🎯 En bref
Le chapitre matrices et graphes est l'un des trois grands blocs de l'option maths expertes en Terminale, avec les nombres complexes et l'arithmétique. Il faut maîtriser le calcul matriciel (somme, produit, puissance), la matrice inverse, la résolution de systèmes linéaires, les suites de matrices pour modéliser une évolution, les matrices d'adjacence des graphes et les chaînes de Markov avec leur matrice de transition. Bien travaillé, c'est le chapitre le plus rentable de l'option : la mécanique est répétitive et les modèles d'évolution reviennent quasiment à chaque sujet.
ℹ️ Info
Contrairement à ce qu'on croit souvent, le chapitre ne demande aucun prérequis exotique : addition, multiplication, résolution de systèmes 2×2 et un peu de logique sur les suites suffisent. La difficulté n'est pas la profondeur, c'est la rigueur d'écriture.
💡 Conseil
Avant de vous lancer dans une récurrence, écrivez proprement l'hypothèse Aⁿ = (…). Neuf élèves sur dix perdent des points non pas sur le calcul, mais parce que l'hypothèse de récurrence est mal formulée ou que l'hérédité n'utilise jamais explicitement Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A.
💡Un mentor qui décortique chaque calcul avec vous Nos cours particuliers ciblent précisément le point de blocage — produit, inverse ou récurrence — au lieu de tout réexpliquer.
Découvrir les cours particuliers -->« Le coefficient d'indice (i, j) de Mᵏ donne le **nombre de chemins de longueur k** allant du sommet i au sommet j. »
ℹ️ Info
Le programme reste volontairement modeste sur la théorie des graphes : pas de coloration ni d'algorithme de plus court chemin exigés. On attend surtout la lecture d'un graphe, la construction de sa matrice d'adjacence et l'interprétation des puissances.
💡Un stage pour transformer la théorie en réflexes En vacances scolaires, nos stages intensifs enchaînent les exercices-types de matrices et de chaînes de Markov jusqu'à ce qu'ils deviennent mécaniques.
Voir les stages intensifs -->💡 Conseil
Tenez un « carnet d'erreurs » : à chaque faute, notez la question, la cause exacte et la règle oubliée. Relire ce carnet trois jours avant l'épreuve vaut mieux que relire tout le cours — c'est la technique de nos majors.
💡Un diagnostic gratuit de votre niveau en maths expertes Dites-nous où vous en êtes, on vous propose un plan de progression sur mesure jusqu'au bac.
Faire une demande -->Vous avez choisi l'option maths expertes en Terminale, et vous butez sur ce chapitre où les objets ne ressemblent plus à rien de ce que vous connaissiez : des tableaux de nombres qu'on multiplie « en croix », des graphes qu'on transforme en matrices, des populations qui se stabilisent au bout de l'infini. C'est déroutant au début, mais c'est aussi le chapitre le plus mécanique et le plus prévisible de l'option. Chez Majorant, nos mentors — issus de l'ENS, de Polytechnique, de CentraleSupélec et de Mines Paris — le disent à leurs élèves : les matrices, c'est une gymnastique de calcul, pas une montagne conceptuelle. Je suis Léa, normalienne (ENS Ulm), et je vais vous montrer dans cet article comment décomposer ce chapitre en briques simples, avec un exemple entièrement corrigé, les erreurs qui coûtent des points à tous les coups, et un plan de révision réaliste pour le bac 2026.
Qu'est-ce que le chapitre matrices et graphes en maths expertes ?
L'option maths expertes s'adresse aux élèves de Terminale qui ont gardé la spécialité mathématiques et qui visent une poursuite d'études scientifique exigeante : CPGE, licences de maths ou de physique, écoles d'ingénieurs post-bac. Elle ajoute trois heures hebdomadaires au programme de spécialité, réparties sur trois grands thèmes : les nombres complexes, l'arithmétique et les congruences, et enfin les matrices et les graphes.
Le chapitre matrices-graphes poursuit un objectif précis : donner un premier outil pour manipuler des données organisées et modéliser des phénomènes d'évolution. Concrètement, vous allez apprendre à :
- •effectuer les opérations de base sur les matrices (somme, produit par un réel, produit de deux matrices, puissances) ;
- •déterminer l'inverse d'une matrice carrée et l'utiliser pour résoudre un système linéaire ;
- •écrire une suite définie par une relation matricielle Uₙ₊₁ = M Uₙ et en étudier le comportement ;
- •représenter un graphe par sa matrice d'adjacence et compter les chemins ;
- •modéliser une marche aléatoire ou une chaîne de Markov à l'aide d'une matrice de transition et rechercher un état stable.
Si vous hésitez encore sur la pertinence de l'option dans votre projet, prenez le temps de lire notre analyse dédiée sur le rôle de maths expertes dans une prépa scientifique avant d'aller plus loin.
Une matrice de taille n×p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. On note aᵢⱼ le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j. Tout le chapitre repose sur trois opérations qu'il faut automatiser jusqu'à ne plus y réfléchir.
La somme et le produit par un réel
On n'additionne que des matrices de même taille, coefficient par coefficient : (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. Le produit par un réel k multiplie chaque coefficient : (kA)ᵢⱼ = k × aᵢⱼ. Rien de piégeux ici, si ce n'est la condition de taille identique.
Le produit de deux matrices
C'est là que tout se joue. Le produit AB n'existe que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le coefficient d'indice (i, j) du produit vaut :
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ × bₖⱼ
autrement dit : la ligne i de A « rencontre » la colonne j de B, on multiplie terme à terme et on additionne. Le réflexe à ancrer : ligne contre colonne.
Deux propriétés à ne jamais oublier :
- •Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général AB ≠ BA. C'est l'erreur numéro un du chapitre.
- •Il existe une matrice neutre, la matrice identité I (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs), qui vérifie AI = IA = A.
La puissance d'une matrice
La puissance Aⁿ est le produit de A par elle-même n fois : A² = A×A, A³ = A×A×A, etc. Pour les petites puissances, on calcule directement. Pour Aⁿ « en général », deux méthodes dominent au lycée :
- •La conjecture par récurrence : on calcule A², A³, on devine une forme générale de Aⁿ, puis on la démontre par récurrence. C'est la méthode attendue dans la majorité des sujets.
- •La calculatrice ou Python pour vérifier une conjecture, mais jamais en remplacement de la démonstration.
Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice A⁻¹ telle que A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I. Toutes les matrices ne sont pas inversibles, exactement comme 0 n'a pas d'inverse chez les réels.
Le cas 2×2 à connaître par cœur
Pour A = (a b ; c d), on pose le déterminant det(A) = ad − bc. Alors :
- •si det(A) ≠ 0, A est inversible et A⁻¹ = 1/(ad − bc) × (d −b ; −c a) ;
- •si det(A) = 0, A n'est pas inversible.
Ce résultat tombe très régulièrement au bac : mémorisez la formule et le rôle du déterminant.
Résoudre un système linéaire avec les matrices
Un système linéaire s'écrit sous forme matricielle AX = B, où X est la colonne des inconnues et B la colonne des seconds membres. Si A est inversible, la solution est unique et s'obtient d'un seul coup :
AX = B ⟺ X = A⁻¹B
C'est tout l'intérêt de l'outil : au lieu de combiner péniblement des équations, on inverse une matrice et on multiplie. Attention à l'ordre — on multiplie à gauche par A⁻¹, car le produit n'est pas commutatif : A⁻¹(AX) = (A⁻¹A)X = X.
Cette logique fait écho aux automatismes de résolution vus en spécialité ; si vos bases sur les systèmes et l'algèbre sont fragiles, un détour par notre méthode sur le programme de spécialité maths en Terminale consolidera le socle avant d'attaquer les matrices.
C'est le cœur applicatif du chapitre. On considère une suite de matrices colonnes (Uₙ) qui décrit l'état d'un système à l'étape n, reliée par une relation de la forme :
Uₙ₊₁ = M × Uₙ
où M est une matrice fixe appelée matrice d'évolution. Par récurrence immédiate, on obtient la formule explicite :
Uₙ = Mⁿ × U₀
Tout le problème se ramène alors à calculer la puissance Mⁿ, puis à multiplier par l'état initial U₀. On étudie ensuite le comportement quand n tend vers l'infini : la suite se stabilise-t-elle vers un état limite ? oscille-t-elle ? explose-t-elle ?
Ces modèles servent à décrire des répartitions de population entre plusieurs catégories, des flux d'abonnés entre deux services, l'évolution d'un écosystème, etc. Le fil rouge est toujours le même : écrire le système, l'identifier à Uₙ₊₁ = M Uₙ, puis exploiter Mⁿ.
Qu'est-ce qu'un graphe et à quoi sert la matrice d'adjacence ?
Un graphe est un ensemble de sommets reliés par des arêtes (graphe non orienté) ou des arcs (graphe orienté). On les rencontre partout : réseaux sociaux, plans de métro, dépendances entre tâches, pages web reliées par des liens.
À un graphe à n sommets on associe sa matrice d'adjacence M, de taille n×n, définie par :
- •mᵢⱼ = 1 s'il existe une arête (ou un arc) du sommet i vers le sommet j ;
- •mᵢⱼ = 0 sinon.
Pour un graphe non orienté, cette matrice est symétrique (mᵢⱼ = mⱼᵢ). Le résultat central, spectaculaire et très souvent évalué, relie puissances de matrices et chemins :
Autrement dit, pour compter combien d'itinéraires de 3 étapes relient deux sommets, on calcule M³ et on lit le coefficient. C'est l'occasion rêvée, pour un correcteur, de tester à la fois votre compréhension des graphes et votre maîtrise du produit matriciel dans une même question.
Ce pont entre représentation graphique et calcul matriciel prépare directement à l'algorithmique que vous croiserez en NSI ou en études supérieures ; les élèves qui suivent aussi cette spécialité gagnent à relire notre article sur le programme et l'épreuve de NSI en Terminale.
Une chaîne de Markov modélise un système qui passe d'un état à un autre de façon aléatoire, avec cette propriété fondamentale : l'état futur ne dépend que de l'état présent, pas de tout l'historique. On parle aussi de marche aléatoire dans les cas simples.
On décrit ces transitions par une matrice de transition M dont les coefficients sont des probabilités comprises entre 0 et 1. Selon la convention adoptée (état écrit en colonne, avec Uₙ₊₁ = M Uₙ), chaque colonne de M représente les probabilités de partir d'un état donné, et sa somme vaut donc 1. C'est un excellent garde-fou : si une colonne ne somme pas à 1, il y a une erreur.
La distribution de probabilité à l'étape n s'obtient exactement comme une suite de matrices :
Uₙ = Mⁿ × U₀
et la grande question devient : existe-t-il un état stable (ou état stationnaire) U tel que M × U = U ? Cet état, quand il existe, décrit la répartition vers laquelle le système converge à long terme, indépendamment souvent de la situation de départ. Le chercher revient à résoudre un petit système linéaire — la boucle est bouclée avec les sections précédentes.
Exemple corrigé : deux villes et un état stable
Prenons un modèle typique de sujet de bac. Chaque année, une population se répartit entre deux villes A et B. On observe que 90 % des habitants de A y restent et 10 % partent vers B, tandis que 20 % des habitants de B rejoignent A et 80 % restent. On note aₙ et bₙ les proportions vivant respectivement en A et B l'année n, avec aₙ + bₙ = 1.
1. Mise en équations. D'une année sur l'autre :
- •aₙ₊₁ = 0,9 aₙ + 0,2 bₙ
- •bₙ₊₁ = 0,1 aₙ + 0,8 bₙ
2. Forme matricielle. Avec Uₙ = (aₙ ; bₙ), on pose M = (0,9 0,2 ; 0,1 0,8) et l'on a Uₙ₊₁ = M Uₙ, donc Uₙ = Mⁿ U₀. On vérifie que chaque colonne de M somme à 1 : 0,9 + 0,1 = 1 et 0,2 + 0,8 = 1. La matrice de transition est cohérente.
3. Recherche de l'état stable. On cherche U = (a ; b) tel que M U = U, avec a + b = 1. La première ligne donne :
a = 0,9 a + 0,2 b ⟺ 0,1 a = 0,2 b ⟺ a = 2b
En reportant dans a + b = 1 : 2b + b = 1, donc b = 1/3 et a = 2/3.
4. Interprétation. L'état stable est U = (2/3 ; 1/3) : à long terme, quelle que soit la répartition initiale, environ deux tiers de la population vivent en A et un tiers en B. On peut le confirmer numériquement en calculant U₁, U₂, U₃ à partir d'un U₀ quelconque : les valeurs se rapprochent de (0,666… ; 0,333…).
Voilà le schéma complet que vous devez savoir dérouler seul : équations → matrice → puissance ou état stable → interprétation. C'est exactement cette progression que nos mentors font répéter jusqu'à l'automatisme.
Quelles sont les erreurs classiques à éviter ?
Après des centaines d'heures de correction, on retrouve toujours les mêmes pièges. Les connaître, c'est déjà gagner des points.
| Erreur fréquente | Ce qu'il faut faire |
|---|
| Écrire AB = BA | Vérifier l'ordre : le produit n'est pas commutatif |
| Additionner des matrices de tailles différentes | La somme n'existe que pour des tailles identiques |
| Inverser une matrice de déterminant nul | Vérifier d'abord que det(A) = ad − bc ≠ 0 |
| Multiplier à droite par A⁻¹ dans AX = B | Multiplier à gauche : X = A⁻¹B |
| Hypothèse de récurrence bâclée pour Aⁿ | Énoncer clairement P(n), puis utiliser Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A |
| Matrice de transition dont une colonne ne somme pas à 1 | Recompter les probabilités : erreur de modélisation |
| Confondre sommet et arête dans un graphe | Adjacence : mᵢⱼ = 1 s'il existe un lien de i vers j |
La plus insidieuse reste la non-commutativité. Elle contamine tout : la puissance, l'inverse, la résolution de systèmes. Prenez le réflexe de toujours vous demander « à gauche ou à droite ? » avant d'écrire un produit.
La bonne nouvelle, c'est que ce chapitre récompense le travail régulier plus que le talent. Voici le plan que je recommande à mes élèves, sur environ trois semaines.
Semaine 1 — Les automatismes de calcul
- •Refaire dix produits matriciels 2×2 et 3×3 sans calculatrice, jusqu'à zéro erreur.
- •Mémoriser la formule de l'inverse 2×2 et le rôle du déterminant.
- •Résoudre trois systèmes linéaires par la méthode X = A⁻¹B.
Semaine 2 — Puissances et modèles d'évolution
- •Conjecturer et démontrer par récurrence trois expressions de Aⁿ.
- •Traiter deux modèles d'évolution complets du type Uₙ₊₁ = M Uₙ.
- •Rechercher systématiquement l'état stable et l'interpréter.
Semaine 3 — Graphes, Markov et annales
- •Construire la matrice d'adjacence de plusieurs graphes et compter les chemins via Mᵏ.
- •Modéliser deux chaînes de Markov, vérifier la somme des colonnes, chercher l'état stationnaire.
- •Faire deux sujets de bac complets en temps limité, puis analyser chaque erreur.
Ce chapitre s'articule naturellement avec les deux autres piliers de l'option. Pour une révision cohérente, alternez avec nos méthodes sur les nombres complexes en maths expertes et sur l'arithmétique et les congruences.
Notre conseil final pour réussir matrices et graphes
Trois règles simples résument tout ce qui précède :
- •Automatisez le produit matriciel avant tout le reste : ligne contre colonne, à gauche ou à droite. C'est la clé de 80 % du chapitre.
- •Ramenez chaque problème à un schéma connu : suite de matrices Uₙ = Mⁿ U₀, ou recherche d'état stable M U = U.
- •Rédigez vos récurrences proprement : c'est là que se gagnent ou se perdent les points, pas dans les idées.
Le chapitre matrices et graphes est le plus mécanique des trois blocs de maths expertes, donc le plus rentable pour un élève méthodique. Vous n'avez pas besoin d'être « fort en maths » pour le réussir : vous avez besoin de répéter les gestes jusqu'à ce qu'ils deviennent des réflexes. Chaque sujet reprend les mêmes structures ; une fois que vous les reconnaissez au premier coup d'œil, l'épreuve devient une formalité. Accrochez-vous, travaillez régulièrement, et ce chapitre deviendra l'un de vos plus sûrs réservoirs de points au bac 2026.
FAQ
À quoi servent les matrices en maths expertes de Terminale ?
Les matrices servent à organiser des données et à modéliser des phénomènes d'évolution. On les utilise pour résoudre des systèmes linéaires, représenter des graphes via leur matrice d'adjacence et décrire des chaînes de Markov. C'est un premier pas vers l'algèbre linéaire enseignée en prépa et en licence.
On applique la règle « ligne contre colonne ». Le coefficient (i, j) du produit AB s'obtient en multipliant terme à terme la ligne i de A par la colonne j de B, puis en additionnant : (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ. Le produit n'existe que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B, et attention, AB ≠ BA en général.
Une matrice carrée 2×2 A = (a b ; c d) est inversible si et seulement si son déterminant ad − bc est différent de zéro. Dans ce cas, A⁻¹ = 1/(ad − bc) × (d −b ; −c a). Si le déterminant est nul, la matrice n'a pas d'inverse.
Qu'est-ce qu'une matrice d'adjacence ?
C'est la matrice M associée à un graphe, où mᵢⱼ vaut 1 s'il existe une arête du sommet i vers le sommet j, et 0 sinon. Pour un graphe non orienté, elle est symétrique. Son intérêt majeur : le coefficient (i, j) de Mᵏ donne le nombre de chemins de longueur k entre i et j.
Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov au lycée ?
C'est un modèle où un système passe aléatoirement d'un état à un autre, l'état futur ne dépendant que de l'état présent. On le décrit par une matrice de transition dont les coefficients sont des probabilités. La distribution à l'étape n vaut Uₙ = Mⁿ U₀, et l'on cherche souvent un état stable vérifiant M U = U.
On résout l'équation M U = U avec la contrainte que la somme des composantes de U vaut 1. Cela revient à un petit système linéaire. La solution donne la répartition vers laquelle le système converge à long terme, souvent indépendamment de l'état initial.
La difficulté de maths expertes vaut-elle le coup pour la prépa ?
Oui, l'option maths expertes est fortement recommandée pour viser une CPGE scientifique. Elle habitue au raisonnement rigoureux et introduit des outils (complexes, arithmétique, matrices) revus dès la première année. Les commissions d'admission valorisent ce choix, même si l'option n'est pas toujours formellement exigée.
Combien de temps faut-il pour réviser le chapitre matrices et graphes ?
Comptez environ trois semaines de travail régulier à raison de quelques heures par semaine. La première semaine se concentre sur les automatismes de calcul, la deuxième sur les puissances et modèles d'évolution, la troisième sur les graphes, les chaînes de Markov et des sujets de bac complets en temps limité.
