🎯 En bref
La dérivation et la convexité forment l'un des chapitres les plus rentables du programme de spécialité maths en Terminale : on les retrouve dans presque tous les sujets du bac 2026, souvent pour 6 à 10 points répartis entre étude de variations, dérivée seconde et point d'inflexion. Ce qu'il faut maîtriser tient en trois blocs : les formules de dérivation (produit, quotient, composée), le lien entre le signe de f'' et la convexité, et la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Avec une méthode carrée, ce chapitre devient un réservoir de points quasi automatiques.
ℹ️ Info
Dans le programme officiel de spécialité mathématiques, la convexité est une notion introduite en Terminale (elle n'existait pas dans l'ancien programme au même niveau). C'est donc un chapitre relativement récent que beaucoup d'élèves sous-estiment, alors que les correcteurs l'attendent explicitement.
💡 Conseil
Astuce de mentor : pour le quotient, mémorisez l'ordre « haut-bas moins bas-haut » — u'v vient en premier, uv' ensuite, le tout sur v². L'erreur numéro un au bac, c'est d'inverser les deux termes du numérateur et d'obtenir un signe faux qui fait basculer tout le tableau de variations.
💡 Conseil
Le réflexe qui sauve : à chaque composée, posez explicitement « u = … » et « u' = … » au brouillon avant d'écrire la dérivée finale. Cette seconde de discipline vous évite d'oublier le facteur u'(x), qui est l'oubli le plus fréquent et le plus pénalisé.
ℹ️ Info
Attention au vocabulaire : f' renseigne sur la croissance de f, tandis que f'' renseigne sur la convexité de f. Une fonction peut très bien être croissante et concave, ou décroissante et convexe : les deux informations sont indépendantes. Les confondre est l'erreur conceptuelle la plus courante du chapitre.
💡Bloquez sur les études de fonctions ? Un mentor Majorant vous fait construire un tableau de variations impeccable en une séance, méthode à l'appui.
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Piège classique : f''(x) = 0 ne suffit pas à conclure à un point d'inflexion. Il faut impérativement le changement de signe de f''. Contre-exemple : pour f(x) = x⁴, f''(x) = 12x² s'annule en 0 mais reste positive de part et d'autre — il n'y a donc pas de point d'inflexion, la fonction reste convexe.
💡Envie de sécuriser les questions difficiles de fin d'exercice ? Nos stages de révision ciblent précisément les inégalités et positions de courbes qui font la différence.
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Remarquez le réflexe : à chaque étape, on factorise par eˣ (toujours strictement positif) pour ramener l'étude de signe à celle d'un simple trinôme du second degré. Ce geste transforme un exercice qui paraît lourd en un enchaînement de sous-questions déjà connues. C'est exactement la logique de décomposition que nos mentors installent.
Chaque année, nos mentors Majorant — issus de l'ENS, de Polytechnique, de CentraleSupélec et de Mines Paris — voient les mêmes élèves buter sur des questions qui ne demandent pourtant qu'un réflexe bien installé. La dérivation et la convexité sont exactement ce type de chapitre : techniques, répétitifs, et donc extrêmement rentables quand la méthode est propre. Je suis Léa, ancienne élève de l'ENS Ulm, et j'ai accompagné des dizaines de Terminales spécialité maths sur ce point précis. Dans cet article, je vous donne le programme exact à maîtriser, les formules à automatiser, un exemple corrigé de niveau bac entièrement détaillé, les erreurs qui coûtent le plus de points, et un plan de révision réaliste pour transformer ce chapitre en machine à points.
Pourquoi le chapitre dérivation et convexité est-il incontournable au bac maths 2026 ?
La dérivation et la convexité ne sont pas un chapitre isolé : c'est un outil transversal qui irrigue tout le programme de Terminale. Dès qu'un sujet vous demande d'étudier une fonction — exponentielle, logarithme, fonction rationnelle — vous allez dériver, dresser un tableau de variations, et souvent analyser la convexité. C'est le socle technique commun à la quasi-totalité des exercices d'analyse.
Concrètement, ce chapitre vous sert à répondre à trois grandes familles de questions :
- •Étudier les variations d'une fonction (croissance, décroissance, extremums) via le signe de la dérivée f'.
- •Étudier la forme de la courbe (convexité, concavité, point d'inflexion) via le signe de la dérivée seconde f''.
- •Justifier des inégalités ou des positions relatives (courbe au-dessus/en dessous d'une tangente), ce qui tombe très régulièrement en fin d'exercice.
Autrement dit, réviser la dérivation et la convexité, ce n'est pas réviser un chapitre parmi d'autres : c'est réviser la grammaire de l'analyse. Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'épreuve, notre guide sur le programme et la stratégie de la spécialité maths en Terminale vous donne la vue d'ensemble.
Impossible de faire ce chapitre sans automatiser les dérivées usuelles et les règles de calcul. Voici le tableau de référence à savoir restituer instantanément.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine |
|---|
| xⁿ (n entier) | n·xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | −1/x² | x ≠ 0 |
| √x | 1/(2√x) | x > 0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln(x) | 1/x | x > 0 |
| cos(x) | −sin(x) | ℝ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
À ces dérivées usuelles s'ajoutent les règles de dérivation qui font toute la difficulté du chapitre :
- •Somme : (u + v)' = u' + v'
- •Produit : (u × v)' = u'v + uv'
- •Quotient : (u/v)' = (u'v − uv') / v²
- •Composée : (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x))
Les cas particuliers qui tombent souvent
Deux composées reviennent presque à chaque sujet et méritent d'être connues comme des réflexes :
- •Dérivée de e^(u(x)) : c'est u'(x) × e^(u(x)). Par exemple, la dérivée de e^(3x²) est 6x × e^(3x²).
- •Dérivée de ln(u(x)) : c'est u'(x)/u(x). Par exemple, la dérivée de ln(x² + 1) est 2x/(x² + 1).
Ces deux formules combinent la règle de la composée avec les dérivées de eˣ et ln(x). Si elles ne sont pas automatiques, tout le chapitre exponentielle-logarithme devient laborieux — d'où l'intérêt de les travailler en lien avec notre méthode dédiée à l'exponentielle et au logarithme au bac 2026.
La dérivée d'une fonction composée est le point qui départage les copies. La formule (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)) fait peur, mais elle s'applique avec une méthode en trois temps que je fais répéter à tous mes élèves.
La méthode « pelure d'oignon »
Une fonction composée, c'est une fonction « emboîtée » dans une autre. On dérive de l'extérieur vers l'intérieur.
- •Identifier la fonction extérieure g et la fonction intérieure u. Pour f(x) = (2x + 3)⁵, l'extérieur est « puissance 5 » et l'intérieur est u(x) = 2x + 3.
- •Dériver l'extérieur en gardant l'intérieur intact : g'(u) = 5·(2x + 3)⁴.
- •Multiplier par la dérivée de l'intérieur : u'(x) = 2.
Résultat : f'(x) = 2 × 5 × (2x + 3)⁴ = 10·(2x + 3)⁴.
Un deuxième exemple concret
Prenons f(x) = √(x² + 1). L'extérieur est la racine, l'intérieur est u(x) = x² + 1.
- •Dérivée de l'extérieur : 1/(2√(x² + 1)).
- •Dérivée de l'intérieur : u'(x) = 2x.
- •On multiplie : f'(x) = 2x / (2√(x² + 1)) = x/√(x² + 1).
La dérivée seconde, notée f'', est tout simplement la dérivée de la dérivée. On calcule d'abord f', puis on dérive à nouveau f' pour obtenir f''. Elle ne sert pas à étudier les variations de f, mais la forme de sa courbe : c'est l'outil de la convexité.
Prenons f(x) = x³ − 3x. Alors :
- •f'(x) = 3x² − 3 (utile pour les variations).
- •f''(x) = 6x (utile pour la convexité).
Le signe de f''(x) va nous dire si la courbe « tourne » vers le haut ou vers le bas. C'est le pont direct entre le calcul de dérivées et l'étude de convexité que nous détaillons juste après.
L'étude de variations est le squelette de la plupart des exercices d'analyse. Voici la méthode complète, dans l'ordre exact attendu par un correcteur.
- •Déterminer l'ensemble de définition de f (et vérifier les valeurs interdites : dénominateur nul, racine d'un négatif, ln d'un nombre ≤ 0).
- •Calculer f'(x) en appliquant proprement les règles de dérivation.
- •Étudier le signe de f'(x) : factoriser, résoudre f'(x) = 0, déterminer les intervalles où f' est positive ou négative.
- •Dresser le tableau de variations : f est croissante là où f' > 0, décroissante là où f' < 0.
- •Préciser les extremums et, si l'énoncé le demande, les limites aux bornes.
Le lien entre f' et le tableau
Le tableau de variations n'est pas de la décoration : c'est la preuve rédigée de votre raisonnement. Chaque flèche de variation doit être justifiée par le signe de f' sur l'intervalle correspondant. Un extremum local apparaît exactement là où f'(x) s'annule en changeant de signe — un point clé sur lequel les correcteurs sont intransigeants. La compréhension fine des limites aux bornes complète ce travail : notre article sur les limites et la continuité au bac 2026 vous aide à finaliser proprement ces tableaux.
Qu'est-ce que la convexité et la concavité d'une fonction ?
Voici le cœur nouveau du chapitre. Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe est « tournée vers le haut » — elle a la forme d'une vallée, comme x². Elle est concave lorsque sa courbe est « tournée vers le bas » — la forme d'une colline, comme −x² ou ln.
La définition géométrique retenue au lycée est simple à visualiser :
- •f convexe : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes (et une corde reliant deux points de la courbe est au-dessus de la courbe).
- •f concave : la courbe est en dessous de chacune de ses tangentes (et une corde est en dessous de la courbe).
Le critère par la dérivée seconde
Le résultat central à connaître — et à savoir citer au bac — relie le signe de f'' à la convexité :
| Signe de f''(x) sur I | Nature de f sur I |
|---|
| f''(x) ≥ 0 | f est convexe |
| f''(x) ≤ 0 | f est concave |
Autre lecture équivalente, souvent demandée : f est convexe si et seulement si f' est croissante, et concave si et seulement si f' est décroissante. C'est cohérent, puisque f' croissante ⟺ (f')' = f'' ≥ 0.
Reprenons f(x) = x³ − 3x avec f''(x) = 6x :
- •Pour x < 0 : f''(x) < 0, donc f est concave sur ]−∞ ; 0[.
- •Pour x > 0 : f''(x) > 0, donc f est convexe sur ]0 ; +∞[.
Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité : elle passe de convexe à concave, ou l'inverse. C'est le point où la courbe « change de sens de courbure », et où la tangente traverse la courbe.
La méthode pour le déterminer est directe :
- •Calculer f''(x).
- •Chercher les valeurs où f''(x) s'annule.
- •Vérifier que f'' change de signe de part et d'autre de cette valeur.
- •Si le signe change, il y a un point d'inflexion ; sinon, non.
Pour f(x) = x³ − 3x : f''(x) = 6x s'annule en x = 0, et change bien de signe (négatif avant, positif après). Le point d'abscisse 0 est donc un point d'inflexion, de coordonnées (0 ; f(0)) = (0 ; 0).
Quel est le lien entre la position d'une courbe et ses tangentes ?
C'est souvent la dernière question d'un exercice, celle qui rapporte les points de la mention. On vous demande de prouver que la courbe est au-dessus (ou en dessous) d'une tangente donnée, ou d'une autre courbe.
L'équation de la tangente
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y = f'(a)·(x − a) + f(a)
C'est une formule à connaître par cœur : elle combine la valeur de la fonction f(a) et la pente f'(a).
Étudier la position : la méthode du signe de la différence
Pour comparer la courbe de f et une droite (ou une autre courbe) d'équation y = g(x), on étudie le signe de la différence d(x) = f(x) − g(x).
- •Si d(x) ≥ 0 sur I, la courbe de f est au-dessus de g sur I.
- •Si d(x) ≤ 0 sur I, la courbe de f est en dessous de g sur I.
La convexité offre un raccourci puissant : une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes. Donc si vous avez déjà prouvé que f est convexe sur I, vous pouvez conclure directement que sa courbe est au-dessus de n'importe quelle tangente sur I, sans refaire l'étude de signe. Ce type de raisonnement est exactement ce que valorisent les correcteurs, et ce que nous travaillons dans nos stages intensifs.
Exemple corrigé type bac : étude complète d'une fonction
Passons à la pratique avec un exercice représentatif du bac 2026. Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x² − 2x)·eˣ. On étudie ses variations, sa convexité et un éventuel point d'inflexion.
Étape 1 — Calcul de f'(x)
f est un produit u × v avec u(x) = x² − 2x et v(x) = eˣ. Donc u'(x) = 2x − 2 et v'(x) = eˣ.
f'(x) = u'v + uv' = (2x − 2)·eˣ + (x² − 2x)·eˣ
On factorise par eˣ :
f'(x) = eˣ·(x² − 2x + 2x − 2) = eˣ·(x² − 2)
Étape 2 — Signe de f'(x) et variations
Comme eˣ > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de x² − 2. Or x² − 2 = 0 ⟺ x = −√2 ou x = √2.
- •Sur ]−∞ ; −√2[ : x² − 2 > 0, donc f' > 0, f croissante.
- •Sur ]−√2 ; √2[ : x² − 2 < 0, donc f' < 0, f décroissante.
- •Sur ]√2 ; +∞[ : x² − 2 > 0, donc f' > 0, f croissante.
f admet donc un maximum local en x = −√2 et un minimum local en x = √2.
Étape 3 — Calcul de f''(x)
On dérive f'(x) = eˣ·(x² − 2), à nouveau un produit :
f''(x) = eˣ·(x² − 2) + eˣ·(2x) = eˣ·(x² + 2x − 2)
Étape 4 — Convexité et point d'inflexion
Le signe de f''(x) est celui de x² + 2x − 2. Résolvons x² + 2x − 2 = 0 : le discriminant vaut Δ = 4 + 8 = 12, donc les racines sont x = (−2 ± 2√3)/2 = −1 ± √3.
Posons a = −1 − √3 et b = −1 + √3.
- •Sur ]−∞ ; a[ : x² + 2x − 2 > 0, donc f convexe.
- •Sur ]a ; b[ : x² + 2x − 2 < 0, donc f concave.
- •Sur ]b ; +∞[ : x² + 2x − 2 > 0, donc f convexe.
f'' change de signe en a et en b : la courbe admet donc deux points d'inflexion, d'abscisses −1 − √3 et −1 + √3.
Quelles sont les erreurs classiques à éviter le jour J ?
Voici les fautes que je corrige le plus souvent, celles qui font perdre des points faciles alors que le raisonnement est presque juste.
- •Oublier le facteur u'(x) dans une dérivée composée. C'est l'erreur reine : écrire la dérivée de e^(3x²) comme e^(3x²) au lieu de 6x·e^(3x²).
- •Inverser le numérateur du quotient : écrire (uv' − u'v)/v² au lieu de (u'v − uv')/v². Le signe faux contamine tout le tableau.
- •Confondre f' et f'' : utiliser le signe de f' pour parler de convexité, ou celui de f'' pour parler de variations.
- •Conclure à un point d'inflexion dès que f''(x) = 0, sans vérifier le changement de signe.
- •Oublier de préciser l'ensemble de définition, notamment les valeurs interdites pour un quotient ou un logarithme.
- •Négliger la rédaction : un tableau de variations sans justification du signe de f', ou une convexité affirmée sans citer le critère « f'' ≥ 0 ».
La bonne nouvelle, c'est que ce chapitre se travaille par répétition ciblée. Voici le plan de révision sur trois semaines que je recommande à mes élèves.
| Semaine | Objectif | Travail concret |
|---|
| Semaine 1 | Automatiser les formules | Refaire 20 dérivées usuelles + composées chaque jour, sans notes |
| Semaine 2 | Enchaîner les études complètes | 1 étude de fonction complète par jour (variations + convexité) |
| Semaine 3 | Sujets de bac chronométrés | 3 exercices type bac en conditions réelles, puis auto-correction |
Quelques principes qui font la différence :
- •Commencez par les formules pures. Tant que les dérivées composées ne sont pas des réflexes, inutile d'attaquer les études complètes : vous perdrez du temps sur la mécanique.
- •Rédigez toujours en entier, même à l'entraînement. Le bac évalue la rédaction autant que le résultat.
- •Auto-corrigez sévèrement : chaque point perdu doit être identifié et reclassé dans votre liste d'erreurs personnelles.
Ce chapitre est aussi un excellent tremplin vers les primitives et intégrales, puisque primitiver, c'est l'opération inverse de dériver. Le travailler sérieusement, c'est donc préparer plusieurs chapitres à la fois.
Notre conseil final pour maîtriser la dérivation et la convexité
Trois règles simples à graver avant l'épreuve :
- •Automatisez les quatre règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée) jusqu'à ne plus réfléchir.
- •Séparez toujours f' et f'' : f' pour les variations, f'' pour la convexité — jamais l'inverse.
- •Justifiez chaque conclusion : signe de la dérivée, changement de signe pour l'inflexion, critère cité pour la convexité.
La dérivation et la convexité récompensent la rigueur méthodique bien plus que le talent. Un élève moyen qui applique proprement la méthode « pelure d'oignon », factorise systématiquement, et rédige ses tableaux avec justification, marque presque tous les points de ce chapitre. C'est précisément ce que nous constatons chez Majorant : les progrès sur l'analyse sont parmi les plus rapides et les plus visibles, parce qu'ils reposent sur des gestes reproductibles. Installez ces réflexes maintenant, et vous aborderez le bac 2026 avec un chapitre entier déjà sécurisé — un vrai levier vers la mention très bien.
FAQ
Quelle est la différence entre dérivée première et dérivée seconde au bac ?
La dérivée première f' renseigne sur les variations de f, la dérivée seconde f'' sur sa convexité. On étudie le signe de f' pour savoir où f croît ou décroît, et le signe de f'' pour savoir où la courbe est convexe ou concave. Les deux études sont indépendantes et se mènent séparément.
On calcule f'' et on étudie son signe : f'' ≥ 0 signifie convexe, f'' ≤ 0 signifie concave. Géométriquement, une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes (forme de vallée), et une fonction concave a sa courbe en dessous (forme de colline). C'est le critère central du chapitre.
Un point d'inflexion existe là où f'' s'annule en changeant de signe. On cherche donc les solutions de f''(x) = 0, puis on vérifie impérativement que f'' change bien de signe de part et d'autre. Sans changement de signe (comme pour x⁴ en 0), il n'y a pas de point d'inflexion.
On applique la formule (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)), en dérivant de l'extérieur vers l'intérieur. La méthode « pelure d'oignon » consiste à dériver la fonction extérieure en gardant l'intérieur intact, puis à multiplier par la dérivée de l'intérieur. Le facteur u'(x) est celui qu'on oublie le plus souvent.
La dérivée de u/v est (u'v − uv')/v². L'ordre du numérateur est crucial : d'abord u'v, puis on soustrait uv'. Inverser les deux termes donne un signe faux qui fausse tout le tableau de variations, c'est l'erreur la plus fréquente au bac.
La convexité tombe-t-elle vraiment au bac maths 2026 ?
Oui, la convexité fait partie du programme officiel de spécialité maths en Terminale et est régulièrement évaluée. Elle apparaît souvent en seconde partie d'exercice d'analyse, à travers l'étude du signe de f'', la recherche de points d'inflexion, ou la position d'une courbe par rapport à ses tangentes. C'est un chapitre que les correcteurs attendent explicitement.
On étudie le signe de la différence d(x) = f(x) − y_tangente, ou on invoque la convexité de f. Si d(x) ≥ 0, la courbe est au-dessus ; si d(x) ≤ 0, elle est en dessous. Raccourci puissant : une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes, ce qui permet de conclure sans calcul de signe.
Combien de temps faut-il pour maîtriser la dérivation et la convexité ?
Comptez environ trois semaines de travail régulier pour automatiser les formules puis enchaîner les études complètes. La première semaine sert à ancrer les dérivées composées, la deuxième à mener des études de fonction entières, la troisième à s'entraîner sur des sujets de bac chronométrés. Un accompagnement ciblé peut réduire nettement ce délai en corrigeant vos erreurs récurrentes.
