r^{2})

6. Pour aller plus loin

Les champs de force centrale sont le socle de toute la mécanique céleste et atomique. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Mouvement képlérien (chap. 21) — résolution complète de l'équation de Binet pour $E_{p} = - k / r$ : trajectoires coniques, troisième loi de Kepler $T^{2} / a^{3} = cste$ , vitesses cosmiques.
Mécanique du solide (spé) — le théorème du moment cinétique en $O$ se généralise à un solide ; les forces centrales restent à moment nul.
Atome d'hydrogène (chap. quantique, spé) — le potentiel coulombien $- k / r$ est traité exactement par les mêmes outils (potentiel effectif, états liés ↔ orbites bornées ↔ $E_{m} < 0$ ).
Diffusion de Rutherford et physique des particules — l'expérience historique $α$ + Au utilise directement la diffusion en potentiel coulombien répulsif.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir précisément une « force centrale de centre $O$ » et donner deux exemples (Newton, Coulomb) ?
Sais-tu démontrer que $L_{O}$ est conservé pour une force centrale (via le moment de la force) ?
Sais-tu en déduire que le mouvement est plan, dans le plan orthogonal à $L_{O}$ ?
Sais-tu énoncer la loi des aires et démontrer $C = r^{2} \dot{θ}$ à partir de $L = m r^{2} \dot{θ}$ ?
Sais-tu démontrer $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + E_{p} (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ (barrière centrifuge) ?
Sais-tu tracer le graphe $E_{p, eff} (r)$ pour le potentiel newtonien $- k / r$ et discuter la nature du mouvement selon $E_{m}$ ?
Connais-tu la classification des orbites newtoniennes : circulaire / elliptique / parabolique / hyperbolique en fonction du signe de $E_{m}$ ?
Sais-tu retrouver la condition $F (r_{0}) = m v_{0}^{2} / r_{0}$ du mouvement circulaire à partir du PFD en polaires ?
Sais-tu écrire les deux formules de Binet et expliquer leur utilité (équation de trajectoire $r (θ)$ ) ?
Sais-tu distinguer le potentiel attractif $- k / r$ (états liés possibles) du potentiel répulsif $+ k / r$ (diffusion uniquement) ?
Sais-tu expliquer pourquoi la barrière centrifuge n'est PAS une vraie force dans le référentiel galiléen ?

Démonstrations à savoir refaire

Conservation de $L_{O}$ pour une force centrale — TMC + $u_{r} \land u_{r} = 0$
Loi des aires $C = r^{2} \dot{θ}$ constante — $L_{O}$ en polaires + $u_{r} \land u_{θ} = u_{z}$
Barrière centrifuge $L^{2} / (2 m r^{2})$ — élimination de $\dot{θ}$ dans $E_{c}$ via Kepler 2
Condition de mouvement circulaire $F (r_{0}) = m v_{0}^{2} / r_{0}$ — PFD en polaires avec $\overset{r}{˙} = \overset{r}{¨} = 0$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Théorèmes fondamentaux du mouvement à force centrale

2.1 — Conservation du moment cinétique

2.2 — Loi des aires (deuxième loi de Kepler)

2.3 — Conservation de l'énergie mécanique

2.4 — Énergie potentielle effective et barrière centrifuge

3. Discussion qualitative du mouvement à partir de E_p,eff(r)

3.1 — Cas du potentiel newtonien attractif $E_{p} (r) = - k / r$

3.2 — Cas du potentiel coulombien répulsif $E_{p} (r) = + k / r$

4. Mouvement circulaire et formule de Binet

4.1 — Condition de circularité

4.2 — Formules de Binet (équation de la trajectoire)

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

Champs de force centrale

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Théorèmes fondamentaux du mouvement à force centrale

2.1 — Conservation du moment cinétique

2.2 — Loi des aires (deuxième loi de Kepler)

2.3 — Conservation de l'énergie mécanique

2.4 — Énergie potentielle effective et barrière centrifuge

3. Discussion qualitative du mouvement à partir de E_p,eff(r)

3.1 — Cas du potentiel newtonien attractif Ep​(r)=−k/r

3.2 — Cas du potentiel coulombien répulsif Ep​(r)=+k/r

4. Mouvement circulaire et formule de Binet

4.1 — Condition de circularité

4.2 — Formules de Binet (équation de la trajectoire)

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

3.1 — Cas du potentiel newtonien attractif $E_{p} (r) = - k / r$

3.2 — Cas du potentiel coulombien répulsif $E_{p} (r) = + k / r$