Réflexion et transmission des ondes

Vue d'ensemble

Que se passe-t-il quand une onde rencontre une interface — un changement de milieu, une extrémité, une discontinuité ? Une partie est transmise, une partie réfléchie, dans des proportions fixées par les conditions aux limites et par le contraste d'impédance. Ce chapitre établit les coefficients de réflexion et de transmission (en amplitude et en énergie), montre comment l'onde stationnaire naît d'une réflexion totale, et unifie corde, son et — bientôt — électromagnétisme sous le même formalisme. La leçon centrale : tout se joue sur l'adaptation d'impédance. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Réflexion et transmission d'une onde à une interface entre deux milieux (corde, acoustique) : conditions de continuité aux frontières, coefficients de réflexion et de transmission en amplitude ; bilan énergétique, coefficients en puissance (

R + T = 1

) ; cas limites (extrémité fixe/libre, désadaptation totale) ; onde stationnaire par réflexion, notion d'adaptation d'impédance.

Prérequis

Équation de d'Alembert : ondes progressives, relation de dispersion $ω = k c$
Ondes sonores : impédance acoustique $Z$ , relation $p = Z v$
Notation complexe des ondes harmoniques

🎯 Accompagnement Majorant

Coefficients r, t, R, T : tu mélanges amplitude et énergie ? La méthode est pourtant systématique. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font poser les conditions aux limites et dérouler le bilan énergétique jusqu'à l'automatisme — un formalisme qui resservira intégralement en électromagnétisme.

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1. L'interface et les conditions de continuité

Définition 1.1 — Les trois ondes à une interface

À une interface en $x = 0$ entre deux milieux (célérités $c_{1}, c_{2}$ , impédances $Z_{1}, Z_{2}$ ), une onde incidente venant du milieu 1 donne naissance à une onde réfléchie (repartant dans le milieu 1) et une onde transmise (poursuivant dans le milieu 2), toutes de même pulsation $ω$ (imposée par la source) :

y_{1} = incidente (+ x) y_{i} + r \overset{e}{ˊ} fl \overset{e}{ˊ} chie (- x) y_{r}, y_{2} = transmise (+ x) y_{t} .

Définition 1.2 — Coefficients de réflexion et de transmission

Les coefficients en amplitude comparent les amplitudes (complexes) au niveau de l'interface :

\underline{r} = \frac{y _{r}}{y _{i}}_{x = 0}, \underline{t} = \frac{y _{t}}{y _{i}}_{x = 0} .

Ils peuvent être négatifs (déphasage de $π$ ) ou complexes. Les coefficients en puissance $R, T$ comparent les puissances moyennes transportées (section 3).

Proposition 1.3 — Les conditions de continuité

À l'interface, deux grandeurs physiques doivent être continues (sans quoi apparaîtraient des forces ou des accélérations infinies) :

Corde : continuité du déplacement $y$ (la corde ne se rompt pas) ET de sa dérivée spatiale $\partial_{x} y$ si la tension est continue (pas de force transverse ponctuelle) — sinon, bilan de forces sur le point de jonction.
Acoustique : continuité de la surpression $p$ (équilibre mécanique de l'interface) ET de la vitesse normale $v$ (les fluides ne se séparent pas).

Ces deux relations, écrites en $x = 0$ , suffisent à déterminer $\underline{r}$ et $\underline{t}$ .

2. Les coefficients en amplitude

Définition 2.1 — Écriture des ondes à l'interface

En régime harmonique, on écrit les trois ondes de surpression en notation complexe : $\underline{p_{i}} = p_{0} e^{i (ω t - k_{1} x)}$ , $\underline{p_{r}} = r p_{0} e^{i (ω t + k_{1} x)}$ , $\underline{p_{t}} = t p_{0} e^{i (ω t - k_{2} x)}$ , avec $k_{1} = ω / c_{1}$ , $k_{2} = ω / c_{2}$ . Toutes ont la MÊME pulsation $ω$ (imposée par la source) ; seuls les vecteurs d'onde changent d'un milieu à l'autre. Les coefficients $r, t$ se lisent à l'interface $x = 0$ .

Théorème 2.2 — Coefficients de réflexion et transmission (acoustique) ★ À savoir démontrer

Pour une onde sonore passant du milieu $Z_{1}$ au milieu $Z_{2}$ , en raisonnant sur la surpression :

r = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{2} + Z _{1}}, t = \frac{2 Z _{2}}{Z _{2} + Z _{1}}, avec 1 + r = t .

Démonstration (deux conditions de continuité, deux inconnues)

Écrivons les ondes de surpression harmoniques en $x = 0$ : $p_{i} = p_{0}$ , $p_{r} = r p_{0}$ , $p_{t} = t p_{0}$ (amplitudes prises à l'interface). Les vitesses associées, via $p = \pm Z v$ (le signe $-$ pour l'onde réfléchie qui va vers $- x$ ) : $v_{i} = p_{0} / Z_{1}$ , $v_{r} = - r p_{0} / Z_{1}$ , $v_{t} = t p_{0} / Z_{2}$ .

Continuité de la surpression en $x = 0$ : $p_{i} + p_{r} = p_{t}$ , soit $1 + r = t$ .

Continuité de la vitesse en $x = 0$ : $v_{i} + v_{r} = v_{t}$ , soit $\frac{1 - r}{Z _{1}} = \frac{t}{Z _{2}}$ .

On résout ce système $2 \times 2$ . De la première, $t = 1 + r$ ; en reportant : $\frac{1 - r}{Z _{1}} = \frac{1 + r}{Z _{2}}$ , d'où $Z_{2} (1 - r) = Z_{1} (1 + r)$ , soit $r = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{2} + Z _{1}}$ et $t = 1 + r = \frac{2 Z _{2}}{Z _{2} + Z _{1}}$ . (Analogue exact du diviseur de tension / adaptation de lignes en électricité.)

💡 Cas limites à connaître. On raisonne ici sur le déplacement d'une corde ; le coefficient de réflexion sur le déplacement est

r_{y} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}

(signe opposé au coefficient acoustique sur

p

, car

y

p

sont des grandeurs « duales »).
— Extrémité fixe (

Z_{2} \to \infty

, corde attachée à un mur) :

y = 0

au bout,

r_{y} = - 1

(réflexion AVEC inversion, déphasage

π

t = 0

.
— Extrémité libre (

Z_{2} \to 0

) :

\partial_{x} y = 0

r_{y} = + 1

(réflexion SANS inversion),

t = 0

: ventre de déplacement au bout.
— Milieux adaptés (

Z_{1} = Z_{2}

) :

r = 0

t = 1

: l'onde passe intégralement, aucune réflexion. C'est l'ADAPTATION D'IMPÉDANCE, le but de tout bon couplage.

⚠ Piège — Le coefficient dépend de la GRANDEUR choisie.

r

t

diffèrent selon qu'on raisonne sur la surpression

p

, la vitesse

v

, ou le déplacement

y

(car

v = p / Z

mélange les impédances). Toujours PRÉCISER sur quelle grandeur porte le coefficient — un

r

sur

p

n'est pas le

r

sur

v

. Les rapports signalent des confusions récurrentes ici.

3. Bilan énergétique : les coefficients en puissance

Définition 3.1 — Coefficients en puissance (énergie)

Une onde de surpression d'amplitude $P$ transporte la puissance moyenne (intensité) $I = P^{2} / (2 Z)$ . Les coefficients en puissance comparent les puissances moyennes réfléchie et transmise à la puissance incidente : $R = I_{r} / I_{i}$ et $T = I_{t} / I_{i}$ . Ils sont compris entre 0 et 1 (contrairement aux coefficients en amplitude) et vérifient la conservation de l'énergie $R + T = 1$ — c'est le contrôle systématique de tout calcul d'interface.

Théorème 3.2 — Coefficients en puissance et conservation de l'énergie ★ À savoir démontrer

Les coefficients en puissance (rapports des puissances moyennes réfléchie/transmise à la puissance incidente) valent :

R = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{2} + Z _{1}})^{2} = r^{2}, T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}, R + T = 1 .

Démonstration (puissances via I = p²/2Z, puis R + T = 1)

La puissance moyenne (intensité) d'une onde de surpression d'amplitude $P$ est $I = \frac{P ^{2}}{2 Z}$ . D'où :

R = \frac{I _{r}}{I _{i}} = \frac{( r p _{0} ) ^{2} /2 Z _{1}}{p _{0}^{2} /2 Z _{1}} = r^{2} = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{2} + Z _{1}})^{2} .

Pour la transmise, ATTENTION à l'impédance $Z_{2}$ au dénominateur :

T = \frac{I _{t}}{I _{i}} = \frac{( t p _{0} ) ^{2} /2 Z _{2}}{p _{0}^{2} /2 Z _{1}} = t^{2} \frac{Z _{1}}{Z _{2}} = \frac{4 Z _{2}^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} \cdot \frac{Z _{1}}{Z _{2}} = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} .

Vérification de la conservation :

R + T = \frac{( Z _{2} - Z _{1} ) ^{2} + 4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{Z _{1}^{2} + 2 Z _{1} Z _{2} + Z _{2}^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = 1.

L'énergie est conservée : ce qui n'est pas réfléchi est transmis. Le facteur $Z_{1} / Z_{2}$ dans $T$ est le piège classique — l'énergie se calcule avec l'impédance du milieu où elle voyage.

💡 Exemple — L'interface air/eau.

Z_{e a u} / Z_{ai r} \approx 3600

. Coefficient de réflexion en énergie :

R = (\frac{3600 - 1}{3600 + 1})^{2} \approx 0, 9989

: 99,9 % de l'énergie sonore est RÉFLÉCHIE à l'interface, seuls 0,1 % passent. D'où l'inaudibilité d'un cri depuis la surface pour un plongeur — et la nécessité, en échographie, d'un gel adaptateur d'impédance entre la sonde et la peau. Application médicale directe, appréciée aux oraux.

⚠ Piège — R ≠ r² pour la transmission (pas de « T = t² »).

R = r^{2}

(même impédance de part et d'autre pour l'incidente et la réfléchie), mais

T = t^{2} \cdot Z_{1} / Z_{2} \neq = t^{2}

: le changement d'impédance impose le facteur correctif. Écrire «

T = t^{2}

» viole la conservation de l'énergie (

R + T \neq = 1

) — erreur sanctionnée systématiquement.

4. Onde stationnaire par réflexion et adaptation d'impédance

Théorème 4.1 — Onde stationnaire par réflexion totale

Lors d'une réflexion TOTALE ( $∣ r ∣ = 1$ , $T = 0$ ), la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie de même amplitude crée une onde stationnaire. Pour $r = - 1$ (extrémité fixe en $x = 0$ ) :

y (x, t) = y_{0} [cos (ω t - k x) - cos (ω t + k x)] = 2 y_{0} sin (k x) sin (ω t),

avec des nœuds fixes en $x = - nπ / k$ et des ventres entre eux. La réflexion aux bords est le mécanisme physique qui fabrique les modes propres (corde, tuyau).

Définition 4.2 — Adaptation d'impédance

Adapter les impédances, c'est faire en sorte que $Z_{1} = Z_{2}$ (ou insérer un milieu intermédiaire) pour ANNULER la réflexion ( $r = 0$ , $T = 1$ ) : toute l'énergie est transmise. C'est l'objectif de tout dispositif de couplage — du pavillon d'un instrument (adapte l'impédance de la colonne d'air à celle de l'atmosphère) au gel d'échographie, en passant, en électronique, par l'adaptation d'une ligne à sa charge.

📐 Méthode-type — Traiter une interface (corde ou son).

Écrire les trois ondes (incidente, réfléchie, transmise) en notation complexe, de même $ω$ , avec les bons sens de propagation et les bons vecteurs d'onde $k_{1}, k_{2}$ .
Poser les deux conditions de continuité en $x = 0$ (déplacement et pente pour la corde ; surpression et vitesse pour le son).
Résoudre le système 2×2 pour $r$ et $t$ — vérifier le cas d'adaptation ( $Z_{1} = Z_{2} \Rightarrow r = 0$ ) et les cas limites (fixe/libre).
Bilan énergétique : $R = r^{2}$ , $T = t^{2} Z_{1} / Z_{2}$ , et CONTRÔLER $R + T = 1$ (sinon, erreur dans les coefficients).

🧑‍🏫 Interfaces : la méthode qui ne rate pas

Trois ondes, deux conditions, un système, un bilan : la routine des interfaces. Un mentor Majorant te la fait dérouler sur corde, son puis (anticipation) ondes EM — le même formalisme trois fois, jusqu'à ce qu'il devienne un réflexe qui rapporte à chaque écrit.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les interfaces enchaînent conditions de continuité et bilans énergétiques — deux sources d'erreurs. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le signe de la vitesse de l'onde réfléchie. L'onde réfléchie va vers

- x

: sa relation surpression-vitesse est

p = - Z v

(signe opposé à l'incidente). Oublier ce signe fausse la condition de continuité de la vitesse et donc tous les coefficients. Dessiner les sens de propagation avant d'écrire.

⚠ Erreur 2 — Écrire T = t² (oubli du facteur Z₁/Z₂). L'énergie transmise voyage dans le milieu 2 :

T = t^{2} Z_{1} / Z_{2}

. Le contrôle

R + T = 1

le détecte immédiatement. C'est l'erreur énergétique n°1 du chapitre.

⚠ Erreur 3 — Confondre coefficients en amplitude et en énergie.

r, t

(amplitude) peuvent dépasser 1 en valeur absolue (

t

peut valoir jusqu'à 2 !), ce qui est PARFAITEMENT compatible avec

R, T \leq 1

(énergie). Une amplitude transmise > incidente ne viole rien tant que

R + T = 1

. Ne pas s'alarmer d'un

t > 1

⚠ Erreur 4 — Se tromper de condition à une extrémité de corde. Extrémité FIXE :

y = 0

(nœud),

r = - 1

(inversion). Extrémité LIBRE :

\partial_{x} y = 0

(ventre),

r = + 1

(pas d'inversion). Inverser les deux cas est fréquent sous stress — associer « fixe = mur = ça revient à l'envers ».

⚠ Erreur 5 — Croire qu'une petite réflexion en amplitude est négligeable en énergie. À l'interface air/eau,

r \approx 1

donne

R \approx 99, 9 %

: quasi tout est réfléchi. À l'inverse, une réflexion

r = 0, 1

ne renvoie que

R = 1 %

de l'énergie. Comme

R = r^{2}

, le passage amplitude → énergie change radicalement les ordres de grandeur : toujours conclure sur

R

, pas sur

r

6. Pour aller plus loin

Le formalisme des interfaces est universel — il se recopie d'un domaine à l'autre :

Ondes électromagnétiques — réflexion/transmission à une interface diélectrique : mêmes coefficients avec l'impédance du vide/milieu, lois de Fresnel, incidence de Brewster (culture).
Dispersion et paquets d'ondes — quand $ω$ et $k$ ne sont plus proportionnels, vitesse de phase et de groupe divergent : le chapitre suivant.
Quantique — l'effet tunnel est une transmission à travers une barrière : même vocabulaire (coefficients $R, T$ , $R + T = 1$ ), autre onde (la fonction d'onde).
Applications — échographie et gel adaptateur, revêtements antireflets, adaptation de lignes en électronique HF, acoustique des salles : l'adaptation d'impédance est partout.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu poser les trois ondes (incidente, réfléchie, transmise) de même ω à une interface ?
Sais-tu définir r, t (amplitude) et R, T (énergie) et les distinguer ?
Connais-tu les deux conditions de continuité (déplacement/pente ; surpression/vitesse) ?
Sais-tu démontrer r = (Z₂−Z₁)/(Z₂+Z₁), t = 2Z₂/(Z₂+Z₁), avec 1 + r = t ?
Connais-tu les cas limites (fixe r = −1, libre r = +1, adapté r = 0) ?
Sais-tu que le coefficient dépend de la grandeur (p, v, y) choisie ?
Sais-tu démontrer R = r², T = 4Z₁Z₂/(Z₁+Z₂)², et vérifier R + T = 1 ?
Sais-tu que T = t²·Z₁/Z₂ (facteur d'impédance) et pas t² ?
Sais-tu traiter l'interface air/eau (R ≈ 99,9 %) et le rôle du gel d'échographie ?
Sais-tu qu'une réflexion totale crée une onde stationnaire (nœuds/ventres) ?
Sais-tu définir l'adaptation d'impédance (Z₁ = Z₂ ⟹ r = 0, T = 1) et ses applications ?
Sais-tu qu'un t > 1 (amplitude) ne viole rien tant que R + T = 1 (énergie) ?

Démonstrations à savoir refaire

Coefficients en amplitude — continuité de p et de v, système 2×2, r et t
Coefficients en puissance — I = P²/2Z, R = r², T = t²Z₁/Z₂, R + T = 1

Vue d'ensemble

Prérequis

1. L'interface et les conditions de continuité

2. Les coefficients en amplitude

3. Bilan énergétique : les coefficients en puissance

4. Onde stationnaire par réflexion et adaptation d'impédance

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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