Interféromètre de Michelson

Vue d'ensemble

Le Michelson est LE roi des instruments d'optique de prépa — en cours, en TP et aux concours. Sa force : la division d'amplitude (une lame semi-réfléchissante partage l'onde en deux), qui autorise les sources étendues et donc des figures lumineuses et contrastées. Ses deux visages : la lame d'air (anneaux d'égale inclinaison, $δ = 2 e cos i$ ) et le coin d'air (franges rectilignes d'égale épaisseur, $δ \approx 2 α x$ ). Et sa vocation : mesurer — longueurs d'onde, doublets spectraux, épaisseurs, au dixième de micron. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Interféromètre de Michelson : description (séparatrice, compensatrice, miroirs), division d'amplitude et utilisation d'une source étendue ; configuration en lame d'air : différence de marche

2 e cos i

, anneaux d'égale inclinaison localisés à l'infini ; configuration en coin d'air : différence de marche

2 α x

, franges d'égale épaisseur localisées au voisinage des miroirs ; applications : mesure de longueurs d'onde, de doublets (brouillages périodiques), observation en lumière blanche.

Prérequis

Interférences à deux ondes : formule de Fresnel, ordre, contraste
Modèle scalaire : chemin optique, longueur de cohérence
Optique géométrique : images par un miroir plan

🎯 Accompagnement Majorant

Lame d'air ou coin d'air ? Anneaux ou franges ? Localisées où ? Le Michelson se résume à un tableau à deux colonnes que nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font construire et exploiter sur les sujets récents — écrits ET oraux de TP, où il tombe une année sur deux.

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1. Le dispositif et la division d'amplitude

Définition 1.1 — Architecture du Michelson

Une séparatrice $S_{p}$ (lame semi-réfléchissante à 45°) divise l'onde incidente en deux voies : l'une vers le miroir $M_{1}$ , l'autre vers le miroir $M_{2}$ ; après réflexion, les deux ondes se recombinent vers la sortie. Une compensatrice (lame identique à la séparatrice, parallèle à elle) égalise les épaisseurs de verre traversées par les deux voies — sans elle, la différence de marche dépendrait de la longueur d'onde (verre dispersif) et la lumière blanche serait inutilisable.

Définition 1.2 — Division d'amplitude

Le Michelson réalise une division d'amplitude : chaque rayon incident est partagé en deux par la séparatrice (50/50 en énergie). Contrairement à la division du front d'onde (Young), chaque point de la source produit ses deux ondes cohérentes qui suivent quasiment le même chemin : on peut utiliser une source étendue (donc lumineuse) à condition d'observer là où les franges restent contrastées — les franges deviennent localisées.

📝 Le schéma équivalent qui simplifie tout. En « dépliant » le montage à travers la séparatrice, tout se passe comme si l'on observait les interférences entre les ondes réfléchies par

M_{1}

et par

M_{2}^{'}

, image de $M_{2}$ par la séparatrice. Deux géométries :

M_{1} ∥ M_{2}^{'}

distants de

e

→ lame d'air ;

M_{1}

M_{2}^{'}

faisant un petit angle

α

→ coin d'air. Tout le chapitre découle de ce schéma — le refaire est le premier réflexe de chaque exercice.

2. Lame d'air : anneaux d'égale inclinaison

Définition 2.1 — Configuration en lame d'air

$M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ sont parallèles, séparés de l'épaisseur $e$ (réglable par translation d'un miroir : le chariotage). La figure d'interférence, observée à l'infini (ou au foyer d'une lentille convergente), est un système d'anneaux concentriques.

Théorème 2.2 — Différence de marche de la lame d'air ★ À savoir démontrer

Pour un rayon d'inclinaison $i$ (angle avec la normale aux miroirs) :

δ = 2 e cos i .

$δ$ ne dépend que de $i$ : les franges sont des anneaux d'égale inclinaison, localisés à l'infini (utilisation d'une lentille, écran au plan focal).

Démonstration (les deux sources images)

Dans le schéma équivalent, un point source $S$ donne deux images $S_{1}$ et $S_{2}$ par réflexion sur $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ : elles sont alignées sur la normale aux miroirs et distantes de $S_{1} S_{2} = 2 e$ (les images d'un même point par deux plans parallèles distants de $e$ ).

À l'infini dans la direction $i$ , les deux ondes issues de $S_{1}$ et $S_{2}$ (deux sources cohérentes en phase) présentent la différence de marche classique de deux sources alignées : la projection de $S_{1} S_{2}$ sur la direction d'observation,

δ = S_{1} S_{2} \cdot cos i = 2 e cos i .

$δ$ est maximal au centre ( $i = 0$ , $δ = 2 e$ ) et décroît vers les bords : l'ordre décroît du centre vers l'extérieur. Les anneaux brillants vérifient $2 e cos i_{k} = k λ_{0}$ . Quand on chariote ( $e$ augmente), l'ordre au centre $2 e / λ_{0}$ augmente : les anneaux « sortent » du centre — compter leur défilement mesure le déplacement (section 4).

Au voisinage du centre ( $i$ petit), $cos i \approx 1 - i^{2} /2$ donne le rayon angulaire des anneaux en $k$ : des anneaux de plus en plus serrés vers l'extérieur, signature visuelle à reconnaître.

⚠ Piège — δ = 2e cos i DÉCROÎT avec i. Contrairement à l'intuition « plus c'est incliné, plus c'est long », la différence de marche est MAXIMALE au centre. Conséquences en cascade : l'ordre décroît vers l'extérieur, et rapprocher les miroirs (diminuer

e

) fait RENTRER les anneaux au centre. Se tromper de sens ici fausse toutes les questions de chariotage.

💡 Exemple — Compter les anneaux qui défilent. Au centre (

i = 0

), une frange défile chaque fois que

2 e

varie de

λ_{0}

. Si

N = 100

anneaux « rentrent » pendant qu'on chariote de

d

, alors

2 d = N λ_{0}

: avec

λ_{0} = 546 nm

(raie verte du mercure),

d = 100 \times 546 \times 1 0^{- 9} /2 \approx 27, 3 μ m

. Le Michelson mesure des déplacements au dixième de micron près — ou, réciproquement, mesure

λ_{0}

d

est lu sur la vis micrométrique.

3. Coin d'air : franges d'égale épaisseur

Définition 3.1 — Configuration en coin d'air

$M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ font un petit angle $α$ (quelques minutes d'arc). En éclairage quasi normal (source étendue + condenseur), les franges sont rectilignes, parallèles à l'arête du coin, et localisées au voisinage des miroirs — on les observe en faisant l'image des miroirs sur un écran (lentille de projection).

Théorème 3.2 — Différence de marche du coin d'air ★ À savoir démontrer

À la distance $x$ de l'arête, sous incidence quasi normale :

δ (x) \approx 2 e (x) = 2 α x, interfrange i = \frac{λ _{0}}{2 α} .

Démonstration (l'épaisseur locale fait la différence de marche)

Localement, le coin est une lame d'air d'épaisseur variable $e (x) = α x$ (petit angle : $tan α \approx α$ ). Sous incidence quasi normale ( $i \approx 0$ , $cos i \approx 1$ ), la formule de la lame d'air s'applique localement :

δ (x) = 2 e (x) cos i \approx 2 α x .

Les franges sont les lieux $δ = cste$ , c'est-à-dire les lignes d'égale épaisseur $x = cste$ : des droites parallèles à l'arête. Franges brillantes : $2 α x_{k} = k λ_{0}$ , d'où l'interfrange :

i = x_{k + 1} - x_{k} = \frac{λ _{0}}{2 α} .

AN de référence : $α = 1^{'} \approx 2, 9 \times 1 0^{- 4} rad$ , $λ_{0} = 546 nm$ : $i = 546 \times 1 0^{- 9} / (2 \times 2, 9 \times 1 0^{- 4}) \approx 0, 94 mm$ . Mesurer $i$ donne $α$ — c'est LA méthode de mesure des petits angles. L'arête ( $x = 0$ , $δ = 0$ ) est une frange brillante particulière : en lumière blanche, c'est la seule frange blanche.

⚠ Piège — Localisation : à l'infini OU sur les miroirs, pas au choix. Avec une source ÉTENDUE : les anneaux de la lame d'air ne sont contrastés qu'à l'infini (écran au foyer d'une lentille), les franges du coin d'air qu'au voisinage des miroirs (miroirs conjugués de l'écran par une lentille). Poser l'écran « quelque part » donne un brouillage — et les questions de montage (quelle lentille, où ?) testent exactement cela.

4. Le Michelson instrument de mesure

Définition 4.1 — Contact optique

Le contact optique est le réglage $e = 0$ et $α = 0$ : $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ confondus, $δ = 0$ partout, teinte uniforme (« teinte plate »). C'est l'origine des mesures — et le seul réglage où les franges survivent en lumière blanche ( $ℓ_{c} \sim 1 μ m$ ) : on le détecte en cherchant les teintes de Newton autour de la frange blanche.

Théorème 4.2 — Mesure d'un doublet par brouillages périodiques ★ À savoir démontrer

Éclairé par un doublet ${λ_{1}, λ_{2}}$ (proches, écart $Δ λ$ , moyenne $λ_{0}$ ), le contraste des anneaux s'annule périodiquement au cours du chariotage. Deux brouillages successifs sont séparés de :

Δ e = \frac{λ _{0}^{2}}{2 Δ λ} .

Mesurer $Δ e$ donne l'écart du doublet — la mesure spectroscopique la plus fine du programme.

Démonstration (deux systèmes de franges qui se déphasent)

Chaque raie crée son système d'anneaux ; les éclairements (raies incohérentes entre elles) s'ajoutent. Au centre, les ordres respectifs valent $p_{1} = 2 e / λ_{1}$ et $p_{2} = 2 e / λ_{2}$ .

Brouillage quand les deux systèmes sont en anticoïncidence (brillantes de l'un sur sombres de l'autre) : $p_{1} - p_{2} = k + \frac{1}{2}$ ( $k$ entier). Or :

p_{1} - p_{2} = 2 e (\frac{1}{λ _{1}} - \frac{1}{λ _{2}}) = \frac{2 e Δ λ}{λ _{1} λ _{2}} \approx \frac{2 e Δ λ}{λ _{0}^{2}} .

Entre deux brouillages consécutifs, $p_{1} - p_{2}$ augmente de 1, donc :

\frac{2 Δ e Δ λ}{λ _{0}^{2}} = 1 ⟹ Δ e = \frac{λ _{0}^{2}}{2 Δ λ} .

AN historique — le doublet du sodium : $λ_{0} = 589, 3 nm$ , $Δ λ = 0, 6 nm$ : $Δ e = (589, 3 \times 1 0^{- 9})^{2} / (2 \times 0, 6 \times 1 0^{- 9}) \approx 0, 29 mm$ . On mesure $Δ e$ à la vis micrométrique et on remonte à $Δ λ = 0, 6 nm$ — inaccessible à un spectroscope ordinaire. C'est le TP-cours canonique.

📐 Méthode-type — Toute mesure au Michelson en 4 étapes.

Identifier la configuration (lame d'air ou coin d'air) et écrire la différence de marche adaptée ( $2 e cos i$ ou $2 α x$ ).
Relier la grandeur cherchée à δ : déplacement ↔ défilement des franges ( $2 d = N λ$ ) ; angle ↔ interfrange ( $α = λ /2 i$ ) ; doublet ↔ période de brouillage ( $Δ λ = λ_{0}^{2} /2Δ e$ ) ; lame introduite ↔ décalage $2 (n - 1) t$ (aller-retour !).
Compter (franges, brouillages, graduations de vis) et faire l'application numérique en traquant le facteur 2 de l'aller-retour.
Critiquer : incertitude de comptage, dérive thermique, cohérence ( $2 e ≲ ℓ_{c}$ sinon plus de franges du tout).

💡 Exemple — Lumière blanche et teintes de Newton. En lumière blanche (

ℓ_{c} \approx 1 μ m

), seules survivent les franges telles que

∣ δ ∣ ≲ 1 μ m

: au coin d'air, une frange centrale blanche (l'arête) bordée de quelques franges irisées (teintes de Newton), puis le blanc d'ordre supérieur. C'est le moyen le plus sensible de repérer

δ = 0

— donc de trouver le contact optique, préalable de toutes les mesures fines.

🧑‍🏫 Le Michelson en confiance, TP compris

Réglages, localisation, chariotage : le Michelson est aussi une épreuve de TP. Un mentor Majorant te fait dérouler les protocoles complets (contact optique, doublet du sodium, mesure d'angle) avec les schémas et les critiques d'incertitude attendus — l'écart décisif aux oraux expérimentaux.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le Michelson concentre géométrie, cohérence et facteurs 2 — le trio des erreurs de copie. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le facteur 2 de l'aller-retour. La lumière traverse la lame d'air DEUX fois :

δ = 2 e cos i

, un déplacement

d

du miroir décale

δ

2 d

, une lame d'indice

n

introduite sur un bras ajoute

2 (n - 1) t

. Le facteur 2 perdu (ou compté deux fois) est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

⚠ Erreur 2 — Intervertir les figures des deux configurations. Lame d'air (miroirs parallèles) → ANNEAUX à l'infini ; coin d'air (petit angle) → FRANGES RECTILIGNES sur les miroirs. L'association croisée est éliminatoire sur un schéma — et fréquente sous stress. Mnémotechnique : « ce qui est d'égale INCLINAISON se voit à l'infini ; ce qui est d'égale ÉPAISSEUR se voit sur place ».

⚠ Erreur 3 — Ignorer la localisation avec une source étendue. Young acceptait un écran n'importe où (source ponctuelle) ; le Michelson à source étendue impose SON plan d'observation (infini ou miroirs). Toute réponse de montage doit préciser la lentille utilisée et la conjugaison réalisée.

⚠ Erreur 4 — Se tromper de sens de défilement des anneaux.

e

augmente ⟹ l'ordre au centre

2 e / λ

augmente ⟹ les anneaux SORTENT (naissent au centre) ;

e \to 0

⟹ ils rentrent et la figure s'élargit vers la teinte plate. Le raisonnement par l'ordre au centre est infaillible — le « par cœur » ne l'est pas.

⚠ Erreur 5 — Négliger la cohérence dans les mesures. Le chariotage n'a de franges que tant que

2 e ≲ ℓ_{c}

: quelques dizaines de cm au laser, moins d'un mm en lampe spectrale, un micron en lumière blanche. Un énoncé qui donne la source impose donc la plage de

e

explorable — et attend cette remarque.

6. Pour aller plus loin

Le Michelson clôt les interférences à deux ondes et ouvre sur leurs sommets :

Interférences à N ondes et réseaux — pour séparer un doublet plus finement encore, on multiplie les ondes : le pouvoir de résolution des réseaux prolonge directement la mesure de $Δ λ$ .
Ondes électromagnétiques — la nature vectorielle de la lumière (polarisation) complète le modèle scalaire utilisé ici.
TP et oraux expérimentaux — réglage du Michelson (du chaos au contact optique), doublet du sodium, mesure d'une épaisseur de lame : trois protocoles à savoir raconter pas à pas.
Culture — Michelson-Morley (1887) réfute l'éther avec cet interféromètre ; LIGO (2015) détecte les ondes gravitationnelles avec le même principe porté à 4 km de bras et 10⁻¹⁹ m de sensibilité.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu décrire le Michelson (séparatrice, compensatrice, miroirs) et le rôle de la compensatrice ?
Sais-tu expliquer la division d'amplitude et pourquoi elle autorise une source étendue ?
Sais-tu construire le schéma équivalent avec M₂′, image de M₂ par la séparatrice ?
Sais-tu démontrer δ = 2e·cos i par les deux sources images distantes de 2e ?
Sais-tu pourquoi les anneaux sont localisés à l'infini, et l'ordre maximal AU CENTRE ?
Sais-tu prévoir le sens de défilement des anneaux au chariotage (par l'ordre au centre) ?
Sais-tu démontrer δ ≈ 2αx au coin d'air et l'interfrange λ/2α ?
Sais-tu où observer chaque configuration avec une source étendue (et avec quelle lentille) ?
Sais-tu définir le contact optique et le repérer en lumière blanche (teintes de Newton) ?
Sais-tu démontrer la période de brouillage Δe = λ₀²/2Δλ et l'appliquer au doublet du sodium (≈ 0,29 mm) ?
Sais-tu relier comptage de franges et déplacement (2d = Nλ), en traquant le facteur 2 ?
Sais-tu borner la plage de chariotage par la longueur de cohérence de la source ?

Démonstrations à savoir refaire

Lame d'air : δ = 2e·cos i — sources images distantes de 2e, projection sur la direction d'observation
Coin d'air : δ ≈ 2αx — lame d'épaisseur locale αx sous incidence quasi normale
Brouillages d'un doublet — anticoïncidence des ordres, Δe = λ₀²/2Δλ, doublet du sodium

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Le dispositif et la division d'amplitude

2. Lame d'air : anneaux d'égale inclinaison

3. Coin d'air : franges d'égale épaisseur

4. Le Michelson instrument de mesure

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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