Bac maths Première : suites numériques et démonstration par récurrence, la méthode complète

Tu prépares la nouvelle épreuve anticipée de maths du Bac 2026 et le chapitre des suites numériques te paraît la plus grosse montagne à digérer ? C'est normal — c'est aussi le chapitre le plus rentable. D'après l'analyse Majorant des 7 sujets 0 officiels, les suites pèsent 15 à 20 % de l'épreuve, soit potentiellement 4 points sur 20. Maîtrise-les, et tu sécurises une bonne note. Voici la méthode complète des mentors Majorant — Polytechnique, ENS, CentraleSupélec, Mines Paris — pour cartonner sur ce chapitre, avec exemples corrigés et raisonnement par récurrence détaillé.

Pourquoi les suites numériques sont le chapitre le plus discriminant en Première ?

Trois raisons concrètes.

1. Volume de questions : entre 4 et 6 questions par sujet portent sur les suites. C'est le bloc le plus testé.
2. Diversité des compétences mobilisées : calcul, raisonnement, démonstration par récurrence, étude de variations, programmation Python.
3. Effet de cumul sur 2 ans : ce qui est vu en Première sert directement en Terminale (suites convergentes, séries en spé maths). Pour la suite logique en Terminale, lis notre guide Bac spé Maths Terminale 2026.

Les sujets bac maths Première 2026 : 7 sujets 0 officiels + corrigés confirment que les suites sont au cœur de chaque sujet.

Quelles sont les définitions à connaître par cœur ?

Le minimum syndical, version Majorant.

Suite arithmétique

Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout n entier naturel, uₙ₊₁ = uₙ + r.

Le réel r s'appelle la raison. Formule explicite : uₙ = u₀ + n × r (ou uₙ = u₁ + (n-1) × r selon le premier indice).

Suite géométrique

Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout n entier naturel, uₙ₊₁ = uₙ × q.

Le réel q s'appelle la raison. Formule explicite : uₙ = u₀ × qⁿ.

Suite définie par récurrence (cas général)

Une suite (uₙ) est définie par récurrence si :

• Son premier terme u₀ (ou u₁) est donné
• Une relation de la forme uₙ₊₁ = f(uₙ) permet de calculer chaque terme à partir du précédent

Toutes les suites arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers de suites récurrentes.

Comment reconnaître si une suite est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre ?

La méthode Majorant en 3 tests.

Test 1 — Calculer uₙ₊₁ - uₙ

Si la différence est constante (ne dépend pas de n), la suite est arithmétique. La constante est la raison.

Test 2 — Calculer uₙ₊₁ / uₙ

Si le quotient est constant (ne dépend pas de n) ET que tous les termes sont non nuls, la suite est géométrique. Le quotient est la raison.

Test 3 — Sinon

Si aucun des deux tests ne donne quelque chose de constant, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique. Tu travailles avec sa relation de récurrence directement.

Comment étudier la monotonie d'une suite ?

Trois méthodes possibles, à choisir selon le format de la suite.

Méthode 1 — Étudier le signe de uₙ₊₁ - uₙ

Si uₙ₊₁ - uₙ > 0 pour tout n, la suite est strictement croissante. Si uₙ₊₁ - uₙ < 0 pour tout n, la suite est strictement décroissante.

Méthode 2 — Étudier le rapport uₙ₊₁ / uₙ (si tous les termes sont strictement positifs)

Si uₙ₊₁ / uₙ > 1 pour tout n, la suite est croissante. Si uₙ₊₁ / uₙ < 1 pour tout n, la suite est décroissante.

Méthode 3 — Pour une suite définie par uₙ = f(n)

Si f est croissante sur [0, +∞[, la suite est croissante. Si f est décroissante, la suite est décroissante.

Comment faire un raisonnement par récurrence sans erreur ?

Le squelette à reproduire pour chaque démonstration. Méthode Majorant en 4 étapes.

Étape 1 — Énoncer la propriété

"Soit P(n) la propriété : [énoncé précis avec n]".

Par exemple : "P(n) : uₙ ≥ 0".

Étape 2 — Initialisation

"On vérifie que P(0) (ou P(1)) est vraie."

Tu calcules le premier terme et tu vérifies qu'il satisfait la propriété. Court, mais non optionnel. Sans cette étape, le raisonnement est invalide.

Étape 3 — Hérédité

"On suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) est vraie. On veut montrer P(n+1)."

Tu pars de l'hypothèse de récurrence (P(n)) et tu démontres P(n+1) en utilisant la relation de récurrence de la suite. C'est l'étape technique la plus longue.

Étape 4 — Conclusion

"D'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 0 (ou ≥ 1)."

Sans cette phrase, perte d'1 point en rédaction.

Exemple corrigé : démonstration par récurrence type Bac

Énoncé. Soit (uₙ) la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ - 4. Démontrer que pour tout n, uₙ ≥ 2.

Méthode Majorant :

Soit P(n) la propriété : uₙ ≥ 2.

Initialisation. u₀ = 2, donc u₀ ≥ 2. Donc P(0) est vraie.

Hérédité. On suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) est vraie, c'est-à-dire uₙ ≥ 2. On veut montrer que uₙ₊₁ ≥ 2.

uₙ₊₁ = 3uₙ - 4 Or uₙ ≥ 2, donc 3uₙ ≥ 6, donc 3uₙ - 4 ≥ 2. Donc uₙ₊₁ ≥ 2, ce qui montre P(n+1).

Conclusion. D'après le principe de récurrence, pour tout n entier naturel, uₙ ≥ 2.

C'est exactement la rédaction attendue dans une copie. Note bien la structure, le vocabulaire ("on suppose", "on veut montrer", "d'après"), et la conclusion finale.

Quels sont les calculs de sommes à connaître ?

Deux formules indispensables au programme de Première.

Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r :

S = u₀ + u₁ + ... + uₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2

Cas particulier célèbre : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ≠ 1 :

S = u₀ + u₁ + ... + uₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)

Cas particulier célèbre : 1 + q + q² + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q).

Comment programmer une suite en Python pour le Bac Première ?

L'algorithmique en Python pèse 5 % de l'épreuve. Tu dois savoir écrire 3 fonctions de base.

Fonction 1 — Calculer un terme particulier d'une suite récurrente

def terme(n):
    u = 2  # premier terme u_0
    for i in range(n):
        u = 3 * u - 4
    return u

Fonction 2 — Calculer une somme

def somme(n):
    u = 2
    s = u
    for i in range(n):
        u = 3 * u - 4
        s = s + u
    return s

Fonction 3 — Trouver le premier terme dépassant un seuil

def seuil(M):
    u = 2
    n = 0
    while u <= M:
        u = 3 * u - 4
        n = n + 1
    return n

Ces 3 fonctions couvrent 95 % des questions Python sur les suites au Bac Première.

Quelles sont les 5 erreurs classiques sur les suites en Première ?

Erreur 1 — Oublier l'initialisation dans la récurrence

Sans P(0), la démonstration est invalide. Perte de 2 points minimum.

Erreur 2 — Confondre arithmétique et géométrique

Tester systématiquement uₙ₊₁ - uₙ ET uₙ₊₁ / uₙ avant de conclure.

Erreur 3 — Erreur de comptage de termes dans une somme

uₚ + ... + uₙ contient n - p + 1 termes. Pas n - p. Erreur récurrente.

Erreur 4 — Mauvaise indexation Python

range(n) parcourt 0, 1, ..., n-1 (donc n itérations). Pour parcourir n+1 termes, écris range(n+1).

Erreur 5 — Conclusion absente

Comme partout en maths, chaque démonstration se conclut par une phrase. "Pour tout n, uₙ ≥ 2." Pas juste "ok donc voilà".

Comment réviser efficacement les suites en Première ?

Le plan Majorant sur 6 semaines.

Semaines 1-2 : cours et exercices d'application

6 séances de 1h. Reprise du cours, formules, exercices types (calcul de termes, suite arithmétique, suite géométrique).

Semaines 3-4 : démonstration par récurrence

6 séances de 1h. Récurrence dans tous ses états. 12 démonstrations rédigées en autonomie, corrigées par un mentor Majorant.

Semaines 5-6 : annales et entraînement type Bac

6 séances de 1h. 6 sujets 0 ou exercices d'annales chronométrés. Travail sur la rédaction et la gestion du temps.

Notre méthode de révision en prépa que personne n'enseigne explique le principe d'active recall — applicable à 100 % aux suites.

Faut-il prendre des cours particuliers pour les suites ?

Trois cas où c'est rentable.

Cas 1 — Tu rates 50 % des exercices sur les suites

1h30 hebdomadaire pendant 6 semaines avec un mentor Majorant te fait passer à 80 % de réussite. C'est l'investissement le plus rentable de ton année de Première.

Cas 2 — Tu vises 18-20 à l'épreuve anticipée

Le chapitre est trop discriminant pour être laissé à l'autoformation. Un tuteur t'amène au niveau attendu pour viser une prépa scientifique.

Cas 3 — Tu prépares déjà ton entrée en MPSI ou PCSI

Les suites sont un chapitre fondamental en prépa. Bien les maîtriser dès la Première = 2 ans d'avance. Notre guide cours particuliers maths Première 2026 détaille la stratégie de tutorat sur l'année.

Notre conseil final pour les suites numériques en Première

Trois règles, en 30 secondes :

1. Maîtrise la récurrence à 100 %. Initialisation + Hérédité + Conclusion. Pas d'à-peu-près.
2. Distingue arithmétique, géométrique, autre. Test systématique à chaque exercice.
3. Programme tes 3 fonctions Python. Terme, somme, seuil. Apprises par cœur.

Les suites numériques sont le chapitre où tu peux gagner le plus de points à l'épreuve anticipée 2026. Avec la méthode Majorant, viser 18-20 sur ce bloc est un objectif standard. Notre méthode des probabilités conditionnelles et notre méthode de la dérivation et étude de fonctions complètent ce plan d'attaque.

FAQ

Quelle est la durée de l'épreuve anticipée de maths Première 2026 ?

L'épreuve anticipée de mathématiques en Première dure 2 heures pour la voie générale (spécialité ou enseignement spécifique) et 2 heures également pour la voie technologique. Elle a lieu en juin 2026 — la calculatrice en mode examen est autorisée.

Quel est le coefficient de l'épreuve anticipée de maths en Première ?

L'épreuve anticipée de mathématiques compte pour coefficient 5 dans la note du baccalauréat (voie générale et technologique). C'est l'équivalent en poids de l'épreuve anticipée de français.

Les suites tombent-elles à coup sûr à l'épreuve anticipée de Première 2026 ?

Oui. D'après l'analyse Majorant des 7 sujets 0 officiels, les suites apparaissent dans 100 % des sujets, avec 4 à 6 questions par sujet. Le chapitre pèse 15 à 20 % de la note finale.

Faut-il connaître la démonstration par récurrence par cœur en Première ?

Oui. La récurrence est explicitement au programme et tombe dans 6 sujets 0 sur 7. Tu dois maîtriser les 4 étapes Majorant : énoncer la propriété, initialiser, démontrer l'hérédité, conclure. Sans une de ces étapes, la démonstration est invalide.

Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Une suite arithmétique vérifie uₙ₊₁ = uₙ + r (on ajoute toujours la même raison r). Une suite géométrique vérifie uₙ₊₁ = uₙ × q (on multiplie toujours par la même raison q). Le test simple : calcule uₙ₊₁ − uₙ (constant ⇒ arithmétique) ou uₙ₊₁ / uₙ (constant ⇒ géométrique).

Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r : S = u₀ + u₁ + … + uₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2. Cas célèbre : 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2.

Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite géométrique ?

Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ≠ 1 : S = u₀ + u₁ + … + uₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q).

Quelles fonctions Python faut-il maîtriser pour l'épreuve anticipée Première ?

Trois fonctions couvrent 95 % des questions Python sur les suites : (1) le calcul d'un terme particulier d'une suite récurrente avec une boucle for, (2) le calcul d'une somme avec une boucle for cumulative, (3) la recherche du premier terme dépassant un seuil avec une boucle while.

Combien de temps faut-il pour réviser efficacement les suites en Première ?

Le plan Majorant fonctionne sur 6 semaines : 2 semaines de cours et exercices d'application, 2 semaines dédiées à la démonstration par récurrence, 2 semaines d'annales chronométrées et travail sur la rédaction. Soit environ 18 séances d'1 heure.

Faut-il prendre des cours particuliers pour les suites en Première ?

Trois cas où c'est rentable : tu rates 50 % des exercices et tu plafonnes à 10/20, tu vises 18-20 à l'épreuve anticipée et la rédaction n'est pas verrouillée, ou tu prépares MPSI/PCSI où les suites sont fondamentales. Notre guide cours particuliers maths Première détaille la stratégie complète.