Bac maths Terminale 2026 : primitives et calcul intégral

Le calcul intégral effraie souvent plus qu'il ne le devrait. Chez Majorant, nos mentors — issus de Polytechnique, l'ENS, CentraleSupélec et Mines Paris — observent que ce chapitre est l'un des plus rentables du programme de spécialité maths, parce qu'il repose sur un petit nombre de réflexes solides et reproductibles. Léa M., mentore Majorant passée par l'ENS Ulm, le résume ainsi : « une intégrale, c'est d'abord une primitive à trouver, puis une soustraction propre ». Dans cet article, nous allons reconstruire tout le chapitre dans l'ordre où il devient limpide : la notion de primitive, le tableau des primitives usuelles, le lien entre intégrale et aire, les trois propriétés fondamentales, l'intégration par parties, la valeur moyenne, un exemple corrigé de type bac, les erreurs classiques et un plan de révision concret.

Qu'est-ce qu'une primitive et pourquoi ça précède l'intégrale ?

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F'(x) = f(x) pour tout x de I. Autrement dit, primitiver, c'est faire l'opération inverse de dériver. Si vous savez que la dérivée de x² est 2x, alors une primitive de 2x est x².

Le point crucial que beaucoup d'élèves oublient : une fonction n'a pas une seule primitive, mais une infinité, qui diffèrent toutes d'une constante. Si F est une primitive de f, alors F + k (avec k réel quelconque) en est aussi une, puisque la dérivée d'une constante est nulle. C'est pourquoi on écrit souvent la primitive « générale » sous la forme F(x) + C.

Pourquoi commencer par les primitives avant de parler d'intégrale ? Parce que le théorème fondamental de l'analyse relie les deux : si F est une primitive de f sur [a ; b], alors l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). Sans primitive, pas de calcul d'intégrale « à la main ». Maîtriser les primitives, c'est donc débloquer tout le reste du chapitre.

Quel est le tableau des primitives usuelles à connaître par cœur ?

Ce tableau est votre boîte à outils. Il doit être su sans hésitation : au bac, on n'a pas le temps de le reconstruire. Voici les primitives à mémoriser (C désigne une constante réelle quelconque).

Fonction f(x)	Une primitive F(x)	Intervalle
a (constante)	a·x	ℝ
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹ / (n+1)	ℝ
1/x²	−1/x	]0 ; +∞[ ou ]−∞ ; 0[
1/√x	2√x	]0 ; +∞[
1/x	ln(x)	]0 ; +∞[
eˣ	eˣ	ℝ
eᵃˣ	(1/a)·eᵃˣ	ℝ
cos(x)	sin(x)	ℝ
sin(x)	−cos(x)	ℝ

À ce tableau de base s'ajoutent les formules composées, qui font la différence entre un élève moyen et un élève solide :

• •u'·uⁿ a pour primitive uⁿ⁺¹ / (n+1)
• •u'/u a pour primitive ln(u) (quand u > 0)
• •u'·eᵘ a pour primitive eᵘ
• •u'/√u a pour primitive 2√u
• •u'/u² a pour primitive −1/u

Comment l'intégrale se relie-t-elle à une aire ?

Pour une fonction f continue et positive sur [a ; b], l'intégrale de f entre a et b est l'aire, exprimée en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. C'est la définition géométrique fondatrice du chapitre.

Cette lecture géométrique explique plusieurs propriétés immédiatement :

1. •Si f est positive, l'intégrale est positive. Si f est négative, l'intégrale est négative : elle compte l'aire « en dessous de l'axe » avec un signe moins.
2. •L'intégrale de a à a vaut 0 (aire d'une région de largeur nulle).
3. •Si l'on inverse les bornes, l'intégrale change de signe : intégrale de b à a = − intégrale de a à b.

Le calcul, lui, passe toujours par une primitive. On note souvent le résultat avec les crochets : [F(x)] entre a et b = F(b) − F(a). Concrètement, l'intégrale de 2x entre 0 et 3 vaut [x²] de 0 à 3 = 3² − 0² = 9.

Que disent la linéarité et la relation de Chasles ?

Ce sont les deux propriétés de calcul qui reviennent à chaque sujet. Elles permettent de découper et de simplifier presque toutes les intégrales du bac.

La linéarité

Pour deux fonctions f et g continues sur [a ; b] et deux réels α et β :

• •intégrale de (f + g) = intégrale de f + intégrale de g
• •intégrale de (α·f) = α × intégrale de f

Plus généralement, l'intégrale de (α·f + β·g) = α × intégrale de f + β × intégrale de g. En pratique, cela signifie que vous pouvez sortir les constantes multiplicatives et séparer une somme terme à terme. C'est ce qui rend calculable une intégrale comme celle de (3eˣ + 2x − 1) : on primitive chaque morceau séparément.

La relation de Chasles

Pour a, b, c dans un intervalle où f est continue :

intégrale de a à c = (intégrale de a à b) + (intégrale de b à c)

C'est l'outil qui sert à découper un intervalle, notamment lorsque la fonction change de signe ou de forme. Si f est positive sur [a ; b] et négative sur [b ; c], on calcule l'aire totale en séparant les deux morceaux et en prenant les valeurs absolues.

Propriété	Formule	À quoi ça sert
Linéarité (somme)	∫(f+g) = ∫f + ∫g	Séparer une somme
Linéarité (constante)	∫(α·f) = α·∫f	Sortir un facteur
Chasles	∫ₐᶜ = ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ	Découper un intervalle
Inversion des bornes	∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ	Corriger un signe

Comment fonctionne l'intégration par parties au bac 2026 ?

L'intégration par parties (IPP) est au programme de spécialité maths en Terminale. Elle sert à intégrer un produit de deux fonctions quand aucune primitive directe ne saute aux yeux — typiquement des produits du type x·eˣ, x·ln(x) ou x·cos(x).

La formule repose sur la dérivée d'un produit. Pour u et v dérivables à dérivées continues sur [a ; b] :

intégrale de a à b de (u'·v) = [u·v] de a à b − intégrale de a à b de (u·v')

Autrement dit, on transforme l'intégrale d'un produit en un terme « tout intégré » [u·v] moins une nouvelle intégrale, choisie pour être plus simple que la première.

La méthode en trois temps

1. •Identifier u' et v : on choisit v de sorte que sa dérivée v' simplifie l'intégrale, et u' de sorte qu'on sache primitiver pour obtenir u. Règle pratique : quand ln(x) apparaît, on le prend comme v (car sa dérivée 1/x « casse » le logarithme).
2. •Écrire proprement u, u', v, v' sur le brouillon avant d'appliquer la formule.
3. •Appliquer la formule et calculer la nouvelle intégrale, souvent immédiate.

Exemple : intégrale de x·eˣ entre 0 et 1

On pose v = x (donc v' = 1) et u' = eˣ (donc u = eˣ). La formule donne :

intégrale = [x·eˣ] de 0 à 1 − intégrale de 0 à 1 de eˣ = (1·e¹ − 0) − [eˣ] de 0 à 1 = e − (e − 1) = 1.

Le résultat vaut donc 1. Remarquez comme le choix de v = x était stratégique : sa dérivée valant 1, la seconde intégrale devient triviale.

Qu'est-ce que la valeur moyenne d'une fonction ?

La valeur moyenne d'une fonction f continue sur [a ; b] (avec a < b) est le réel :

m = (1 / (b − a)) × intégrale de a à b de f(x) dx

Géométriquement, m est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui aurait la même aire que celle sous la courbe de f. C'est la « moyenne continue » des valeurs prises par f, à distinguer d'une moyenne de quelques nombres.

Cette notion tombe régulièrement, souvent en contexte concret : valeur moyenne d'une température, d'une intensité, d'une population sur une période. La méthode est toujours la même : on calcule d'abord l'intégrale via une primitive, puis on divise par la longueur de l'intervalle (b − a). L'erreur fréquente est d'oublier cette division finale.

Exemple : la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3] vaut (1/3) × intégrale de 0 à 3 de x² = (1/3) × [x³/3] de 0 à 3 = (1/3) × (27/3) = (1/3) × 9 = 3.

Comment calculer une aire entre deux courbes ?

Le calcul d'aire est l'application phare du chapitre, très présente dans les sujets de bac. Deux cas à connaître.

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses. Si f est positive sur [a ; b], l'aire vaut simplement l'intégrale de f. Si f change de signe, on découpe avec Chasles et on somme les aires en valeur absolue.

Aire entre deux courbes. Si f et g sont continues sur [a ; b] avec f au-dessus de g (c'est-à-dire f(x) ≥ g(x) sur tout l'intervalle), l'aire entre les deux courbes vaut :

aire = intégrale de a à b de (f(x) − g(x)) dx

La méthode complète tient en quatre étapes :

1. •Déterminer les bornes : souvent les abscisses des points d'intersection, obtenues en résolvant f(x) = g(x).
2. •Déterminer quelle courbe est au-dessus sur l'intervalle (étude de signe de f − g, ou lecture graphique justifiée).
3. •Intégrer la différence (fonction du dessus moins fonction du dessous).
4. •Conclure en unités d'aire, puis convertir si l'énoncé donne les unités des axes.

À quoi ressemble un exercice corrigé de type bac ?

Prenons un énoncé représentatif de ce qui tombe en spécialité maths.

Énoncé. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x + 1)·eˣ.

1. •Vérifier que la fonction F définie par F(x) = x·eˣ est une primitive de f sur ℝ.
2. •En déduire la valeur exacte de l'intégrale I de f(x) entre 0 et 1.
3. •Interpréter graphiquement le résultat.

Corrigé rédigé.

Question 1. F est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables. On dérive F(x) = x·eˣ avec la formule (u·v)' = u'·v + u·v', où u = x et v = eˣ. On obtient F'(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)·eˣ = (x + 1)·eˣ = f(x). Comme F' = f sur ℝ, F est bien une primitive de f sur ℝ.

Question 2. Puisque F est une primitive de f, le théorème fondamental donne : I = [F(x)] de 0 à 1 = F(1) − F(0). On calcule F(1) = 1·e¹ = e et F(0) = 0·e⁰ = 0. Donc I = e − 0 = e. La valeur exacte de l'intégrale est e.

Question 3. La fonction f est positive sur [0 ; 1] (produit de (x + 1) ≥ 0 et de eˣ > 0). Donc I représente, en unités d'aire, l'aire de la région comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1. Cette aire vaut e ≈ 2,72 u.a.

Ce qui fait gagner tous les points ici : justifier la dérivabilité, rédiger la dérivée sans sauter d'étape, et justifier la positivité avant l'interprétation en aire. C'est exactement le niveau d'exigence attendu par les correcteurs du bac 2026.

Quelles sont les erreurs classiques à éviter absolument ?

Nos mentors voient revenir presque toujours les mêmes fautes. Les repérer à l'avance vous évite de perdre des points bêtes.

• •Le signe de −cos. La primitive de sin(x) est −cos(x), pas cos(x). Symétriquement, la dérivée de cos est −sin. Une inattention ici fausse tout le calcul.
• •L'inversion des bornes. Écrire F(a) − F(b) au lieu de F(b) − F(a). Le résultat sort avec le signe opposé. Vérifiez toujours l'ordre : borne du haut moins borne du bas.
• •Oublier la division par (b − a) dans la valeur moyenne. On calcule l'intégrale et on s'arrête, en oubliant le facteur 1/(b − a).
• •Confondre aire et intégrale quand f change de signe. Sans découpage ni valeur absolue, l'aire est fausse.
• •Le signe moins de l'IPP mal distribué sur le crochet ou sur la seconde intégrale.
• •La forme u'/u : oublier que la primitive est ln(u) uniquement quand u > 0, et négliger de vérifier le signe de u sur l'intervalle.
• •Le facteur constant de eᵃˣ : la primitive de e²ˣ est (1/2)·e²ˣ, pas e²ˣ. On oublie souvent le 1/a.

Comment réviser efficacement ce chapitre en 3 semaines ?

Voici le plan que nous conseillons chez Majorant pour transformer ce chapitre en points sûrs, à raison d'environ une heure par jour.

Phase	Durée	Objectif	Contenu
Socle	Semaine 1	Automatiser le tableau	Réciter le tableau des primitives usuelles + formes u'·uⁿ, u'/u, u'·eᵘ chaque jour ; 5 primitives simples par jour
Propriétés	Semaine 2	Linéarité, Chasles, aires	3 intégrales par jour ; 2 calculs d'aire entre courbes ; valeur moyenne
Épreuve	Semaine 3	IPP + sujets bac	1 IPP par jour ; 2 exercices type bac complets et chronométrés

Trois principes guident ce planning. D'abord, la régularité : mieux vaut 20 minutes chaque jour que 3 heures le dimanche. Ensuite, la rédaction : entraînez-vous à écrire les justifications (dérivabilité, positivité, unités d'aire), car le bac note la rigueur autant que le résultat. Enfin, le chronométrage en semaine 3, pour ne pas découvrir la pression le jour J.

Ce chapitre ne vit pas isolé. Il s'appuie directement sur la dérivation et la convexité, puisque primitiver c'est dériver à l'envers, et sur la maîtrise de l'exponentielle et du logarithme, omniprésents dans les intégrales du bac. Pour une vue d'ensemble des attendus, consultez notre guide du programme de spécialité maths Terminale 2026. Et si vous visez le haut du tableau, notre méthode pour obtenir une mention très bien replace ce chapitre dans une stratégie globale.

Notre conseil final pour maîtriser les primitives et intégrales

Trois règles à graver avant l'épreuve :

1. •Le tableau des primitives se sait par cœur, sans réfléchir. C'est le socle non négociable de tout le chapitre.
2. •Vérifiez chaque primitive en la dérivant. Ce geste de trente secondes élimine la majorité des erreurs de signe.
3. •Séparez toujours intégrale et aire : dès que la fonction change de signe, découpez et prenez la valeur absolue.

Le calcul intégral récompense la méthode et la régularité bien plus que le « talent ». En automatisant le tableau, en soignant vos justifications et en vous entraînant sur des sujets réels, vous transformez un chapitre réputé difficile en réservoir de points fiables. Chez Majorant, nos mentors passés par l'ENS, Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris construisent avec chaque élève ces réflexes durables, sans magie, juste avec une progression claire. Vous avez toutes les cartes en main : à vous de jouer, sereinement, jusqu'au jour J.

FAQ

Comment trouver une primitive facilement ?

Commencez par reconnaître la forme. Demandez-vous si f ressemble à une fonction usuelle du tableau ou à une forme composée (u'·eᵘ, u'/u, u'·uⁿ). Repérez le u, vérifiez que le u' est présent au facteur constant près, puis appliquez la formule. Dans le doute, dérivez votre candidate pour vérifier.

Quelle est la différence entre une primitive et une intégrale ?

Une primitive est une fonction, une intégrale est un nombre. La primitive F vérifie F' = f et existe « à une constante près ». L'intégrale de f entre a et b est le nombre F(b) − F(a), qui s'interprète comme une aire quand f est positive. On utilise la primitive pour calculer l'intégrale.

L'intégration par parties est-elle au programme du bac 2026 ?

Oui, l'intégration par parties fait partie du programme de spécialité maths en Terminale. Elle sert à intégrer des produits comme x·eˣ ou x·ln(x). La formule est ∫u'·v = [u·v] − ∫u·v'. Attention au signe moins devant la seconde intégrale, qui est l'erreur la plus fréquente.

Comment calculer l'aire sous une courbe au bac ?

Si la fonction est positive sur l'intervalle, l'aire est simplement l'intégrale de la fonction. Vous cherchez une primitive, vous appliquez F(b) − F(a) et vous concluez en unités d'aire. Si la fonction change de signe, découpez l'intervalle avec la relation de Chasles et sommez les aires en valeur absolue.

Qu'est-ce que la valeur moyenne d'une fonction et comment la calculer ?

C'est la hauteur du rectangle de même aire que celle sous la courbe, égale à (1/(b−a)) fois l'intégrale de f sur [a ; b]. On calcule d'abord l'intégrale via une primitive, puis on divise par la longueur b − a de l'intervalle. L'erreur classique est d'oublier cette division finale.

Pourquoi ajoute-t-on une constante à une primitive ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Si F est une primitive de f, alors F + k en est aussi une pour tout réel k. On écrit donc la primitive générale sous la forme F(x) + C. Pour calculer une intégrale définie, cette constante disparaît dans la soustraction.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes en calcul intégral ?

Les trois plus coûteuses sont l'oubli d'un signe, l'inversion des bornes et la confusion entre aire et intégrale. On oublie souvent le −cos comme primitive de sin, le facteur 1/a pour eᵃˣ, et le signe moins de l'IPP. Vérifier chaque primitive par dérivation élimine la plupart de ces fautes.

Combien de temps faut-il pour maîtriser les primitives et intégrales ?

Avec un travail régulier, trois semaines suffisent à sécuriser ce chapitre pour le bac. Comptez une semaine pour automatiser le tableau des primitives, une pour les propriétés et les aires, une pour l'intégration par parties et les sujets chronométrés. La clé est la régularité quotidienne plutôt que les longues séances espacées.