Modèle du cristal parfait

Vue d'ensemble

Le modèle du cristal parfait est ta porte d'entrée dans la chimie du solide. L'idée est radicale : remplacer un édifice qui contient $1 0^{23}$ atomes par un motif minuscule qu'on répète à l'infini par translations — exactement comme un papier peint en 3D. De là, tout se calcule : masse volumique, compacité, coordinence, distance entre proches voisins. Cette fiche regroupe les 7 définitions structurelles (réseau, motif, maille, multiplicité, compacité, coordinence, masse volumique), les 3 démonstrations à savoir refaire (multiplicité CFC, compacité CS, compacité CFC) et la méthode-type pour compter les entités d'une maille cubique sans se faire piéger par les atomes partagés.

Au programme MPSI (officiel) — Solide cristallin et solide amorphe. Modèle du cristal parfait : réseau, motif, maille. Maille élémentaire et maille conventionnelle. Multiplicité, coordinence, compacité. Masse volumique d'un cristal. Modèle des sphères dures. Mailles cubiques : cubique simple (CS), cubique centrée (CC), cubique à faces centrées (CFC). Structure hexagonale compacte (HC) — empilement compact étudié plus en détail au chapitre 9.

Prérequis

Quantité de matière, masse molaire, nombre d'Avogadro $N_{A} \approx 6, 022 \times 1 0^{23}$ mol⁻¹
Géométrie élémentaire : volume d'un cube $V = a^{3}$ , volume d'une sphère $V = \frac{4}{3} π R^{3}$
Théorème de Pythagore (pour les diagonales du cube : face et grande diagonale)
Unités cohérentes : longueurs en m ou pm ( $1$ pm $= 1 0^{- 12}$ m), masses en kg ou g

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds maille élémentaire, conventionnelle et motif ? C'est l'erreur n°1 des élèves de MPSI en début de chapitre cristallo — et celle qui fait perdre 2 à 3 points sur n'importe quel exercice de calcul de $ρ$ ou de compacité. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines reprennent tout au tableau avec une maille en bois et des exos type concours.

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1. Solide cristallin et solide amorphe

Définition 1.1 — Solide cristallin

Un solide cristallin est un solide dans lequel les entités chimiques (atomes, ions ou molécules) sont organisées de façon périodique dans les trois dimensions de l'espace. Cette organisation à longue distance impose des plans de coupe nets (faces planes des cristaux macroscopiques) et donne lieu à des pics fins en diffraction des rayons X.

Exemples : NaCl, diamant, fer α, glace I, quartz cristallin, métaux usuels.

Définition 1.2 — Solide amorphe

Un solide amorphe est un solide dans lequel les entités sont disposées sans ordre à longue distance, comme dans un liquide « figé ». Un solide amorphe n'a ni faces planes naturelles, ni température de fusion bien définie (il se ramollit progressivement).

Exemples : verre (silice fondue), polymères, certains alliages, suie.

📝 Remarque culturelle. Un même corps pur peut exister sous forme cristalline OU amorphe selon le mode de refroidissement. La silice SiO₂ donne le quartz si on refroidit lentement (cristallin), le verre si on refroidit brutalement (amorphe). C'est la base de toute la technologie verrière depuis l'Antiquité.

2. Réseau, motif et maille — le trio fondateur

Toute la cristallographie tient en une équation conceptuelle : cristal = réseau + motif. Le réseau dit OÙ poser les entités ; le motif dit QUOI poser à chaque point.

Définition 2.1 — Réseau

Le réseau d'un cristal est l'ensemble des points (appelés nœuds) obtenus à partir d'un point origine par toutes les translations de la forme :

T = n_{1} a + n_{2} b + n_{3} c, (n_{1}, n_{2}, n_{3}) \in Z^{3},

où $a, b, c$ sont trois vecteurs non coplanaires appelés vecteurs de translation primitifs. Le réseau ne dépend que de la géométrie, pas du contenu chimique.

Définition 2.2 — Motif

Le motif est le plus petit groupement d'entités chimiques (atomes, ions ou molécules) qu'il suffit de reproduire à chaque nœud du réseau pour reconstituer le cristal entier. Dans un cristal de cuivre, le motif est un seul atome de Cu. Dans NaCl, le motif est la paire {Na⁺, Cl⁻}.

Définition 2.3 — Maille

Une maille est le parallélépipède construit sur trois vecteurs $a, b, c$ non coplanaires. Elle est entièrement caractérisée par six paramètres :

trois longueurs $a, b, c$ (paramètres de maille),
trois angles $α$ (entre $b$ et $c$ ), $β$ (entre $a$ et $c$ ), $γ$ (entre $a$ et $b$ ).

Son volume vaut, dans le cas général, $V_{maille} = a \cdot (b \land c)$ . Pour une maille cubique ( $a = b = c$ et $α = β = γ = 90°$ ), simplement $V_{maille} = a^{3}$ .

Définition 2.4 — Maille élémentaire et maille conventionnelle

La maille élémentaire est la plus petite maille permettant de paver le cristal. Elle contient exactement un nœud du réseau (en équivalent).
La maille conventionnelle est la maille effectivement utilisée pour décrire le cristal — choisie pour refléter la symétrie maximale, même si elle est plus grande que la maille élémentaire.

Exemple culte : pour un cristal CFC, la maille élémentaire est un rhomboèdre contenant 1 atome, mais on utilise toujours la maille conventionnelle cubique (plus pratique, plus symétrique) qui contient 4 atomes.

⚠ Piège #1 — Maille = motif ? NON. Beaucoup confondent les deux. La maille est une boîte géométrique (un parallélépipède) ; le motif est le contenu chimique posé à chaque nœud. Dans une maille CFC de cuivre, on a

4

atomes de cuivre mais le motif reste un seul atome de Cu (les 4 atomes correspondent à 4 nœuds du réseau). Demande-toi toujours : « combien de nœuds dans ma maille ? » avant « combien d'atomes ? ».

3. Multiplicité z d'une maille — la méthode du comptage

Définition 3.1 — Multiplicité (ou population)

La multiplicité $z$ d'une maille est le nombre d'entités (atomes, ions ou motifs) que la maille contient en propre. Comme certaines entités sont partagées entre plusieurs mailles adjacentes, on doit pondérer chaque contribution.

📐 Méthode-type — Compter z dans une maille cubique. Pour chaque entité de la maille, on regarde où elle est posée et combien de mailles voisines se la partagent. La contribution à la maille est

1/ (nb de mailles qui partagent)

Atome au sommet du cube : partagé entre 8 mailles → contribution $1/8$
Atome au milieu d'une arête : partagé entre 4 mailles → contribution $1/4$
Atome au centre d'une face : partagé entre 2 mailles → contribution $1/2$
Atome strictement à l'intérieur de la maille : appartient à elle seule → contribution $1$

On somme les contributions sur tous les sites occupés. Pour une maille cubique standard, ça donne directement

z

. Astuce visuelle : ce qui compte n'est pas la position absolue de l'atome dans l'espace, mais la fraction de l'atome qui « tombe à l'intérieur » de la maille.

Théorème 3.2 — Multiplicité des trois mailles cubiques ★ À savoir démontrer

Cubique simple (CS) : 1 atome à chaque sommet $\Rightarrow z = 8 \times \frac{1}{8} = 1$
Cubique centrée (CC) : 8 sommets + 1 atome au centre $\Rightarrow z = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2$
Cubique à faces centrées (CFC) : 8 sommets + 6 atomes au centre des 6 faces $\Rightarrow z = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$

Démonstration pour la maille CFC (et schéma de comptage transposable à CS et CC)

Plaçons-nous dans la maille conventionnelle CFC, un cube d'arête $a$ . Les sites occupés sont de deux types :

(i) Sommets du cube. Un cube a 8 sommets. Chaque sommet est un point partagé entre les 8 mailles cubiques qui se rejoignent en ce coin (imagine 8 cubes empilés dans les 8 octants d'un repère centré sur le sommet). Chacun de ces atomes ne contribue donc qu'à hauteur de $\frac{1}{8}$ à la maille. Contribution totale des sommets :

8 \times \frac{1}{8} = 1.

(ii) Centres des faces. Le cube possède 6 faces. Chaque centre de face est situé à l'interface entre deux mailles cubiques adjacentes (la maille étudiée et sa voisine de l'autre côté de la face). Chacun de ces atomes contribue donc à hauteur de $\frac{1}{2}$ à la maille. Contribution totale des faces :

6 \times \frac{1}{2} = 3.

En sommant : $z_{CFC} = 1 + 3 = 4$ . La même méthode appliquée à la CS donne $z_{CS} = 8 \times \frac{1}{8} = 1$ (rien d'autre que les sommets), et à la CC donne $z_{CC} = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2$ (les sommets + l'atome central qui est strictement à l'intérieur, donc compté pour $1$ ).

⚠ Piège #2 — Le centre d'arête est partagé entre 4 mailles, pas 2. Beaucoup d'élèves se trompent et le comptent comme une face (

\frac{1}{2}

). En réalité, une arête est l'intersection commune à quatre mailles cubiques qui se rejoignent autour d'elle. Mnémonique : sommet → 8, arête → 4, face → 2, intérieur → 1. Quand tu vois un site sur une arête (rare en cubique simple, fréquent dans NaCl), retiens bien

1/4

4. Masse volumique d'un cristal

Théorème 4.1 — Masse volumique d'un cristal

La masse volumique $ρ$ d'un cristal s'exprime à partir de sa maille conventionnelle :

ρ = \frac{z \cdot M}{N _{A} \cdot V _{maille}},

où $z$ est la multiplicité de la maille, $M$ la masse molaire de l'entité (en kg·mol⁻¹ pour avoir $ρ$ en kg·m⁻³), $N_{A}$ le nombre d'Avogadro et $V_{maille}$ le volume de la maille (en m³).

📝 D'où vient la formule. La maille contient

z

entités, soit une masse

m_{maille} = z \cdot M / N_{A}

(masse d'une entité =

M / N_{A}

). Le volume étant

V_{maille}

, la masse volumique vaut

ρ = m_{maille} / V_{maille}

. On retrouve la formule encadrée. Comme la masse volumique est une grandeur intensive, elle ne dépend pas de la taille de la maille — on peut indifféremment utiliser maille élémentaire ou conventionnelle pourvu qu'on soit cohérent sur

z

V_{maille}

💡 Exemple — Masse volumique du cuivre (CFC). Cu cristallise dans une maille CFC d'arête

a = 361

pm. Avec

z = 4

M (Cu) = 63, 5

g·mol⁻¹

= 63, 5 \times 1 0^{- 3}

kg·mol⁻¹, et

V_{maille} = a^{3} = (361 \times 1 0^{- 12})^{3} \approx 4, 71 \times 1 0^{- 29}

m³ :

ρ_{Cu} = \frac{4 \times 63 , 5 \times 1 0 ^{- 3}}{6 , 022 \times 1 0 ^{23} \times 4 , 71 \times 1 0 ^{- 29}} \approx 8, 96 \times 1 0^{3} kg\cdotm^{- 3} .

Soit

ρ \approx 8, 96

g·cm⁻³ — exactement la valeur tabulée du cuivre métal. Le modèle du cristal parfait, malgré sa simplicité, prédit $ρ$ à mieux que 1 %.

⚠ Piège #3 — Unités cohérentes. Si tu mets

a

en pm et

M

en g·mol⁻¹, attention :

ρ

ne ressort pas directement en g·cm⁻³. Le plus sûr : tout en SI (m, kg, mol) puis division finale par

1 0^{3}

pour passer en g·cm⁻³. Beaucoup d'élèves perdent des points à oublier le facteur

1 0^{- 30}

entre pm³ et m³, ou

1 0^{- 3}

entre g·mol⁻¹ et kg·mol⁻¹.

5. Modèle des sphères dures, compacité et coordinence

Définition 5.1 — Modèle des sphères dures

Dans le modèle des sphères dures, on assimile chaque atome à une sphère rigide indéformable de rayon $R$ (le rayon atomique). Deux sphères voisines sont tangentes (elles « se touchent » sans s'interpénétrer) si elles sont effectivement liées. La condition de tangence entre proches voisins relie directement $R$ au paramètre de maille $a$ .

Définition 5.2 — Compacité C

La compacité $C$ (ou taux de remplissage) d'une maille est la fraction du volume de la maille effectivement occupée par les sphères dures :

C = \frac{V _{atomes}}{V _{maille}} = \frac{z \cdot \frac{4}{3} π R ^{3}}{V _{maille}} .

$C$ est sans dimension, $0 \leq C \leq 1$ . Plus $C$ est élevée, plus la structure est compacte (les sphères « se serrent »).

Définition 5.3 — Coordinence

La coordinence d'un atome (ou plus généralement d'un site) est le nombre de proches voisins de cet atome dans le cristal — c'est-à-dire le nombre d'atomes qui le touchent dans le modèle des sphères dures, situés à la distance minimale $d_{ppv}$ .

Pour les trois mailles cubiques : coordinence CS = 6, coordinence CC = 8, coordinence CFC = 12. Pour la structure hexagonale compacte (HC) : coordinence 12 également.

5.1 — Cubique simple (CS) en détail

Théorème 5.4 — Compacité de la maille cubique simple ★ À savoir démontrer

Pour la maille CS, les proches voisins se touchent le long de l'arête du cube. La condition de tangence donne $a = 2 R$ , et la compacité vaut :

C_{CS} = \frac{π}{6} \approx 0, 52.

Démonstration complète

Étape 1 — Multiplicité. La maille CS n'a d'atomes qu'aux 8 sommets, chacun partagé entre 8 mailles. Donc $z_{CS} = 8 \times \frac{1}{8} = 1$ .

Étape 2 — Condition de tangence. Le long d'une arête du cube, deux atomes sommets adjacents sont les plus proches voisins. Comme les sphères dures se touchent, la somme de leurs rayons doit valoir la distance centre-à-centre, c'est-à-dire l'arête $a$ :

2 R = a ⟺ R = \frac{a}{2} .

Étape 3 — Application de la formule. On reporte dans la définition de la compacité :

C_{CS} = \frac{z \cdot \frac{4}{3} π R ^{3}}{a ^{3}} = \frac{1 \cdot \frac{4}{3} π ( a /2 ) ^{3}}{a ^{3}} = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{a ^{3} /8}{a ^{3}} = \frac{4 π}{24} = \frac{π}{6} .

Numériquement : $C_{CS} = π /6 \approx 0, 5236$ , soit environ 52 %. Près de la moitié du volume reste vide — c'est pour cela que la CS est extrêmement rare en chimie du solide (un seul exemple courant : le polonium α).

5.2 — Cubique centrée (CC) en détail

Proposition 5.5 — Géométrie et compacité de la maille CC

Dans la CC, les proches voisins se touchent le long de la grande diagonale du cube, de longueur $a 3$ (entre un sommet et l'atome central, on traverse $4 R$ car la diagonale enchaîne deux rayons à chaque extrémité plus un atome entier au centre) :

4 R = a 3 ⟺ R = \frac{a 3}{4} .

Avec $z_{CC} = 2$ , la compacité vaut :

C_{CC} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3} π R ^{3}}{a ^{3}} = \frac{8 π}{3} \cdot \frac{( a 3 /4 ) ^{3}}{a ^{3}} = \frac{8 π}{3} \cdot \frac{3 3 a ^{3}}{64 a ^{3}} = \frac{π 3}{8} \approx 0, 68.

Soit environ 68 %. Exemples : fer α, chrome, tungstène, sodium métallique.

5.3 — Cubique à faces centrées (CFC) en détail

Théorème 5.6 — Compacité de la maille CFC ★ À savoir démontrer

Pour la CFC, les proches voisins se touchent le long de la diagonale d'une face (et pas le long de l'arête !). La diagonale d'une face mesure $a 2$ et contient 4 rayons (un atome de sommet, un atome de face entier, un autre atome de sommet) :

4 R = a 2 ⟺ R = \frac{a 2}{4}, C_{CFC} = \frac{π 2}{6} \approx 0, 74.

Démonstration complète

Étape 1 — Multiplicité. On a vu (théorème 3.2) que $z_{CFC} = 4$ : 8 sommets à $1/8$ plus 6 faces à $1/2$ , soit $1 + 3 = 4$ .

Étape 2 — Condition de tangence sur la diagonale d'une face. Considère une face carrée du cube, de côté $a$ . Aux 4 coins se trouvent 4 atomes de sommet ; au centre de la face se trouve un atome de face. On regarde la diagonale du carré : elle passe par deux sommets opposés et par le centre de la face. Le long de cette diagonale, on rencontre dans l'ordre :

un atome de sommet (contribuant un rayon $R$ le long de la diagonale),
un espace vide, puis l'atome de face entier (contribuant $2 R$ en traversée),
encore un espace vide, puis l'autre atome de sommet (contribuant $R$ ).

Si tous ces atomes se touchent (proches voisins en tangence), la diagonale traverse exactement $R + 2 R + R = 4 R$ . Or la diagonale d'une face carrée d'arête $a$ mesure $a 2$ par Pythagore. Donc :

4 R = a 2 ⟺ R = \frac{a 2}{4} .

Pourquoi pas le long de l'arête ? Le long de l'arête, on n'a que deux atomes de sommet et beaucoup de vide entre eux ; ils ne se touchent pas ( $2 R < a$ ici puisque $R = a 2 /4 \approx 0, 354 a$ et donc $2 R \approx 0, 707 a < a$ ). La tangence se fait bien sur la diagonale d'une face.

Étape 3 — Application de la formule.

C_{CFC} = \frac{z \cdot \frac{4}{3} π R ^{3}}{a ^{3}} = \frac{4 \cdot \frac{4}{3} π ( \frac{a 2}{4} ) ^{3}}{a ^{3}} = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{a ^{3} \cdot 2 2}{64 a ^{3}} = \frac{16 π \cdot 2 2}{3 \cdot 64} = \frac{32 π 2}{192} = \frac{π 2}{6} .

Numériquement : $C_{CFC} = π 2 /6 \approx 0, 7405$ , soit environ 74 %. C'est la compacité maximale possible pour un empilement de sphères identiques (théorème de Kepler, démontré en 2014 par Hales). Tout le bloc s'aligne logiquement : CFC = 74 % = compacité maximale = nombreux métaux usuels (Al, Cu, Au, Ag, Pb, Ni…).

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74 % est la compacité maximale d'un empilement de sphères — c'est LE résultat conceptuel du chapitre. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X ou de Centrale, tu maîtrises le schéma (tangence sur diagonale de face → Pythagore → injection dans la formule), les variantes CC (grande diagonale) et HC, et les pièges classiques d'oraux.

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5.4 — Distance entre proches voisins et coordinence détaillées

Proposition 5.7 — Récapitulatif géométrique des trois mailles cubiques

Maille	z	Tangence	R en fonction de a	Coordinence	Compacité C
CS	1	Arête	$R = a /2$	6	$π /6 \approx 0, 52$
CC	2	Grande diagonale	$R = a 3 /4$	8	$π 3 /8 \approx 0, 68$
CFC	4	Diagonale de face	$R = a 2 /4$	12	$π 2 /6 \approx 0, 74$

Distance entre proches voisins $d_{ppv} = 2 R$ : c'est le double du rayon, donc $a$ (CS), $a 3 /2$ (CC), $a 2 /2$ (CFC).

⚠ Piège #4 — La tangence n'est pas toujours le long de l'arête. Erreur très fréquente : transposer la condition CS (

2 R = a

) à la CFC. C'est faux : en CFC, la tangence se fait sur la diagonale de face (

4 R = a 2

). Mnémonique : plus la maille est compacte, plus la tangence est diagonale (CS = arête, CC = grande diagonale, CFC = diagonale de face).

6. Structure hexagonale compacte (HC) — aperçu

L'empilement hexagonal compact (HC) n'est pas une maille cubique : sa maille conventionnelle est un prisme droit à base losange dont l'angle est de 120°. Cette structure sera étudiée en détail au chapitre 9 (Métaux et empilements compacts), mais il faut en retenir dès maintenant les ordres de grandeur.

Proposition 6.1 — Caractéristiques de la HC

Maille conventionnelle : prisme à base losange, paramètres $a$ et $c$ , rapport idéal $c / a = 8/3 \approx 1, 633$
Multiplicité de la maille conventionnelle : $z_{HC} = 6$ (souvent ramenée à une maille élémentaire à $z = 2$ )
Coordinence : 12 (comme la CFC)
Compacité : $C_{HC} = π 2 /6 \approx 0, 74$ (identique à la CFC)
Exemples : Mg, Zn, Co, Ti α, Be

📝 CFC et HC : même compacité, structures différentes. Les empilements CFC et HC sont les deux empilements compacts de sphères identiques. Ils diffèrent par la séquence d'empilement des couches : ABCABC… pour la CFC, ABAB… pour la HC. Cette différence n'affecte ni la compacité ni la coordinence, seulement la symétrie globale. On y revient au chapitre 9.

7. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves comportant un calcul de masse volumique ou de compacité. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Compter un atome de sommet pour 1 entier. Vu en début d'année dans 30 % des copies : l'élève dénombre « 8 atomes aux sommets » et conclut

z = 8

pour la maille CS. C'est faux : chaque sommet est partagé entre 8 mailles, donc compté

1/8

. La bonne réponse pour la CS est

z = 1

⚠ Erreur 2 — Appliquer la tangence sur l'arête en CFC. Si tu écris «

2 R = a

» pour une CFC, tu obtiens une compacité bien plus grande que 1 (impossible). Vérifie toujours visuellement où sont les atomes les plus proches : en CFC, c'est sur la diagonale de face, jamais sur l'arête.

⚠ Erreur 3 — Oublier de convertir les unités dans $ρ = z M / (N_{A} V_{maille})$ . Mélange typique :

a

en pm,

M

en g·mol⁻¹, résultat « en kg·m⁻³ ». Le facteur

1 0^{- 30}

entre pm³ et m³, et le facteur

1 0^{- 3}

entre g·mol⁻¹ et kg·mol⁻¹ doivent apparaître explicitement. Plus sûr : tout en SI puis conversion finale.

⚠ Erreur 4 — Confondre compacité et coordinence. La compacité est une fraction de volume (sans dimension, ∈ [0, 1]). La coordinence est un nombre entier de voisins. Elles sont liées (les structures les plus coordinationnées sont les plus compactes) mais ce n'est pas la même grandeur. Une coordinence de 12 et une compacité de 0,74 vont ensemble en CFC, mais ce sont deux concepts à ne pas mélanger dans la rédaction.

⚠ Erreur 5 — Croire que toutes les mailles cubiques sont des « réseaux de Bravais ». En toute rigueur, seuls CS, CC et CFC sont des réseaux cubiques de Bravais (donc des arrangements qui peuvent être décrits par un seul nœud par maille élémentaire). La maille conventionnelle cubique CFC contient 4 atomes mais correspond à un seul type de nœud répété (avec un motif d'un atome au nœud). Ne confonds pas « 4 atomes par maille conventionnelle » et « 4 nœuds par maille élémentaire » — la deuxième affirmation est fausse.

8. Pour aller plus loin

Le modèle du cristal parfait est la brique de base de toute la chimie du solide en MPSI et de la chimie inorganique en spé (PC, PSI). Les chapitres qui le réinvestissent :

Chapitre 9 — Métaux et empilements compacts : on y compare CFC et HC en détail, on étudie les sites interstitiels octaédriques et tétraédriques.
Chapitre 10 — Solides ioniques : NaCl, CsCl, blende ZnS, fluorine CaF₂… ce sont tous des arrangements à deux sous-réseaux interpénétrés, et la même méthode du comptage $z$ s'applique.
Chapitre 11 — Solides covalents et moléculaires : diamant, graphite, glace I — la « maille » devient plus exotique (motif à plusieurs atomes), mais la méthode reste identique.
Spé PC — Diagrammes binaires solide-liquide : les phases sont des cristaux dont on caractérise la structure pour comprendre la solubilité réciproque.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS de cristallographie, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu distinguer un solide cristallin et un solide amorphe (organisation, faces, fusion, diffraction X) ?
Sais-tu énoncer l'équation conceptuelle « cristal = réseau + motif » et donner un exemple ?
Connais-tu les 6 paramètres d'une maille ( $a, b, c, α, β, γ$ ) ?
Sais-tu distinguer maille élémentaire et maille conventionnelle ?
Connais-tu par cœur les contributions du comptage (sommet $1/8$ , arête $1/4$ , face $1/2$ , intérieur $1$ ) ?
Sais-tu démontrer que $z_{CFC} = 4$ , $z_{CC} = 2$ , $z_{CS} = 1$ ?
Sais-tu retrouver la formule $ρ = z M / (N_{A} V_{maille})$ à partir d'un raisonnement de masse ?
Sais-tu démontrer que la compacité de la CS vaut $π /6 \approx 0, 52$ ?
Sais-tu démontrer que la compacité de la CFC vaut $π 2 /6 \approx 0, 74$ — et expliquer pourquoi la tangence est sur la diagonale de face ?
Connais-tu les coordinences 6 (CS), 8 (CC), 12 (CFC = HC) et la distance entre proches voisins dans chaque cas ?
Sais-tu expliquer pourquoi CFC et HC ont la même compacité $\approx 74 %$ mais des séquences d'empilement différentes ?

Démonstrations à savoir refaire

Multiplicité $z = 4$ de la maille CFC — 8 sommets × $1/8$ + 6 faces × $1/2$ = 4
Compacité $C_{CS} = π /6$ — tangence sur l'arête $2 R = a$ , injection dans $C = z \cdot \frac{4}{3} π R^{3} / a^{3}$
Compacité $C_{CFC} = π 2 /6$ — tangence sur la diagonale de face $4 R = a 2$ , Pythagore + formule

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Solide cristallin et solide amorphe

2. Réseau, motif et maille — le trio fondateur

3. Multiplicité z d'une maille — la méthode du comptage

4. Masse volumique d'un cristal

5. Modèle des sphères dures, compacité et coordinence

5.1 — Cubique simple (CS) en détail

5.2 — Cubique centrée (CC) en détail

5.3 — Cubique à faces centrées (CFC) en détail

5.4 — Distance entre proches voisins et coordinence détaillées

6. Structure hexagonale compacte (HC) — aperçu

7. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

8. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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