Statique et cinématique des fluides

Isolons un petit parallélépipède de fluide de volume $\mathrm{d}\tau =\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$. À l'équilibre, la somme des forces est nulle : forces de pression sur les faces + poids.

Selon $z$. Les faces horizontales, d'aire $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, subissent $p(z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ (face du bas, vers le haut) et $-p(z+\mathrm{d}z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ (face du haut, vers le bas). La résultante de pression selon $z$ est

Le poids selon $z$ vaut $-\rho g\mathrm{d}\tau$. L'équilibre selon $z$ impose $-\frac{\partial p}{\partial z}-\rho g=0$, soit $\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g$. Selon $x$ et $y$ (pas de gravité), les forces de pression se compensent : $\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}=0$. En regroupant les trois composantes : $\overrightarrow{\mathrm{grad}}p=\rho \vec{g}$.

Cas incompressible ($\rho$ constant) : $p(z)=p_0-\rho gz$, soit $p=p_{\text{surface}}+\rho gh$ à la profondeur $h$. Atmosphère isotherme (gaz parfait, $\rho =pM/RT$) : $\frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{Mg}{RT}\mathrm{d}z$ donne $p(z)=p_0{e}^{-z/H}$ avec $H=RT/Mg$ (hauteur d'échelle, $\approx 8\mathrm{km}$ pour l'air).

La résultante des forces de pression sur le corps ne dépend que de sa surface extérieure et du champ de pression, pas de ce qu'il y a à l'intérieur. Imaginons donc que le volume $V$ occupé par le corps soit rempli du même fluide, au repos.

Ce fluide fictif est en équilibre : les forces de pression qu'il subit (identiques à celles subies par le corps réel, même frontière) équilibrent exactement son poids ${\rho }_{\text{fluide}}V\vec{g}$. La résultante des forces de pression vaut donc

opposée au poids du fluide déplacé, dirigée vers le haut. Comme cette résultante ne dépend que de la frontière, elle est la même pour le corps réel : c'est la poussée d'Archimède. Elle s'applique au centre de masse du fluide déplacé (centre de poussée), qui diffère en général du centre de gravité du corps — d'où les questions de stabilité (flottaison).

Considérons un volume $\mathcal{V}$ fixe, de frontière $\Sigma$. La masse qu'il contient est $m={\iiint }_{\mathcal{V}}\rho \mathrm{d}\tau$. Elle varie car du fluide traverse $\Sigma$ : le débit massique sortant est $\iint \rho \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$. La conservation de la masse impose

Le théorème de la divergence transforme le flux sortant en intégrale de volume : $\iint \rho \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{S}={\iiint }_{\mathcal{V}}\mathrm{div}(\rho \vec{v})\mathrm{d}\tau$. Donc

Ceci est vrai pour tout volume $\mathcal{V}$ : l'intégrande est donc nul en tout point, d'où l'équation locale $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}(\rho \vec{v})=0$. Si $\rho$ est constant, il sort des dérivées : $\mathrm{div}\vec{v}=0$. Appliqué à un tube de courant entre deux sections $S_1$ et $S_2$ (parois latérales sans flux), le débit volumique entrant égale le sortant : $S_1{v}_1=S_2{v}_2$ — le fluide accélère là où la section se resserre.