Ondes sonores dans les fluides

Vue d'ensemble

Le son est une onde de compression : une petite surpression qui se propage dans un fluide, transportant de l'énergie sans transporter de matière. Ce chapitre établit l'équation de d'Alembert acoustique à partir des trois lois du fluide (conservation de la masse, Euler linéarisé, évolution thermodynamique), en déduit la célérité $c = 1/ ρ_{0} χ_{S}$ , puis traite l'aspect énergétique (intensité sonore, décibels) et les modes propres des tuyaux — le prolongement direct de la corde vibrante, appliqué aux instruments à vent. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Ondes acoustiques dans un fluide : approximation acoustique, champs de surpression et de vitesse ; établissement de l'équation de propagation (d'Alembert) à partir de la conservation de la masse, de l'équation d'Euler linéarisée et de l'évolution isentropique ; célérité du son ; ondes planes progressives harmoniques, impédance acoustique ; aspects énergétiques (densité, vecteur densité de courant énergétique, intensité, niveau sonore en décibels) ; modes propres des cavités et tuyaux (conditions aux limites).

Prérequis

Équation de d'Alembert et corde vibrante : ondes progressives, stationnaires, modes propres
Thermodynamique : coefficient de compressibilité isentropique $χ_{S}$ , transformation isentropique
Mécanique des fluides de base : masse volumique, dérivée particulaire (niveau linéarisé)

🎯 Accompagnement Majorant

Trois équations couplées à linéariser, une d'Alembert à en sortir : l'acoustique effraie. Pourtant la démarche est balisée. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font refaire l'établissement complet et les bilans d'intensité jusqu'à la fluidité — un chapitre qui rapporte gros aux écrits.

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1. L'approximation acoustique et ses champs

Définition 1.1 — Champs acoustiques et approximation

Au repos, le fluide a une masse volumique $ρ_{0}$ et une pression $P_{0}$ uniformes. Le passage du son crée de petites perturbations :

la surpression $p (M, t) = P - P_{0}$ (Pa) ;
la vitesse particulaire $v (M, t)$ (m/s) ;
la variation de masse volumique $μ = ρ - ρ_{0}$ .

L'approximation acoustique consiste à supposer ces perturbations petites ( $p ≪ P_{0}$ , $μ ≪ ρ_{0}$ , $v ≪ c$ ) et à ne garder que les termes du premier ordre — ce qui linéarise les équations.

Définition 1.2 — Compressibilité isentropique

Les compressions acoustiques sont rapides : les échanges thermiques n'ont pas le temps de se faire, l'évolution est isentropique (adiabatique réversible). La surpression et la variation de masse volumique sont reliées par le coefficient de compressibilité isentropique :

χ_{S} = \frac{1}{ρ _{0}} (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} ⟹ μ = ρ_{0} χ_{S} p .

C'est le lien thermodynamique qui ferme le système d'équations.

📝 Pourquoi isentropique, pas isotherme. Newton avait calculé

c

en supposant l'évolution ISOTHERME et trouvait

\approx 290 m/s

, trop faible. Laplace corrigea : les oscillations acoustiques sont trop rapides pour que la chaleur diffuse, donc ADIABATIQUES. Pour un gaz parfait,

χ_{S} = 1/ (γ P_{0})

au lieu de

χ_{T} = 1/ P_{0}

: le facteur

γ

rehausse

c

340 m/s

, valeur correcte. Anecdote historique appréciée à l'oral.

2. Établir l'équation d'Alembert acoustique

Théorème 2.1 — Équation de propagation du son ★ À savoir démontrer

Dans l'approximation acoustique, la surpression (comme chaque composante de la vitesse) vérifie l'équation de d'Alembert :

Δ p = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}}, c = \frac{1}{ρ _{0} χ _{S}} (c \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} rit \overset{e}{ˊ} du son) .

Démonstration (les trois équations linéarisées)

1. Conservation de la masse (linéarisée au premier ordre) :

\frac{\partial μ}{\partial t} + ρ_{0} div v = 0.

2. Équation d'Euler linéarisée (le terme convectif $(v \cdot \nabla) v$ est du second ordre, négligé) :

ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial t} = - \nabla p .

3. Relation thermodynamique isentropique : $μ = ρ_{0} χ_{S} p$ .

On combine : injectons (3) dans (1), $ρ_{0} χ_{S} \partial_{t} p + ρ_{0} div v = 0$ , puis dérivons par rapport à $t$ : $ρ_{0} χ_{S} \partial_{tt} p + ρ_{0} div (\partial_{t} v) = 0$ . Or, d'après (2), $\partial_{t} v = - \frac{1}{ρ _{0}} \nabla p$ , donc $div (\partial_{t} v) = - \frac{1}{ρ _{0}} Δ p$ . D'où :

ρ_{0} χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} - Δ p = 0 ⟹ Δ p = ρ_{0} χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}},

soit $c = 1/ ρ_{0} χ_{S}$ . Pour un gaz parfait ( $χ_{S} = 1/ γ P_{0}$ , $P_{0} = ρ_{0} r T$ ) : $c = γ P_{0} / ρ_{0} = γ r T$ — le son va plus vite quand il fait plus chaud ( $\propto T$ ). AN air à 20 °C : $c \approx 1, 4 \times 287 \times 293 \approx 343 m/s$ .

⚠ Piège — Ne PAS oublier de linéariser Euler. Le terme convectif

(v \cdot \nabla) v

est un produit de deux petites quantités : il est du SECOND ordre, donc négligé dans l'approximation acoustique. Le garder rendrait l'équation non linéaire (ondes de choc). Énoncer et justifier chaque ordre de grandeur est la moitié des points de l'établissement.

3. Ondes planes progressives et impédance acoustique

Définition 3.1 — Impédance acoustique

Pour une onde plane progressive se propageant selon $+ u_{x}$ , surpression et vitesse sont proportionnelles et en phase : $p = Z v$ , où $Z$ est l'impédance acoustique du milieu :

Z = ρ_{0} c = \frac{ρ _{0}}{χ _{S}} (en Pa \cdot s \cdot m^{- 1}) .

Pour une onde vers $- u_{x}$ , $p = - Z v$ . L'impédance joue en acoustique le rôle de la résistance en électricité (analogie $p \leftrightarrow u$ , $v \leftrightarrow i$ ).

Théorème 3.2 — Relation de structure d'une OPPM ★ À savoir démontrer

Pour une onde plane progressive harmonique $p = p_{0} cos (ω t - k x)$ se propageant vers $+ u_{x}$ :

v_{x} = \frac{p}{ρ _{0} c} = \frac{p}{Z}, ω = k c (relation de dispersion, milieu non dispersif) .

Démonstration (Euler linéarisé sur l'OPPM)

Cherchons $v_{x}$ à partir de l'onde de surpression $p = p_{0} cos (ω t - k x)$ . L'équation d'Euler linéarisée projetée sur $x$ donne :

ρ_{0} \frac{\partial v _{x}}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x} = - k p_{0} sin (ω t - k x) .

En intégrant par rapport à $t$ (la constante d'intégration, statique, est nulle en régime d'onde) :

v_{x} = \frac{k p _{0}}{ρ _{0} ω} cos (ω t - k x) = \frac{k}{ρ _{0} ω} p .

Avec la relation de dispersion $ω = k c$ (issue de d'Alembert) : $\frac{k}{ρ _{0} ω} = \frac{1}{ρ _{0} c} = \frac{1}{Z}$ , donc $v_{x} = p / Z$ , en phase avec $p$ . C'est la signature d'une onde progressive : surpression et vitesse « marchent ensemble ». (Pour une onde vers $- x$ , le signe s'inverse : $v_{x} = - p / Z$ .)

💡 Ordres de grandeur (à connaître). Air :

ρ_{0} = 1, 2 kg/ m^{3}

c = 340 m/s

, donc

Z_{ai r} \approx 410 Pa \cdot s/m

. Eau :

Z_{e a u} \approx 1, 5 \times 1 0^{6}

— quatre mille fois plus grande, d'où la quasi-totale réflexion du son à l'interface air/eau (les poissons n'entendent pas les cris hors de l'eau). Cette énorme désadaptation d'impédance est un fil rouge des sujets d'acoustique.

⚠ Piège — v est la vitesse des PARTICULES, pas la célérité. Dans

p = Z v

v

est la vitesse d'oscillation des molécules (quelques mm/s pour un son courant), pas la vitesse

c

de propagation de l'onde (~ 340 m/s). Confondre les deux mélange deux ordres de grandeur séparés par un facteur

1 0^{5}

— et fausse tout calcul d'intensité. Contrôle :

v = p / (ρ_{0} c)

donne bien des mm/s pour

p \sim 1 Pa

4. Intensité sonore, décibels et modes des tuyaux

Définition 4.1 — Intensité sonore et niveau en décibels

Le vecteur densité de courant énergétique (analogue du Poynting) est $Π = p v$ (W/m²). L'intensité sonore $I$ est sa moyenne temporelle ; pour une OPPM :

I = ⟨ p v ⟩ = \frac{⟨ p ^{2} ⟩}{ρ _{0} c} = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ _{0} c} .

Le niveau sonore se mesure en décibels par une échelle logarithmique, avec $I_{r e f} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ (seuil d'audition) :

L = 10 lo g_{10} (\frac{I}{I _{r e f}}) (dB) .

Définition 4.2 — Onde stationnaire acoustique, nœuds et ventres

Une onde stationnaire acoustique résulte de la superposition de deux ondes progressives de sens opposés : surpression et vitesse y oscillent sur place, en quadrature spatiale. Un nœud de vitesse ( $v = 0$ ) coïncide avec un ventre de surpression ( $∣ p ∣$ maximal), et réciproquement — un décalage d'un quart de longueur d'onde entre les deux réseaux. Cette quadrature est la clé de la lecture des conditions aux limites d'un tuyau.

Théorème 4.3 — Modes propres d'un tuyau

Un tuyau de longueur $L$ impose des conditions aux limites qui quantifient les modes :

Extrémité fermée : vitesse nulle $v = 0$ (nœud de vitesse = ventre de surpression) ;
Extrémité ouverte : surpression nulle $p \approx 0$ (ventre de vitesse = nœud de surpression), car le tuyau communique avec l'atmosphère à $P_{0}$ .

D'où les fréquences propres : tuyau ouvert-ouvert ou fermé-fermé : $f_{n} = \frac{n c}{2 L}$ (tous les harmoniques) ; tuyau ouvert-fermé : $f_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) c}{4 L}$ (harmoniques impairs seulement).

📐 Méthode-type — Modes d'un tuyau sonore.

Traduire chaque extrémité : fermée → nœud de vitesse (ventre de $p$ ) ; ouverte → nœud de surpression (ventre de $v$ ). Attention : nœud de $v$ = ventre de $p$ et inversement (déphasage spatial de $π /2$ ).
Écrire l'onde stationnaire et imposer les deux CL pour quantifier $k_{n}$ , puis $f_{n} = k_{n} c /2 π$ .
Identifier la série d'harmoniques : complets (bords de même nature) ou impairs seuls (bords de natures différentes).
Application musicale : la flûte (ouverte-ouverte) sonne une octave au-dessus de la clarinette (fermée-ouverte) de même longueur, et la clarinette n'a que les harmoniques impairs (son « creux » caractéristique).

💡 Exemple chiffré — La clarinette. Tube

L = 0, 6 m

, fermé (bec) - ouvert (pavillon) :

f_{1} = \frac{c}{4 L} = \frac{340}{2 , 4} \approx 142 Hz

(proche d'un ré). Harmoniques :

f_{1}, 3 f_{1}, 5 f_{1}, \dots

(impairs). Une flûte de même longueur (ouverte-ouverte) aurait

f_{1}^{'} = c /2 L \approx 283 Hz

, une octave plus haut, avec tous les harmoniques. Le calcul complet est un classique de TP et d'écrit.

🧑‍🏫 L'acoustique de bout en bout

Établissement, impédance, intensité, tuyaux : une chaîne où chaque maillon compte. Un mentor Majorant te fait dérouler un sujet d'acoustique complet (Centrale, Mines) — des trois équations aux décibels — jusqu'à ce que l'enchaînement soit un réflexe.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

L'acoustique enchaîne établissement délicat et subtilités de conditions aux limites. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Prendre χ_T au lieu de χ_S. Les compressions acoustiques sont ISENTROPIQUES (rapides, pas d'échange thermique), pas isothermes. Pour un gaz parfait, cela change

c

d'un facteur

γ

— la correction historique de Laplace. Utiliser

χ_{T}

donne une célérité fausse de 20 %.

⚠ Erreur 2 — Garder le terme convectif dans Euler.

(v \cdot \nabla) v

est du second ordre en amplitude : le négliger EST l'approximation acoustique. Le conserver casse la linéarité (et sort du programme). Chaque terme abandonné doit être justifié par son ordre de grandeur.

⚠ Erreur 3 — Confondre nœud de vitesse et nœud de surpression. Extrémité fermée :

v = 0

(nœud de vitesse) MAIS ventre de surpression. Extrémité ouverte :

p = 0

(nœud de surpression) MAIS ventre de vitesse.

p

v

sont déphasés de

π /2

dans l'espace pour une stationnaire : leurs nœuds ne coïncident jamais. Inverser fausse toute la quantification.

⚠ Erreur 4 — Oublier le facteur ½ dans l'intensité.

I = ⟨ p^{2} ⟩ / ρ_{0} c = p_{0}^{2} / (2 ρ_{0} c)

: la moyenne de

cos^{2}

vaut ½. Et attention aux décibels :

+ 10 dB

= intensité

\times 10

+ 3 dB

≈ intensité

\times 2

(deux sources identiques). L'échelle est logarithmique, pas linéaire.

⚠ Erreur 5 — Croire que le son transporte de la matière. La vitesse particulaire

v

oscille autour de zéro : en moyenne, les molécules ne se déplacent PAS (déplacement typique < µm). Ce qui se propage à

c

, c'est la perturbation (l'énergie), pas le fluide. Confondre

v

(vitesse des particules, ~ mm/s) et

c

(célérité, ~ 340 m/s) est un contresens de fond.

6. Pour aller plus loin

L'acoustique est un modèle d'onde complet — elle ouvre sur tout le reste :

Réflexion et transmission des ondes — la désadaptation d'impédance $Z$ gouverne les coefficients de réflexion aux interfaces (échographie, sonar).
Dispersion et paquets d'ondes — dans un milieu dispersif, vitesse de phase et de groupe diffèrent ; l'acoustique non linéaire donne les ondes de choc.
Ondes électromagnétiques — même structure d'onde (impédance du vide, vecteur de Poynting analogue à $p v$ , intensité en décibels) : l'acoustique est le meilleur entraînement avant Maxwell.
Effet Doppler et TP — décalage de fréquence source/récepteur en mouvement (approche documentaire), mesure de $c$ au tube de Kundt : capacités expérimentales au programme.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir les champs acoustiques (p, v, μ) et l'approximation du premier ordre ?
Sais-tu pourquoi l'évolution est isentropique (Laplace vs Newton) et écrire μ = ρ₀χ_S·p ?
Sais-tu établir d'Alembert à partir des trois équations (masse, Euler linéarisé, thermo) ?
Sais-tu retrouver c = 1/√(ρ₀χ_S) = √(γP₀/ρ₀) = √(γrT) et l'AN ≈ 343 m/s à 20 °C ?
Sais-tu justifier l'abandon du terme convectif (second ordre) ?
Sais-tu définir l'impédance Z = ρ₀c et la relation p = Zv pour une OPPM ?
Sais-tu démontrer v_x = p/Z par Euler linéarisé sur l'onde ?
Connais-tu la désadaptation d'impédance air/eau (facteur ~4000) et ses conséquences ?
Sais-tu écrire l'intensité I = p₀²/(2ρ₀c) et le niveau L = 10·log(I/I_ref) ?
Sais-tu traduire une extrémité fermée (nœud de v) et ouverte (nœud de p) ?
Sais-tu que fermé-ouvert n'a que les harmoniques impairs, f_n = (2n−1)c/4L ?
Sais-tu que le son propage l'énergie, pas la matière (v ≪ c) ?

Démonstrations à savoir refaire

Établissement de d'Alembert acoustique — masse + Euler linéarisé + isentropique, c = 1/√(ρ₀χ_S)
Structure d'une OPPM — Euler linéarisé donne v_x = p/Z en phase

Vue d'ensemble

Prérequis

1. L'approximation acoustique et ses champs

2. Établir l'équation d'Alembert acoustique

3. Ondes planes progressives et impédance acoustique

4. Intensité sonore, décibels et modes des tuyaux

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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