🎯 En bref
Le second degré est l'un des chapitres les plus rentables de l'épreuve anticipée de maths de Première 2026 : trois formes d'écriture (développée, canonique, factorisée), un outil central — le discriminant Δ = b² − 4ac — et un raisonnement qui se réutilise partout (racines, signe du trinôme, sommet de la parabole, inéquations, problèmes concrets). D'après l'analyse Majorant des sujets 0, il pèse 10 à 15 % de l'épreuve et se sécurise en une dizaine d'heures de travail ciblé. Voici la méthode complète, avec un exemple corrigé type bac et les erreurs qui coûtent le plus de points.
ℹ️ Info
Sur les sujets 0 officiels de l'épreuve anticipée 2026, le second degré apparaît soit en question directe (résoudre, factoriser, étudier le signe), soit caché dans un problème plus large. Dans les deux cas, la même méthode s'applique.
💡 Conseil
Réflexe de mentor Majorant : avant de te lancer dans un calcul, lis la question et demande-toi quelle forme t'y répond directement. « Résoudre f(x) = 0 » → factorisée. « Quel est le minimum ? » → canonique. « Combien vaut f(0) ? » → développée. Tu gagnes un temps précieux.
ℹ️ Info
La formule « du signe de a sauf entre les racines » ne fonctionne QUE lorsqu'il y a deux racines distinctes. Si Δ ≤ 0, il n'y a pas d'intervalle « entre les racines » : le trinôme garde le signe de a. Confondre ces cas est l'erreur n°1 sur les inéquations.
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Astuce de mentor Majorant : ne révise pas en relisant. Révise en produisant. Reprends une feuille blanche et refais un exercice sans le corrigé sous les yeux — c'est le seul entraînement qui reproduit les conditions du jour J.
Tu attaques la nouvelle épreuve anticipée de maths du Bac 2026 et le second degré te semble être un empilement de formules à recracher sans logique ? C'est exactement le piège à éviter. Bien travaillé, ce chapitre devient une mécanique quasi automatique qui te rapporte des points en équations, en signes, en études de fonctions et même en problèmes rédigés. Je suis Léa, mentor chez Majorant et normalienne (ENS Ulm), et avec l'équipe de mentors issus de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris, nous voyons chaque année les mêmes réussites et les mêmes fautes sur ce chapitre. Dans cet article, on déroule les trois formes du trinôme, le discriminant, le signe, la parabole, la résolution d'équations et d'inéquations, un exemple corrigé complet, les erreurs classiques et un plan de révision concret.
Qu'est-ce que le second degré et pourquoi ce chapitre est-il si rentable au bac de Première 2026 ?
Une fonction polynôme du second degré est une fonction f définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, c réels et a ≠ 0. Le mot-clé du chapitre, c'est ce a ≠ 0 : sans lui, on retombe sur une fonction affine, et toute la machinerie du discriminant n'a plus de sens.
Ce chapitre est rentable pour trois raisons très concrètes.
- •Il est transversal. Le second degré ressort dans l'étude de fonctions, dans la dérivation (une dérivée est souvent un trinôme), en géométrie et dans les problèmes d'optimisation. Le maîtriser, c'est débloquer plusieurs autres chapitres.
- •Il est algorithmique. Contrairement à un exercice de raisonnement pur, la résolution d'une équation du second degré suit une procédure fixe. Tu appliques la même méthode à chaque fois, ce qui la rend fiable sous stress.
- •Il est peu volumineux à réviser. Le cœur tient en une page : trois formes, une formule de discriminant, deux formules de racines, un tableau de signe. Un excellent rapport points/heures de révision.
Tout l'art du chapitre consiste à passer d'une forme à l'autre selon ce qu'on cherche. Retiens : chaque forme répond à une question précise.
| Forme | Écriture | À quoi elle sert |
|---|
| Développée | f(x) = ax² + bx + c | Lire a, b, c ; calculer Δ ; identifier l'ordonnée à l'origine c |
| Canonique | f(x) = a(x − α)² + β | Lire le sommet S(α ; β) de la parabole ; étudier variations et extremum |
| Factorisée | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) | Lire les racines x₁ et x₂ ; étudier le signe ; résoudre f(x) = 0 |
La forme canonique s'obtient avec α = −b/(2a) et β = f(α). La forme factorisée n'existe que si le trinôme admet des racines réelles, c'est-à-dire si Δ ≥ 0.
Le discriminant est le cœur du réacteur. Pour f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, on pose :
Δ = b² − 4ac
Le signe de Δ décide de tout le comportement de l'équation ax² + bx + c = 0.
| Valeur de Δ | Nombre de racines réelles | Racines |
|---|
| Δ > 0 | 2 racines distinctes | x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) |
| Δ = 0 | 1 racine double | x₀ = −b/(2a) |
| Δ < 0 | 0 racine réelle | aucune |
La méthode Majorant en quatre étapes, à appliquer mécaniquement :
- •Identifier a, b, c en vérifiant bien que a ≠ 0.
- •Calculer Δ = b² − 4ac, en surveillant les signes (b² est toujours positif ; le piège est le −4ac).
- •Conclure sur le nombre de racines selon le signe de Δ.
- •Calculer les racines avec la formule adaptée, puis vérifier en réinjectant une valeur.
Exemple express : pour 2x² − 5x + 2 = 0, on a a = 2, b = −5, c = 2. Alors Δ = (−5)² − 4×2×2 = 25 − 16 = 9 > 0. Racines : x₁ = (5 − 3)/4 = 1/2 et x₂ = (5 + 3)/4 = 2. On factorise donc en 2(x − 1/2)(x − 2).
C'est la question qui rapporte le plus souvent des points « faciles » — à condition de connaître la règle. La règle tient en une phrase : un trinôme est du signe de a, sauf entre les racines.
Le tableau de signe se lit selon Δ :
- •Δ > 0 (deux racines x₁ < x₂) : f(x) est du signe de a à l'extérieur de [x₁ ; x₂], et du signe de −a à l'intérieur. Autrement dit, du signe de a sur ]−∞ ; x₁[ et ]x₂ ; +∞[, du signe opposé sur ]x₁ ; x₂[.
- •Δ = 0 (une racine double x₀) : f(x) est du signe de a partout, et s'annule seulement en x₀.
- •Δ < 0 (aucune racine) : f(x) est du signe de a sur ℝ tout entier, sans jamais s'annuler.
Pour 2x² − 5x + 2 (a = 2 > 0, racines 1/2 et 2), le trinôme est positif sur ]−∞ ; 1/2[ ∪ ]2 ; +∞[, négatif sur ]1/2 ; 2[, nul en 1/2 et 2.
La courbe d'une fonction du second degré est une parabole. Son sommet est le point le plus bas (si a > 0) ou le plus haut (si a < 0). Ses coordonnées sont :
- •Abscisse : α = −b/(2a)
- •Ordonnée : β = f(α)
La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β rend cette lecture immédiate.
Le sens de variation en découle directement :
- •Si a > 0, la parabole est « tournée vers le haut » : f décroît sur ]−∞ ; α], croît sur [α ; +∞[, et admet un minimum égal à β en x = α.
- •Si a < 0, la parabole est « tournée vers le bas » : f croît sur ]−∞ ; α], décroît sur [α ; +∞[, et admet un maximum égal à β en x = α.
La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation x = α. C'est ce qui explique que deux valeurs symétriques par rapport à α ont la même image — un fait très utile pour les problèmes d'optimisation, où l'on cherche justement l'extremum. Pour aller plus loin sur les variations, notre article sur la dérivation et l'étude de fonctions en Première 2026 montre comment retrouver ce sommet en annulant la dérivée f'(x) = 2ax + b.
Ce sont les deux gestes les plus testés. Distingue-les bien.
Résoudre une équation ax² + bx + c = 0
- •Calcule Δ.
- •Applique le tableau des racines selon le signe de Δ.
- •Écris l'ensemble des solutions : {x₁ ; x₂} si Δ > 0, {x₀} si Δ = 0, ∅ si Δ < 0.
Cas particuliers à repérer pour aller plus vite (sans discriminant) :
- •Pas de terme c (ax² + bx = 0) : factorise par x, soit x(ax + b) = 0, donc x = 0 ou x = −b/a.
- •Pas de terme b (ax² + c = 0) : isole x² = −c/a et conclus selon le signe.
- •Identité remarquable visible : par exemple x² − 6x + 9 = (x − 3)², racine double évidente.
Résoudre une inéquation ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥, ≤)
- •Résous d'abord l'équation associée (= 0) pour trouver les racines.
- •Dresse le tableau de signe du trinôme.
- •Lis l'ensemble solution sur le tableau selon le sens de l'inégalité.
Attention : une inéquation du second degré ne se résout JAMAIS en « passant les termes de l'autre côté » comme au collège. On ramène tout d'un même côté pour obtenir « trinôme ⋛ 0 », puis on raisonne uniquement avec le signe. C'est le seul chemin fiable.
À quoi ressemble un exemple corrigé type bac sur le second degré ?
Voici un énoncé dans l'esprit des sujets 0 2026, corrigé avec le niveau de rédaction attendu.
Énoncé. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = −x² + 4x + 5.
- •Calculer le discriminant et les racines de f.
- •En déduire la forme factorisée de f.
- •Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole et préciser s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
- •Résoudre l'inéquation f(x) ≥ 0.
Corrigé rédigé.
1. On identifie a = −1, b = 4, c = 5 (a ≠ 0). Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac = 4² − 4×(−1)×5 = 16 + 20 = 36. Comme Δ = 36 > 0, f admet deux racines réelles distinctes :
x₁ = (−b − √Δ)/(2a) = (−4 − 6)/(−2) = 5 et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) = (−4 + 6)/(−2) = −1.
2. Puisque Δ > 0, la forme factorisée est f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), soit f(x) = −(x − 5)(x + 1).
3. L'abscisse du sommet est α = −b/(2a) = −4/(−2) = 2. Son ordonnée est β = f(2) = −(2)² + 4×2 + 5 = −4 + 8 + 5 = 9. Le sommet est donc S(2 ; 9). Comme a = −1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : S est un maximum, et f(x) ≤ 9 pour tout réel x.
4. Comme a < 0 et Δ > 0, le trinôme est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines et positif entre elles. Or les racines sont −1 et 5. Donc f(x) ≥ 0 sur l'intervalle [−1 ; 5] (bornes incluses car l'inégalité est large).
Remarque de rédaction : chaque étape justifie AVANT de conclure. C'est exactement ce que le correcteur récompense.
Quelles sont les erreurs classiques à éviter sur le second degré ?
Voici le top des fautes que nous corrigeons le plus souvent chez Majorant — évite-les et tu gagnes mécaniquement des points.
- •Se tromper de signe dans Δ. Le terme −4ac piège quand a ou c est négatif. Un −4×(−1)×5 vaut +20, pas −20. Pose le calcul entièrement.
- •Oublier le a devant la forme factorisée. f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), pas (x − x₁)(x − x₂). Sans le a, la fonction n'est plus la même (vérifie avec f(0)).
- •Appliquer « du signe de a sauf entre les racines » quand Δ ≤ 0. S'il n'y a pas deux racines, il n'y a pas d'« entre » : le signe est constant.
- •Confondre racine et valeur du sommet. Les racines annulent f ; le sommet donne l'extremum. Ce ne sont pas les mêmes points.
- •Diviser par 2a en oubliant le signe de a. Ici 2a = −2 : l'oublier inverse le résultat.
- •Résoudre une inéquation comme une équation. Trouver les racines ne suffit pas : il faut le tableau de signe et lire l'intervalle.
- •Ne pas conclure. Une réponse sans phrase de conclusion (« l'ensemble solution est… ») perd des points de rédaction.
Ces réflexes de rigueur sont exactement ceux qu'on développe dans notre méthode de révision efficace pour le bac de maths Première 2026.
Le second degré n'est pas une île. Il irrigue tout le programme.
- •Dérivation. La dérivée d'un polynôme du second degré est une fonction affine, et réciproquement la dérivée d'un polynôme de degré 3 est un trinôme. Étudier son signe (donc appliquer le discriminant) permet de dresser le tableau de variations. Voir la dérivation et l'étude de fonctions.
- •Suites. Certaines suites définies par une relation de récurrence font intervenir un trinôme, et les points fixes se cherchent en résolvant une équation du second degré. Notre article sur les suites numériques et le raisonnement par récurrence le détaille.
- •Géométrie et trigonométrie. Les intersections de courbes, les distances et certaines équations issues du cercle trigonométrique se ramènent à un second degré. À croiser avec la trigonométrie et le cercle.
- •Terminale. En spé maths, le second degré prépare l'étude des fonctions, les limites et, en maths expertes, les nombres complexes — où le cas Δ < 0 débouche enfin sur des racines complexes.
Quel plan de révision suivre pour maîtriser le second degré avant l'épreuve ?
Un plan sobre et efficace, à étaler sur environ une dizaine d'heures.
| Étape | Durée indicative | Objectif |
|---|
| 1. Fiche de cours | 1 h | Écrire de mémoire les 3 formes, Δ, racines, signe, sommet |
| 2. Automatismes de calcul | 2 h | Enchaîner 15 calculs de Δ et de racines jusqu'à la fluidité |
| 3. Signe et inéquations | 2 h | Dresser 10 tableaux de signe, résoudre 10 inéquations |
| 4. Forme canonique et sommet | 2 h | Passer développée ↔ canonique, lire les extremums |
| 5. Problèmes rédigés | 2 h | Traiter 4 exercices type bac en conditions et rédiger proprement |
| 6. Erreurs personnelles | 1 h | Reprendre uniquement TES fautes récurrentes |
Notre conseil final sur le second degré en Première 2026
Trois règles à garder en tête.
- •Lis la question avant de calculer pour choisir la bonne forme (développée, canonique ou factorisée).
- •Le discriminant décide de tout : nombre de racines, signe du trinôme, existence de la forme factorisée. Ne le calcule jamais à la va-vite.
- •Rédige tes conclusions : une réponse justifiée et conclue vaut toujours mieux qu'un résultat jeté sur la copie.
Le second degré est le chapitre où l'effort se transforme le plus directement en points. Sa logique est fermée, ses méthodes sont mécaniques, et une fois les automatismes en place, tu gagnes en confiance sur toute l'épreuve. Fais-en un socle solide dès maintenant : c'est un investissement qui te servira jusqu'en Terminale et au-delà. Chez Majorant, on voit chaque année des élèves passer de « je bloque » à « je déroule » en quelques séances ciblées — c'est parfaitement à ta portée.
FAQ
Le discriminant se calcule avec la formule Δ = b² − 4ac, où a, b et c sont les coefficients de ax² + bx + c avec a ≠ 0. Identifie d'abord soigneusement les trois coefficients avec leurs signes, puis remplace. Le piège classique est le terme −4ac lorsque a ou c est négatif : pose le calcul en entier pour éviter l'erreur de signe.
Que signifie un discriminant négatif ?
Un discriminant négatif (Δ < 0) signifie que l'équation ax² + bx + c = 0 n'a aucune racine réelle. La parabole ne coupe donc pas l'axe des abscisses. Dans ce cas, le trinôme garde un signe constant sur ℝ tout entier : il est toujours du signe de a. En maths expertes de Terminale, ce cas débouchera sur des racines complexes.
Le sommet a pour coordonnées α = −b/(2a) en abscisse et β = f(α) en ordonnée. Calcule d'abord α, puis remplace dans la fonction pour obtenir β. Si a > 0, ce sommet est un minimum ; si a < 0, c'est un maximum. La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β donne directement ces valeurs.
La forme canonique a(x − α)² + β sert à lire le sommet et les variations ; la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) sert à lire les racines et le signe. La canonique existe toujours ; la factorisée n'existe que si Δ ≥ 0. Choisis la forme selon la question posée : extremum → canonique, racines ou signe → factorisée.
On résout d'abord l'équation associée (= 0) pour trouver les racines, puis on dresse le tableau de signe du trinôme. Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre elles. On lit ensuite l'ensemble solution selon le sens de l'inégalité, en faisant attention aux bornes (incluses si l'inégalité est large).
Le second degré tombe-t-il à l'épreuve anticipée de maths 2026 ?
Oui, le second degré est un chapitre au programme de l'épreuve anticipée de Première 2026 et il figure dans les sujets 0. Il apparaît soit en question directe (résoudre, factoriser, étudier le signe), soit intégré à un problème plus large sur les fonctions. C'est un chapitre à sécuriser en priorité vu son excellent rapport points/effort.
Une fonction est du second degré si elle s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Le terme en x² doit être présent et son coefficient non nul. Sa courbe représentative est toujours une parabole. Si le coefficient de x² est nul, la fonction est affine (premier degré) et le discriminant n'a plus de sens.
Combien de temps faut-il pour réviser le second degré ?
Environ une dizaine d'heures bien ciblées suffisent pour maîtriser le second degré au niveau attendu en Première. Répartis-les entre la fiche de cours, les automatismes de calcul du discriminant, les tableaux de signe, la forme canonique et des exercices type bac rédigés. L'essentiel est de t'entraîner en produisant sur feuille blanche, pas seulement en relisant le cours.
