🎯 En bref
Le chapitre fonction exponentielle et logarithme népérien est l'un des plus rentables du programme de spécialité maths Terminale : chez Majorant, on l'observe dans la quasi-totalité des sujets, souvent pour 4 à 6 points. L'essentiel tient en une poignée de propriétés algébriques (eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, ln(ab) = ln a + ln b), les dérivées (eˣ)' = eˣ et (ln x)' = 1/x, les croissances comparées et les limites usuelles. Maîtriser le domaine de définition de ln et la manipulation des puissances fait gagner 2 à 3 points immédiatement.
ℹ️ Info
Chez Majorant, on observe que ce chapitre concentre une part importante des points d'analyse du Bac : un élève qui le sécurise entièrement gagne en général plusieurs points sur l'ensemble de l'épreuve, car exp et ln réapparaissent dans les autres exercices.
💡 Conseil
Astuce de mentor Majorant : quand une équation mélange exp et ln, ton réflexe est de « composer » pour éliminer l'une des deux. Tu as du ln ? Applique exp aux deux membres. Tu as du eˣ ? Applique ln. Ces deux fonctions s'annulent mutuellement, c'est ton levier principal.
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Ces limites doivent être citées comme des résultats de cours. Au Bac, tu écris « par croissances comparées, lim (x→+∞) eˣ/x = +∞ » : c'est une justification acceptée et attendue, pas besoin de la redémontrer.
💡 Conseil
Astuce de mentor Majorant : à chaque manipulation de ln, écris en marge la condition de domaine (« x > 0 »). Ce simple réflexe visuel t'évite l'erreur numéro un et rassure le correcteur sur ta rigueur.
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Faire ma demande -->Tu abordes le chapitre exponentielle et logarithme et tu as l'impression d'empiler des formules sans fil conducteur ? C'est l'erreur de perception classique — et elle coûte cher au Bac. En réalité, exp et ln sont deux fonctions réciproques : une seule logique, deux écritures. Je suis Léa M., mentor Majorant et normalienne (ENS Ulm), et avec l'équipe de mentors issus de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris, on a calibré une méthode qui transforme ce chapitre en réserve de points sûrs. Dans cet article, je te donne les propriétés algébriques à connaître par cœur, les dérivées, la résolution d'équations et d'inéquations, les croissances comparées, les limites incontournables, un exemple corrigé d'étude de fonction mêlant exp et ln, les erreurs qui plombent les copies, et un plan de révision en 4 semaines.
Pourquoi le chapitre exponentielle et logarithme est-il incontournable au Bac maths 2026 ?
La fonction exponentielle et le logarithme népérien sont au cœur du programme de spécialité maths Terminale. Trois raisons expliquent leur poids au Bac 2026.
- •Ils reviennent partout. Étude de fonction, résolution d'équations, suites définies par exp, primitives, probabilités à densité (loi exponentielle) : exp et ln irriguent une grande partie du programme.
- •Ils sont techniquement discriminants. Les propriétés algébriques et les limites par croissances comparées séparent nettement les copies solides des copies approximatives.
- •La rédaction est sanctionnée finement. Oublier de préciser le domaine de définition de ln, ou manipuler une puissance de travers, fait perdre des points même quand l'idée est juste.
L'idée directrice à ancrer dès maintenant : exp et ln sont réciproques l'une de l'autre. Pour tout x réel, ln(eˣ) = x, et pour tout x strictement positif, e^(ln x) = x. Tout le chapitre découle de cette symétrie.
Quelles sont les propriétés algébriques de exp et ln à connaître par cœur ?
C'est le socle. Sans ces formules, aucune question n'est atteignable. Apprends-les dans les deux sens.
Propriétés de la fonction exponentielle
| Propriété | Formule |
|---|
| Somme des exposants | eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ |
| Opposé | e⁻ᵃ = 1 / eᵃ |
| Différence | eᵃ⁻ᵇ = eᵃ / eᵇ |
| Puissance | (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ |
| Valeurs de référence | e⁰ = 1 ; e¹ = e ≈ 2,718 |
| Signe | eˣ > 0 pour tout x réel |
Propriétés du logarithme népérien
| Propriété | Formule |
|---|
| Produit | ln(a × b) = ln a + ln b |
| Quotient | ln(a / b) = ln a − ln b |
| Inverse | ln(1 / a) = − ln a |
| Puissance | ln(aⁿ) = n × ln a |
| Racine | ln(√a) = (1/2) × ln a |
| Valeurs de référence | ln 1 = 0 ; ln e = 1 |
Le pont entre les deux
Les deux formules qui font tout basculer et qu'on oublie sous stress :
- •ln(eˣ) = x, pour tout x réel
- •e^(ln x) = x, pour tout x > 0
Attention au piège fondamental : ln(a + b) ne se simplifie pas. Il n'existe aucune formule pour le logarithme d'une somme. De même, eᵃ⁺ᵇ ≠ eᵃ + eᵇ. Ces deux « fausses formules » sont les erreurs les plus fréquentes du chapitre.
Deux dérivées de base, puis les formules composées qui tombent systématiquement.
Dérivées de base
- •(eˣ)' = eˣ (l'exponentielle est sa propre dérivée)
- •(ln x)' = 1/x, pour x > 0
Dérivées composées (le vrai enjeu au Bac)
| Fonction | Dérivée |
|---|
| eᵘ⁽ˣ⁾ | u'(x) × eᵘ⁽ˣ⁾ |
| ln(u(x)) | u'(x) / u(x) |
Ces deux formules composées sont omniprésentes. Exemples concrets à savoir dérouler sans réfléchir :
- •f(x) = e^(3x²) ⟹ f'(x) = 6x × e^(3x²)
- •g(x) = ln(x² + 1) ⟹ g'(x) = 2x / (x² + 1)
- •h(x) = x × eˣ ⟹ h'(x) = eˣ + x × eˣ = (1 + x) × eˣ (règle du produit)
Un point de méthode : pour dériver un produit du type P(x) × eˣ, tu factorises toujours eˣ à la fin, car eˣ > 0 ne change jamais de signe. Le signe de la dérivée ne dépend alors que du polynôme, ce qui simplifie énormément l'étude de variation. Cette mécanique de dérivation prolonge directement le chapitre de dérivation et convexité : notre méthode de la dérivation et de la convexité au Bac 2026 détaille le calcul de f', f'' et l'exploitation du signe.
C'est un type de question à points quasi garantis, à condition de respecter deux réflexes.
Résoudre une équation
La stratégie : ramener l'équation à une seule fonction, puis composer.
Exemple. Résoudre eˣ = 5.
On applique ln aux deux membres : ln(eˣ) = ln 5, soit x = ln 5. Solution unique.
Exemple. Résoudre ln x = 3.
On applique exp aux deux membres : e^(ln x) = e³, soit x = e³. On vérifie que e³ > 0 : la solution est dans le domaine, donc valide.
Résoudre une inéquation
Le point crucial : exp et ln sont strictement croissantes, donc elles conservent le sens de l'inégalité.
- •eˣ < 5 ⟺ x < ln 5
- •ln x ≥ 3 ⟺ x ≥ e³ (et implicitement x > 0)
Les deux réflexes non négociables
- •Le domaine d'abord. Pour une équation avec ln x, tu poses la condition x > 0 (ou u(x) > 0) AVANT toute manipulation. À la fin, tu ne gardes que les solutions dans ce domaine.
- •La stricte croissance. Comme exp et ln sont strictement croissantes sur leur domaine, elles préservent les inégalités. Tu n'as jamais à inverser le sens, contrairement à une multiplication par un nombre négatif.
Les croissances comparées sont l'outil qui départage les copies au Bac. L'idée : à l'infini, l'exponentielle « écrase » toute puissance de x, et toute puissance de x « écrase » le logarithme.
Les limites de croissances comparées à connaître par cœur
| Limite | Résultat | Lecture |
|---|
| lim (x→+∞) eˣ / x | +∞ | eˣ l'emporte sur x |
| lim (x→+∞) eˣ / xⁿ | +∞ | eˣ l'emporte sur toute puissance |
| lim (x→+∞) ln x / x | 0 | x l'emporte sur ln x |
| lim (x→+∞) ln x / xⁿ | 0 | x l'emporte sur ln x |
| lim (x→0⁺) x × ln x | 0 | x l'emporte, même en 0⁺ |
| lim (x→−∞) x × eˣ | 0 | eˣ l'emporte, tend vers 0 |
La formulation à retenir mentalement : « l'exponentielle gagne toujours, le logarithme perd toujours. » Quand tu as une forme indéterminée du type « ∞/∞ » ou « 0 × ∞ » mêlant exp ou ln avec un polynôme, la croissance comparée tranche.
Quelles limites faut-il connaître par cœur pour ce chapitre ?
Au-delà des croissances comparées, quelques limites usuelles reviennent en boucle. Ce sont les bornes des tableaux de variation.
Limites de l'exponentielle
- •lim (x→+∞) eˣ = +∞
- •lim (x→−∞) eˣ = 0⁺ (la courbe s'approche de l'axe des abscisses par au-dessus)
Limites du logarithme
- •lim (x→+∞) ln x = +∞
- •lim (x→0⁺) ln x = −∞ (asymptote verticale d'équation x = 0)
Deux limites « taux d'accroissement » utiles
- •lim (x→0) (eˣ − 1) / x = 1
- •lim (x→0) ln(1 + x) / x = 1
Ces deux dernières traduisent que la tangente à eˣ en 0 a pour coefficient directeur 1, idem pour ln(1+x). Elles servent dans certains calculs de limites plus fins. Pour consolider tout le maniement des limites et des formes indéterminées, appuie-toi sur notre méthode des limites et de la continuité au Bac 2026.
Voici le type d'exercice qui tombe au Bac. Je déroule la rédaction complète attendue.
Énoncé. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − ln x. Étudier les variations de f et déterminer son minimum.
Méthode Majorant.
1. Domaine et dérivabilité.
f est définie sur ]0 ; +∞[ car ln x n'existe que pour x > 0. f est dérivable sur cet intervalle comme différence de fonctions dérivables.
2. Calcul de la dérivée.
f'(x) = 1 − 1/x = (x − 1) / x
3. Signe de f'.
Sur ]0 ; +∞[, on a x > 0, donc le dénominateur est strictement positif. Le signe de f'(x) est donc celui de x − 1.
- •x − 1 < 0 ⟺ x < 1
- •x − 1 > 0 ⟺ x > 1
- •f'(x) = 0 ⟺ x = 1
4. Tableau de variation.
f(1) = 1 − ln 1 = 1 − 0 = 1
Limites aux bornes : lim (x→0⁺) f(x) = lim (x→0⁺) (x − ln x) = 0 − (−∞) = +∞. Et lim (x→+∞) f(x) = +∞ (car x l'emporte sur ln x par croissances comparées).
5. Conclusion.
f est strictement décroissante sur ]0 ; 1] et strictement croissante sur [1 ; +∞[. f admet donc un minimum global en x = 1, valant f(1) = 1.
On en déduit un résultat élégant : pour tout x > 0, x − ln x ≥ 1, c'est-à-dire ln x ≤ x − 1. Cette inégalité classique tombe régulièrement.
Note la rigueur de la rédaction : domaine explicite, justification de la dérivabilité, signe de f' argumenté, limites aux bornes citées par croissances comparées, conclusion chiffrée. C'est exactement le niveau attendu. Ce type d'étude se prolonge naturellement en calcul d'aires : vois notre méthode des primitives et intégrales au Bac 2026.
Quelles sont les erreurs classiques sur exp et ln à éviter absolument ?
Voici les cinq erreurs que je corrige le plus souvent chez les élèves Majorant. Elles coûtent des points faciles.
Erreur 1 — Oublier le domaine de définition de ln
ln x n'existe que pour x > 0. Avant toute résolution d'équation ou étude de fonction avec ln(u(x)), tu poses la condition u(x) > 0. Une solution trouvée hors du domaine doit être rejetée. C'est l'erreur numéro un, et elle est éliminatoire sur la question.
ln(a + b) ne se simplifie pas. eᵃ⁺ᵇ ≠ eᵃ + eᵇ (en réalité eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ). Confondre somme et produit dans les propriétés algébriques est fréquent et lourdement sanctionné.
Erreur 3 — Mal manipuler les puissances
(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ, et non e^(aⁿ). De même, ln(aⁿ) = n × ln a, à ne pas confondre avec (ln a)ⁿ. La position de l'exposant change tout.
Erreur 4 — Se tromper de dérivée composée
Pour ln(u(x)), la dérivée est u'(x)/u(x), pas 1/u(x). Pour eᵘ⁽ˣ⁾, c'est u'(x) × eᵘ⁽ˣ⁾, pas eᵘ⁽ˣ⁾ seul. Oublier le facteur u'(x) est l'erreur de dérivation la plus répandue.
Erreur 5 — Oublier le signe de eˣ dans l'étude de variation
eˣ > 0 pour tout x. Dans une expression comme (2x − 4) × eˣ, le signe de la dérivée ne dépend que de 2x − 4. Beaucoup d'élèves compliquent inutilement ou se trompent en cherchant un signe à l'exponentielle.
Comment réviser le chapitre exponentielle et logarithme en 4 semaines ?
Un plan progressif, testé sur les promotions Majorant. Quatre semaines, à raison d'environ 3 à 4 heures ciblées par semaine.
Semaine 1 — Propriétés algébriques et calcul
Apprentissage par cœur des propriétés de exp et ln (les deux tableaux). 25 exercices de simplification d'expressions et de calcul. Objectif : automatisme total sur eᵃ⁺ᵇ, ln(ab), les puissances.
Semaine 2 — Dérivées et équations
Dérivées de base et composées (eᵘ, ln u). 15 dérivations chronométrées. Résolution de 15 équations et inéquations avec réflexe « domaine d'abord, composition ensuite ».
Semaine 3 — Limites et croissances comparées
Mémorisation des limites usuelles et des croissances comparées. Application à 10 études de fonction complètes avec tableau de variation et limites aux bornes.
Semaine 4 — Annales type Bac
4 sujets d'annales ou exercices type Bac chronométrés, mêlant exp, ln, suites et primitives. Auto-évaluation sur la rédaction (domaine, justifications, conclusion).
| Semaine | Focus | Volume |
|---|
| 1 | Propriétés algébriques | 25 exercices de calcul |
| 2 | Dérivées + équations | 15 dérivations + 15 équations |
| 3 | Limites + croissances comparées | 10 études de fonction |
| 4 | Annales chronométrées | 4 sujets type Bac |
Ce plan s'intègre dans une stratégie plus large : notre guide de la spécialité maths Terminale 2026 situe ce chapitre dans l'ensemble du programme, et notre méthode pour réviser les maths du Bac en 3 semaines donne le cadre général de dernière ligne droite.
Notre conseil final pour l'exponentielle et le logarithme au Bac 2026
Trois règles, courtes :
- •Le domaine de ln d'abord. x > 0, toujours écrit, toujours vérifié à la fin.
- •exp et ln sont réciproques. Pour éliminer l'une, applique l'autre aux deux membres.
- •L'exponentielle gagne, le logarithme perd. C'est la clé de toutes les limites par croissances comparées.
Ce chapitre est l'un des meilleurs investissements de ton année de Terminale : la logique est unique (deux fonctions réciproques), les formules tiennent en deux tableaux, et les questions rapportent des points sûrs dès lors que la rédaction est propre. Travaille-le tôt, ancre les automatismes, et il deviendra un pilier de ta copie. Avec la méthode Majorant, viser un score plein sur ce bloc est un objectif parfaitement réaliste.
FAQ
Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (eˣ)' = eˣ. Pour une composée, (eᵘ⁽ˣ⁾)' = u'(x) × eᵘ⁽ˣ⁾. Par exemple, la dérivée de e^(2x) est 2 × e^(2x). C'est la seule fonction usuelle égale à sa dérivée, propriété centrale du chapitre.
Quelle est la dérivée du logarithme népérien ?
La dérivée de ln x est 1/x, pour x > 0. Pour une composée, (ln(u(x)))' = u'(x) / u(x). Ainsi la dérivée de ln(x² + 1) est 2x / (x² + 1). N'oublie jamais le facteur u'(x) au numérateur : c'est l'erreur la plus fréquente.
Sur quel intervalle la fonction ln est-elle définie ?
Le logarithme népérien n'est défini que sur ]0 ; +∞[, donc pour x strictement positif. Avant toute équation ou étude de fonction contenant ln(u(x)), tu dois poser la condition u(x) > 0 et rejeter les solutions hors de ce domaine. C'est la condition de validité numéro un du chapitre.
Pour eˣ = k avec k > 0, on applique ln : x = ln k. Pour ln x = k, on applique exp : x = eᵏ. Le principe est d'utiliser que exp et ln sont réciproques : appliquer l'une élimine l'autre. Attention, eˣ = k n'a pas de solution si k ≤ 0, puisque eˣ > 0 toujours.
Que signifient les croissances comparées ?
Les croissances comparées indiquent qu'à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, et que toute puissance de x l'emporte sur ln x. Concrètement, lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ et lim (x→+∞) ln x / x = 0. On retient : « l'exponentielle gagne, le logarithme perd. » Elles lèvent les formes indéterminées.
Quelles limites de exp et ln faut-il connaître par cœur au Bac ?
Les incontournables : lim (x→+∞) eˣ = +∞, lim (x→−∞) eˣ = 0, lim (x→+∞) ln x = +∞, lim (x→0⁺) ln x = −∞. Il faut y ajouter les croissances comparées (eˣ/x → +∞, ln x / x → 0) et lim (x→0⁺) x ln x = 0. Ces limites servent de bornes dans tous les tableaux de variation.
Peut-on simplifier ln(a + b) ou eᵃ⁺ᵇ ?
Non pour ln(a + b) : il n'existe aucune formule pour le logarithme d'une somme. En revanche eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ (produit, pas somme) et ln(a × b) = ln a + ln b. Confondre somme et produit dans ces propriétés est l'erreur algébrique la plus lourdement sanctionnée du chapitre.
Le chapitre exponentielle et logarithme tombe-t-il à coup sûr au Bac maths ?
Oui, dans la quasi-totalité des sujets de spécialité maths. Chez Majorant, on l'observe soit comme exercice dédié, soit intégré à une étude de fonction, une suite ou un problème de probabilités à densité, pour 4 à 6 points en général. C'est un chapitre absolument incontournable à sécuriser en priorité.
