Équation de d'Alembert et corde vibrante

Vue d'ensemble

Une corde de guitare pincée, une onde qui court le long d'un câble : derrière ces images se cache UNE équation, l'équation de d'Alembert $\partial_{xx} y = \frac{1}{c ^{2}} \partial_{tt} y$ , matrice de toute la physique ondulatoire de MP. Ce chapitre l'établit à partir de la mécanique de la corde, décrit ses solutions (ondes progressives, ondes stationnaires), et traite le cas fermé de la corde fixée à ses deux bouts — d'où émergent les modes propres et l'harmonique, le fondement physique de la musique. La méthode de séparation des variables qu'on y rencontre resservira en diffusion thermique et en quantique. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Ondes dans un milieu unidimensionnel : établissement de l'équation de d'Alembert pour la corde vibrante (approximation des petits mouvements), célérité, structure des solutions (ondes progressives de d'Alembert, ondes stationnaires), séparation des variables ; corde fixée à ses deux extrémités : modes propres, fréquences propres, décomposition d'un mouvement sur les modes ; aspects énergétiques (densités linéiques d'énergie cinétique et potentielle, flux d'énergie).

Prérequis

Propagation d'un signal (sup) : onde progressive, célérité, retard
Oscillateur harmonique et mécanique du point : PFD, projection
Dérivées partielles et développements limités à l'ordre 1

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L'équation de d'Alembert va te suivre toute l'année. La maîtriser ici — établissement, solutions, modes — c'est capitaliser pour les ondes sonores, électromagnétiques et quantiques. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines t'installent les réflexes une fois pour toutes.

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1. Établir l'équation de d'Alembert de la corde

Définition 1.1 — Le modèle de la corde vibrante

Une corde inextensible, sans raideur, de masse linéique $μ$ (kg/m), tendue horizontalement avec une tension $T_{0}$ , vibre transversalement : chaque point d'abscisse $x$ se déplace verticalement de $y (x, t)$ . On travaille dans l'approximation des petits mouvements : l'angle $α$ que fait la corde avec l'horizontale reste petit ( $α \approx tan α = \partial_{x} y ≪ 1$ ).

Théorème 1.2 — Équation de d'Alembert de la corde ★ À savoir démontrer

Dans l'approximation des petits mouvements, le déplacement transversal vérifie l'équation de d'Alembert :

\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}}, c = \frac{T _{0}}{μ} (c \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} rit \overset{e}{ˊ}, en m/s) .

Démonstration (PFD sur un élément de corde)

Isolons l'élément de corde entre $x$ et $x + d x$ , de masse $μ d x$ . Il est soumis à la tension de part et d'autre : $T (x + d x)$ (tangente, vers la droite) et $- T (x)$ (vers la gauche). La tension a pour norme $T_{0}$ (constante dans l'approximation) et pour direction la tangente, d'angle $α (x)$ avec $tan α = \partial_{x} y$ .

Projection horizontale : $T_{0} cos α (x + d x) - T_{0} cos α (x)$ . Aux petits angles $cos α \approx 1$ : la résultante horizontale est nulle à l'ordre 1, cohérent avec l'absence de mouvement horizontal.

Projection verticale : avec $sin α \approx tan α = \partial_{x} y$ , la résultante verticale vaut :

T_{0} [\partial_{x} y (x + d x) - \partial_{x} y (x)] = T_{0} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} d x .

Le PFD vertical pour l'élément ( $μ d x$ fois l'accélération $\partial_{tt} y$ ) donne :

μ d x \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T_{0} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} d x ⟹ \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} = \frac{μ}{T _{0}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}},

d'où $c = T_{0} / μ$ . AN corde de guitare : $T_{0} \sim 80 N$ , $μ \sim 5 g/m$ : $c \sim 80/0, 005 \approx 126 m/s$ — bien plus lent que le son dans l'air, cohérent.

⚠ Piège — La tension est supposée uniforme, ce n'est pas gratuit.

T_{0}

constante le long de la corde résulte de l'approximation des petits mouvements (projection horizontale à l'ordre 1). Sans elle,

T

dépendrait de

x

et l'équation ne serait plus linéaire. Toujours ÉNONCER l'approximation avant d'écrire d'Alembert — les rapports sanctionnent l'établissement « magique » sans hypothèses.

2. Structure des solutions : progressives et stationnaires

Théorème 2.1 — Solution générale de d'Alembert ★ À savoir démontrer

La solution générale de $\partial_{xx} y = \frac{1}{c ^{2}} \partial_{tt} y$ est la superposition de deux ondes progressives, l'une vers les $x$ croissants, l'autre vers les décroissants :

y (x, t) = f (t - \frac{x}{c}) + g (t + \frac{x}{c}),

où $f$ et $g$ sont deux fonctions arbitraires (de classe $C^{2}$ ), déterminées par les conditions initiales.

Démonstration (changement de variables caractéristiques)

Posons $u = t - x / c$ et $v = t + x / c$ . Par la règle de dérivation composée :

\partial_{t} = \partial_{u} + \partial_{v}, \partial_{x} = - \frac{1}{c} \partial_{u} + \frac{1}{c} \partial_{v} .

En reportant dans $\partial_{xx} y - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{tt} y = 0$ , les termes en $\partial_{uu}$ et $\partial_{v v}$ se compensent et il reste :

\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = - \frac{4}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial u \partial v} = 0 ⟹ \frac{\partial ^{2} y}{\partial u \partial v} = 0.

Cette équation s'intègre directement : $\partial_{v} y$ ne dépend pas de $u$ , donc $y = f (u) + g (v)$ , soit $y = f (t - x / c) + g (t + x / c)$ . L'onde $f (t - x / c)$ se propage sans déformation vers les $x$ croissants à la vitesse $c$ (elle prend en $x$ la même valeur qu'en $0$ avec le retard $x / c$ ).

Définition 2.2 — Onde progressive

Une onde progressive vers les $x$ croissants est une solution de la forme $y (x, t) = f (t - \frac{x}{c})$ : le profil $f$ se propage sans déformation à la vitesse $c$ , la valeur en $x$ reproduisant celle en $0$ avec le retard $x / c$ . De même $g (t + \frac{x}{c})$ se propage vers les $x$ décroissants. La célérité $c = T_{0} / μ$ est la vitesse de propagation de l'information le long de la corde.

Définition 2.3 — Onde stationnaire

Une onde stationnaire est une solution à variables séparées $y (x, t) = φ (x) ψ (t)$ : la dépendance spatiale et temporelle se factorisent. Contrairement à une onde progressive, elle ne « se déplace » pas : elle oscille sur place, avec des nœuds (points immobiles, $φ = 0$ ) et des ventres (amplitude maximale) FIXES.

Proposition 2.4 — Séparation des variables

En cherchant $y = φ (x) ψ (t)$ dans d'Alembert, on obtient $\frac{φ ^{''} ( x )}{φ ( x )} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{ψ ^{''} ( t )}{ψ ( t )}$ . Le membre de gauche ne dépend que de $x$ , celui de droite que de $t$ : ils sont donc égaux à une même constante $- k^{2}$ . D'où deux oscillateurs harmoniques :

φ^{''} + k^{2} φ = 0, ψ^{''} + ω^{2} ψ = 0, ω = k c .

Une onde stationnaire s'écrit donc $y = A cos (k x + ϕ_{1}) cos (ω t + ϕ_{2})$ , avec la relation de dispersion $ω = k c$ .

⚠ Piège — Progressive et stationnaire sont deux DESCRIPTIONS, pas deux physiques. Une onde stationnaire est la superposition de deux ondes progressives de sens opposés et même amplitude (formule

2 cos (k x) cos (ω t) = cos (k x - ω t) + cos (k x + ω t)

). Le choix « progressive » ou « stationnaire » dépend du problème : stationnaire pour une corde bornée (réflexions aux bords), progressive pour un milieu ouvert. Opposer les deux comme incompatibles est une erreur conceptuelle.

3. Corde fixée aux deux bouts : les modes propres

Définition 3.1 — Mode propre, nœud, ventre

Un mode propre est une onde stationnaire compatible avec les conditions aux limites du système : la corde y vibre à une fréquence propre unique, tous ses points en phase. Les nœuds sont les points d'amplitude nulle ( $φ = 0$ ), les ventres les points d'amplitude maximale ; ils sont FIXES et régulièrement espacés d'une demi-longueur d'onde. Le mouvement le plus général est une superposition de modes propres.

Théorème 3.2 — Modes propres d'une corde de longueur L ★ À savoir démontrer

Une corde fixée en $x = 0$ et $x = L$ ( $y (0, t) = y (L, t) = 0$ ) ne peut vibrer que sur un ensemble discret de modes stationnaires, indexés par $n \in N^{*}$ :

k_{n} = \frac{nπ}{L}, f_{n} = \frac{n c}{2 L} = n f_{1}, λ_{n} = \frac{2 L}{n} .

Démonstration (conditions aux limites sur φ(x))

Cherchons les modes stationnaires $y = φ (x) cos (ω t + ϕ)$ avec $φ^{''} + k^{2} φ = 0$ , soit $φ (x) = A cos (k x) + B sin (k x)$ .

Condition en $x = 0$ : $y (0, t) = 0$ pour tout $t$ impose $φ (0) = 0$ , donc $A = 0$ : $φ (x) = B sin (k x)$ .

Condition en $x = L$ : $φ (L) = B sin (k L) = 0$ . Pour une solution non triviale ( $B \neq = 0$ ), il faut $sin (k L) = 0$ , c'est-à-dire $k L = nπ$ avec $n \in N^{*}$ . D'où la quantification :

k_{n} = \frac{nπ}{L}, ω_{n} = k_{n} c = \frac{nπ c}{L}, f_{n} = \frac{ω _{n}}{2 π} = \frac{n c}{2 L} .

Le mode $n$ présente $n$ ventres et $n + 1$ nœuds (bords inclus). Les fréquences propres sont des multiples entiers du fondamental $f_{1} = c /2 L$ : ce sont les harmoniques, et c'est cette relation qui rend les instruments à cordes « musicaux ». La longueur d'onde du fondamental vaut $λ_{1} = 2 L$ : le mode fondamental « tient » une demi-longueur d'onde sur la corde.

Proposition 3.3 — Décomposition d'un mouvement quelconque

Tout mouvement de la corde fixée se décompose comme superposition de ses modes propres :

y (x, t) = n = 1 \sum \infty sin (\frac{nπ x}{L}) [a_{n} cos (ω_{n} t) + b_{n} sin (ω_{n} t)],

les coefficients $a_{n}, b_{n}$ étant fixés par la forme initiale $y (x, 0)$ et la vitesse initiale $\partial_{t} y (x, 0)$ (coefficients de la série de Fourier en sinus — approche culturelle en MP). Le timbre d'un instrument tient au poids relatif des harmoniques dans cette somme.

📐 Méthode-type — Trouver les modes propres d'un milieu borné.

Écrire d'Alembert et chercher les solutions stationnaires $y = φ (x) ψ (t)$ (séparation des variables → $φ^{''} + k^{2} φ = 0$ , $ω = k c$ ).
Appliquer les conditions aux limites aux DEUX bords : fixe ( $φ = 0$ , nœud) ou libre ( $φ^{'} = 0$ , ventre). Elles quantifient $k$ .
En déduire les $k_{n}$ , les fréquences $f_{n}$ , les longueurs d'onde, et le nombre de nœuds/ventres du mode $n$ .
Discuter : harmonicité ( $f_{n} = n f_{1}$ si les deux bords sont de même nature), superposition, effet d'un changement de tension ou de longueur (accord d'un instrument).

💡 Exemple — Accorder une guitare.

f_{1} = \frac{c}{2 L} = \frac{1}{2 L} \frac{T _{0}}{μ}

. Pour monter la note (augmenter

f_{1}

) : tendre la corde (

T_{0} ↑

), la raccourcir (frette,

L ↓

), ou l'alléger (

μ ↓

, cordes aiguës plus fines). La dépendance en

T_{0}

explique pourquoi accorder demande de gros tours de mécanique pour de petits écarts de fréquence. Corde de La (110 Hz),

L = 0, 65 m

c = 2 L f_{1} = 143 m/s

, donc

T_{0} = μ c^{2}

— le calcul complet des sujets de TP.

🧑‍🏫 Les ondes stationnaires au clair

Nœuds, ventres, conditions aux limites, harmoniques : un même schéma pour cordes, tuyaux et cavités. Un mentor Majorant te fait dérouler la méthode des modes propres sur tous les cas (fixe-fixe, fixe-libre, libre-libre) jusqu'à ce qu'elle soit automatique — et directement réutilisable en acoustique.

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4. Aspects énergétiques

Définition 4.1 — Densités linéiques d'énergie

Le long de la corde, on définit les densités linéiques (par unité de longueur) :

e_{c} = \frac{1}{2} μ (\frac{\partial y}{\partial t})^{2} (cin \overset{e}{ˊ} tique), e_{p} = \frac{1}{2} T_{0} (\frac{\partial y}{\partial x})^{2} (potentielle \overset{e}{ˊ} lastique) .

L'énergie totale d'un tronçon $[x_{1}, x_{2}]$ est $E = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (e_{c} + e_{p}) d x$ .

Proposition 4.2 — Bilan et flux d'énergie

L'énergie se conserve et se propage : en définissant le flux (puissance transportée à travers l'abscisse $x$ ) $P (x, t) = - T_{0} \frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial t}$ , on a l'équation de conservation locale :

\frac{\partial ( e _{c} + e _{p} )}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0.

Pour une onde progressive pure $y = f (t - x / c)$ , on montre $e_{c} = e_{p}$ (équipartition) et $P = c (e_{c} + e_{p})$ : l'énergie voyage à la célérité $c$ , comme l'onde. Pour une onde stationnaire, le flux moyen est nul : l'énergie oscille sur place entre cinétique et potentielle.

⚠ Piège — L'énergie potentielle est ÉLASTIQUE, pas de pesanteur.

e_{p} = \frac{1}{2} T_{0} (\partial_{x} y)^{2}

vient de l'allongement de la corde sous tension (travail de

T_{0}

), pas de la gravité (négligée dans le modèle). L'associer à

m g h

est un contresens ; l'oublier fausse tout bilan énergétique. Question de compréhension classique aux oraux.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Chapitre fondateur, erreurs fondatrices : elles se propagent (c'est le cas de le dire) dans tout le reste de la physique des ondes. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Établir d'Alembert sans énoncer l'approximation des petits mouvements. Tension uniforme,

sin α \approx tan α = \partial_{x} y

, pas de mouvement horizontal : ces hypothèses sont le cœur de la démonstration. Les écrire AVANT le PFD est la moitié des points de la question d'établissement.

⚠ Erreur 2 — Se tromper de signe dans le retard t ± x/c.

f (t - x / c)

se propage vers les

x

CROISSANTS (retard croissant avec

x

g (t + x / c)

vers les décroissants. Une erreur de signe inverse le sens de propagation et fausse toute lecture physique. Vérifier : « à

x

plus grand, l'onde arrive plus tard » ⟹

t - x / c

⚠ Erreur 3 — Confondre condition « bord fixe » et « bord libre ». Bord fixe :

y = 0

(nœud de déplacement) ⟹

φ = 0

. Bord libre : la tension transverse s'annule,

\partial_{x} y = 0

(ventre de déplacement) ⟹

φ^{'} = 0

. La quantification et l'harmonicité en dépendent (un tuyau fermé-ouvert n'a que les harmoniques impairs !). Vérifier la nature de CHAQUE bord.

⚠ Erreur 4 — Oublier que ω = kc lie les deux quantifications. Les conditions aux limites quantifient

k

(géométrie) ; la relation de dispersion

ω = k c

en déduit les fréquences. Sauter cette relation, ou quantifier

ω

directement, court-circuite la physique.

f_{n} = k_{n} c /2 π = n c /2 L

⚠ Erreur 5 — Écrire e_p avec le mauvais coefficient.

e_{c} = \frac{1}{2} μ (\partial_{t} y)^{2}

e_{p} = \frac{1}{2} T_{0} (\partial_{x} y)^{2}

μ

va avec le temps (inertie),

T_{0}

avec l'espace (élasticité). Les intervertir, ou mettre

μ

dans

e_{p}

, rend le bilan et l'équipartition faux. Contrôle homogénéité systématique.

6. Pour aller plus loin

L'équation de d'Alembert est la matrice de tout le programme d'ondes :

Ondes sonores dans les fluides — même équation, autre variable (surpression, vitesse) ; la célérité devient $c = \frac{1}{χ _{S} ρ}$ , modes propres des tuyaux sonores.
Réflexion, transmission, dispersion — ce qui se passe aux interfaces et quand $ω$ et $k$ ne sont plus proportionnels (milieux dispersifs, vitesse de groupe).
Ondes électromagnétiques — les équations de Maxwell redonnent une équation de d'Alembert vectorielle ; les cavités et guides d'ondes sont des « cordes » en dimension supérieure.
Quantique — l'équation de Schrödinger stationnaire dans un puits infini est formellement le problème des modes de la corde fixée : mêmes $k_{n} = nπ / L$ , même quantification.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu poser le modèle de la corde (μ, T₀, petits mouvements, tan α = ∂ₓy) ?
Sais-tu établir d'Alembert par le PFD sur un élément et trouver c = √(T₀/μ) ?
Sais-tu pourquoi la tension est uniforme (approximation des petits mouvements) ?
Sais-tu démontrer que la solution générale est f(t − x/c) + g(t + x/c) ?
Sais-tu retrouver le sens de propagation à partir du signe du retard ?
Sais-tu définir une onde stationnaire et faire la séparation des variables (ω = kc) ?
Sais-tu qu'une stationnaire = somme de deux progressives opposées ?
Sais-tu démontrer les modes propres kₙ = nπ/L, fₙ = nc/2L par les conditions aux limites ?
Sais-tu compter nœuds et ventres du mode n, et expliquer l'harmonicité ?
Sais-tu décomposer un mouvement sur les modes et relier timbre et poids des harmoniques ?
Sais-tu écrire les densités e_c = ½μ(∂ₜy)² et e_p = ½T₀(∂ₓy)² sans les intervertir ?
Sais-tu qu'une onde progressive vérifie l'équipartition e_c = e_p et transporte l'énergie à c ?

Démonstrations à savoir refaire

Établissement de d'Alembert — PFD sur un élément, projection verticale, c = √(T₀/μ)
Solution générale — variables caractéristiques u = t − x/c, v = t + x/c, ∂²y/∂u∂v = 0
Modes propres de la corde fixée — conditions aux limites φ(0) = φ(L) = 0, quantification kₙ = nπ/L

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Établir l'équation de d'Alembert de la corde

2. Structure des solutions : progressives et stationnaires

3. Corde fixée aux deux bouts : les modes propres

4. Aspects énergétiques

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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