📘 Fiche de cours · 2e année⚗️ PC⚡ Physique

Diffraction et réseaux

L'optique au-delà des rayons : principe de Huygens-Fresnel et conditions de Fraunhofer, diffraction par une fente (intensité en sinc²(πa·sinθ/λ), largeur angulaire 2λ/a), limitation de la résolution des instruments (critère de Rayleigh θ_min = 1,22 λ/D), et le réseau plan (formule a(sinθ_p − sinθ₀) = pλ, dispersion, pouvoir de résolution R = pN). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-07-12

Vue d'ensemble

Pourquoi une étoile ponctuelle apparaît-elle comme une tache dans le meilleur télescope ? Pourquoi ne peut-on pas focaliser un laser sur un point infiniment petit ? Réponse : la diffraction, cette tendance qu'a la lumière à s'étaler dès qu'elle rencontre une ouverture de taille comparable à sa longueur d'onde. L'optique géométrique l'ignore ; l'optique ondulatoire l'explique via le principe de Huygens-Fresnel. Ce chapitre établit la figure de diffraction d'une fente (le fameux $sinc^{2}$ ), la limite de résolution des instruments, et la formule des réseaux qui fait du réseau le spectroscope le plus répandu. Cette fiche donne les 3 démonstrations à savoir refaire (fente, formule des réseaux, pouvoir de résolution) et les pièges des rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Diffraction à l'infini (conditions de Fraunhofer) : principe de Huygens-Fresnel, diffraction par une fente et une pupille, largeur angulaire

λ / a

, limitation de la résolution des instruments (critère de Rayleigh). Réseaux plans en transmission : formule des réseaux, maxima principaux, dispersion angulaire, application à la spectroscopie et pouvoir de résolution.

Prérequis

Modèle scalaire des ondes lumineuses : amplitude, phase, chemin optique
Interférences à deux ondes : différence de marche, ordre d'interférence
Interférences à N ondes : affinement des pics (si déjà vu)

🎯 Accompagnement Majorant

Le $sinc^{2}$ et la formule des réseaux te semblent tomber du ciel ? Ils se démontrent en quelques lignes à partir d'une seule idée : sommer les ondelettes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font établir et exploiter ces résultats sur les sujets CCINP et Mines jusqu'à l'automatisme.

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1. Diffraction à l'infini : le cadre de Fraunhofer

Définition 1.1 — Diffraction

La diffraction est l'étalement d'une onde au-delà des prévisions de l'optique géométrique lorsqu'elle rencontre une ouverture (ou un obstacle) de dimension comparable à la longueur d'onde. Elle devient sensible dès que la largeur $a$ de l'ouverture n'est plus très grande devant $λ$ .

Définition 1.2 — Principe de Huygens-Fresnel

Chaque point d'une surface d'onde atteinte par la lumière se comporte comme une source secondaire émettant une ondelette sphérique, de même fréquence, d'amplitude proportionnelle à l'élément de surface $d S$ et cohérente avec l'onde incidente. L'amplitude en un point d'observation $M$ est la somme (avec phases) de toutes ces ondelettes : $\underline{A} (M) = K \iint_{Σ} \underline{A} (P) \frac{e ^{i k P M}}{P M} d S .$

Définition 1.3 — Conditions de Fraunhofer (diffraction à l'infini)

On se place en diffraction à l'infini : source ponctuelle à l'infini (onde plane incidente) et observation à l'infini (dans le plan focal image d'une lentille convergente). Les rayons issus de la pupille et arrivant en un point sont alors parallèles, de direction $u$ : la différence de marche entre deux points $P$ et $O$ de la pupille se réduit à $δ = (u - u_{0}) \cdot O P,$ où $u_{0}$ est la direction incidente. C'est ce régime, linéaire en position, qui donne des calculs simples et les figures du programme.

📝 Un critère d'ordre de grandeur. La diffraction élargit un faisceau de largeur

a

d'un angle

θ \sim λ / a

. Pour

a = 1 mm

λ = 0, 5 μ m

θ \sim 5 \cdot 1 0^{- 4} rad

: faible mais non nul. Plus l'ouverture est petite, plus la lumière s'étale — d'où l'impossibilité de concentrer un faisceau sur une tache plus petite que

\sim λ

2. Diffraction par une fente : la figure en sinus cardinal

Théorème 2.1 — Figure de diffraction d'une fente ★ À savoir démontrer

Une fente de largeur $a$ (grande devant $λ$ selon l'autre dimension), éclairée sous incidence normale, donne dans la direction $θ$ une intensité $I (θ) = I_{0} sinc^{2} (\frac{π a sin θ}{λ}), sinc (u) = \frac{sin u}{u} .$ La tache centrale s'annule pour $sin θ = \pm λ / a$ : sa largeur angulaire (entre les deux premiers zéros) vaut $2 λ / a$ .

Démonstration (sommation des ondelettes de Huygens-Fresnel)

Découpons la fente (le long de $O x$ , $x \in [- a /2, a /2]$ ) en tranches $d x$ . Chaque tranche émet une ondelette ; dans la direction $θ$ , la différence de marche entre la tranche en $x$ et celle en $0$ est $δ (x) = x sin θ$ , soit un déphasage $φ (x) = \frac{2 π}{λ} x sin θ$ . L'amplitude résultante est

\underline{A} (θ) = A_{0} \int_{- a /2}^{a /2} e^{i \frac{2 π}{λ} x s i n θ} d x .

Posons $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ . L'intégrale d'une exponentielle donne

\underline{A} (θ) = A_{0} \frac{e ^{i β} - e ^{- i β}}{i \frac{2 π}{λ} sin θ} = A_{0} a \frac{sin β}{β} = A_{0} a sinc β .

L'intensité est le module au carré : $I (θ) = I_{0} sinc^{2} β$ avec $I_{0} = (A_{0} a)^{2}$ l'intensité au centre ( $θ = 0$ , où $sinc 0 = 1$ ). Les zéros vérifient $sin β = 0$ avec $β \neq = 0$ , soit $β = mπ$ ( $m \in Z^{*}$ ) : $sin θ = mλ / a$ . Le premier zéro est en $sin θ = λ / a$ , d'où une tache centrale de largeur angulaire totale $2 λ / a$ — deux fois plus large que les taches secondaires.

💡 Exemple — Fente d'autant plus fine que la tache est large. La largeur angulaire

2 λ / a

varie en

1/ a

: rétrécir la fente élargit la figure. À la limite

a \to λ

, la tache occupe presque tout le demi-espace : la fente se comporte comme une source quasi ponctuelle rayonnant dans toutes les directions. C'est l'antithèse de l'optique géométrique.

⚠ Piège — Ne pas confondre $λ / a$ (diffraction) et $λ / b$ (interférences). Dans une expérience type fentes d'Young de largeur

a

espacées de

b

, on superpose la figure d'interférences (interfrange

\propto λ / b

, fin) et l'enveloppe de diffraction (

sinc^{2}

, largeur

\propto λ / a

, lente). Le nombre de franges sous la tache centrale vaut

2 b / a

. Bien distinguer les deux échelles.

3. La diffraction limite la résolution

Définition 3.1 — Critère de Rayleigh

Deux images ponctuelles (deux étoiles, deux raies) sont dites tout juste résolues quand le maximum de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de l'autre. Pour une pupille circulaire de diamètre $D$ , la tache d'Airy impose une séparation angulaire minimale $θ_{min} = 1, 22 \frac{λ}{D} .$

📝 Pourquoi les grands instruments sont grands.

θ_{min} \propto 1/ D

: doubler le diamètre du miroir d'un télescope divise par deux la limite de résolution. C'est la diffraction — non la qualité du verre — qui fixe la performance ultime d'un instrument (avant turbulence atmosphérique). Le facteur

1, 22

vient de la géométrie circulaire (premier zéro de la fonction d'Airy) ; pour une fente, on retrouve simplement

θ_{min} = λ / a

🧑‍🏫 De la théorie aux ordres de grandeur

Sais-tu estimer en 30 secondes la résolution d'un télescope ou d'un microscope ? Un mentor Majorant te fait manipuler $λ / D$ , le critère de Rayleigh et les applications numériques des sujets Centrale et Mines, là où beaucoup de candidats perdent des points faciles.

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4. Le réseau : le spectroscope de référence

Définition 4.1 — Réseau plan

Un réseau plan est une succession périodique de $N$ motifs diffractants identiques (fentes, traits gravés), de période spatiale $a$ appelée pas du réseau. On le caractérise par sa densité de traits $n = 1/ a$ (en traits par mm). Il combine diffraction (chaque motif étale la lumière) et interférences à N ondes (les motifs interfèrent).

Théorème 4.2 — Formule des réseaux ★ À savoir démontrer

Les directions $θ_{p}$ des maxima principaux (raies brillantes) d'un réseau éclairé sous l'incidence $θ_{0}$ vérifient $a (sin θ_{p} - sin θ_{0}) = p λ, p \in Z,$ où $p$ est l'ordre. Chaque longueur d'onde est envoyée dans une direction propre (sauf $p = 0$ ) : le réseau disperse la lumière.

Démonstration (déphasage entre deux motifs consécutifs)

Deux motifs consécutifs sont distants de $a$ . Sous l'incidence $θ_{0}$ et pour une observation dans la direction $θ$ , la différence de marche entre deux motifs voisins comporte deux termes (à l'entrée et à la sortie) :

δ = \overset{a}{ˋ} la sortie a sin θ - \overset{a}{ˋ} l’entr \overset{e}{ˊ} e a sin θ_{0} = a (sin θ - sin θ_{0}) .

Les $N$ ondelettes issues des $N$ motifs interfèrent constructivement (maximum principal, où toutes sont en phase) si et seulement si ce déphasage vaut un multiple entier de $2 π$ , c'est-à-dire $δ = p λ$ :

a (sin θ_{p} - sin θ_{0}) = p λ .

Comme $θ_{p}$ dépend de $λ$ (à $p$ fixé), les différentes longueurs d'onde d'une source polychromatique ressortent séparées : chaque ordre $p \neq = 0$ forme un spectre. À l'ordre $0$ ( $θ_{p} = θ_{0}$ , sans dispersion), toutes les couleurs se superposent : la lumière blanche y reste blanche.

Théorème 4.3 — Pouvoir de résolution d'un réseau ★ À savoir démontrer

Le pouvoir de résolution d'un réseau de $N$ traits éclairés, à l'ordre $p$ , vaut $R = \frac{λ}{Δ λ} = p N .$ Deux raies séparées de $Δ λ$ sont résolues si $λ /Δ λ \leq pN$ .

Démonstration (largeur d'un maximum principal + critère de Rayleigh)

Pour $N$ motifs, un maximum principal d'ordre $p$ (pris à $θ_{0} = 0$ ) est en $a sin θ_{p} = p λ$ . Sa largeur est fixée par le premier zéro adjacent : les $N$ ondelettes se compensent quand la différence de marche entre le premier et le dernier motif change de $λ$ , soit $N a d (sin θ) = λ$ , d'où la demi-largeur angulaire

d (sin θ)_{z \overset{e}{ˊ} ro} = \frac{λ}{N a} .

Par ailleurs, à ordre $p$ fixé, la position d'un maximum se décale avec la longueur d'onde : en différentiant $a sin θ_{p} = p λ$ , on obtient $a d (sin θ) = p d λ$ , soit un décalage $d (sin θ) = \frac{p Δ λ}{a}$ pour deux raies distantes de $Δ λ$ .

Critère de Rayleigh : les raies sont tout juste résolues quand ce décalage égale la demi-largeur d'un pic :

\frac{p Δ λ}{a} = \frac{λ}{N a} ⟹ \frac{λ}{Δ λ} = pN .

Le pouvoir de résolution croît avec l'ordre $p$ et avec le nombre de traits éclairés $N$ : un bon réseau spectroscopique en compte des dizaines de milliers.

📐 Méthode-type — Exploiter un réseau en spectroscopie.

Écrire la formule des réseaux $a (sin θ_{p} - sin θ_{0}) = p λ$ ; attention au signe de $θ_{0}$ (incidence) et à la définition du pas $a = 1/ n$ .
Repérer l'ordre utile : $p = 0$ ne disperse pas ; les ordres élevés dispersent plus mais se recouvrent (recouvrement des spectres).
Dispersion angulaire : dériver la formule, $\frac{d θ _{p}}{d λ} = \frac{p}{a cos θ _{p}}$ — d'autant plus grande que $p$ est grand et $a$ petit.
Résolution : $R = pN$ ; vérifier que $λ /Δ λ \leq pN$ pour séparer deux raies (ex. doublet du sodium).

💡 Exemple — Séparer le doublet du sodium. Le doublet jaune du sodium (

λ = 589, 0

589, 6 nm

Δ λ = 0, 6 nm

) exige

R = λ /Δ λ \approx 982

. À l'ordre

p = 1

, il faut donc au moins

N \approx 1 0^{3}

traits éclairés : un réseau de

500 traits/mm

sur

2 mm

suffit. À l'ordre

2

, la moitié suffit.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les rapports CCINP et Mines-Ponts relèvent toujours les mêmes fautes sur diffraction et réseaux.

⚠ Erreur 1 — Confondre largeur de la tache et interfrange. La diffraction par une fente donne une tache centrale de largeur angulaire

2 λ / a

(l'unique « frange » brillante centrale) ; ce n'est pas un interfrange. Réserver le mot interfrange aux figures d'interférences périodiques.

⚠ Erreur 2 — Oublier le terme d'incidence dans la formule des réseaux. Sous incidence oblique, c'est

a (sin θ_{p} - sin θ_{0}) = p λ

, pas

a sin θ_{p} = p λ

. Beaucoup de copies perdent le

sin θ_{0}

et se trompent de position des raies.

⚠ Erreur 3 — Croire que l'ordre 0 disperse. À l'ordre

p = 0

θ_{p} = θ_{0}

pour toute longueur d'onde : la lumière blanche ressort blanche, sans spectre. La dispersion n'apparaît qu'aux ordres

p \neq = 0

⚠ Erreur 4 — Écrire $sinc$ au lieu de $sinc^{2}$ pour l'intensité. L'amplitude est en

sinc β

, mais l'intensité mesurée est en

sinc^{2} β

(module au carré). Confondre les deux fausse la position des maxima secondaires et le contraste.

⚠ Erreur 5 — Oublier que $∣ sin θ_{p} ∣ \leq 1$ . La formule des réseaux n'a de solution que si

∣ p λ / a + sin θ_{0} ∣ \leq 1

: le nombre d'ordres observables est limité. Proposer un ordre inaccessible (sinus supérieur à 1) est une faute physique.

6. Pour aller plus loin

La diffraction est partout dès qu'on quitte l'optique géométrique :

Interféromètre de Michelson — la diffraction fixe la taille des anneaux et la finesse des franges ; réseau et Michelson sont les deux spectroscopes du programme.
Filtrage optique et transformée de Fourier — la figure de diffraction à l'infini est la transformée de Fourier spatiale de la pupille (culture, très utile).
Cristallographie et diffraction X — la loi de Bragg est la formule des réseaux appliquée aux plans atomiques ; même physique, autre échelle.
Limite de résolution — microscopes, télescopes, lithographie : partout $λ / D$ fixe la performance ultime.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer le principe de Huygens-Fresnel (sources secondaires, somme cohérente) ?
Sais-tu ce que signifient les conditions de Fraunhofer (source et observation à l'infini) ?
Sais-tu démontrer l'intensité diffractée par une fente, I = I₀·sinc²(πa·sinθ/λ) ?
Connais-tu la largeur angulaire 2λ/a de la tache centrale et la position des zéros ?
Sais-tu distinguer l'échelle de diffraction (λ/a) de l'échelle d'interférence (λ/b) ?
Sais-tu énoncer le critère de Rayleigh et la limite θ_min = 1,22 λ/D (pupille circulaire) ?
Sais-tu pourquoi la résolution d'un instrument s'améliore avec son diamètre ?
Sais-tu démontrer la formule des réseaux a(sinθ_p − sinθ₀) = pλ ?
Sais-tu pourquoi l'ordre 0 ne disperse pas la lumière blanche ?
Sais-tu démontrer le pouvoir de résolution R = pN d'un réseau ?
Sais-tu calculer la dispersion angulaire dθ/dλ = p/(a·cosθ_p) ?
Sais-tu vérifier qu'un ordre est observable (|sinθ_p| ≤ 1) ?

Démonstrations à savoir refaire

Diffraction par une fente — sommation des ondelettes, intensité en sinc², zéros en λ/a
Formule des réseaux — déphasage entre motifs voisins, maxima principaux
Pouvoir de résolution R = pN — largeur d'un pic et critère de Rayleigh

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