🎯 En bref
L'arithmétique est le chapitre le plus rentable de l'option maths expertes en Terminale : peu de notions, mais des raisonnements en chaîne qui rapportent gros au bac et posent les fondations de la prépa. Le socle tient en six briques : divisibilité, division euclidienne, congruences, PGCD et algorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres premiers. Bien maîtrisées, elles se combinent pour résoudre équations diophantiennes, critères de divisibilité et bases de cryptographie (RSA). Chez Majorant, on constate qu'un élève qui automatise les congruences gagne plusieurs points sur l'épreuve écrite et aborde la MP2I/MPI avec une longueur d'avance.
ℹ️ Info
L'option maths expertes vient EN PLUS de la spécialité maths conservée en Terminale. Elle représente 3 heures hebdomadaires et n'est pas évaluée par une épreuve du bac spécifique : elle compte au contrôle continu, mais reste déterminante pour les dossiers Parcoursup scientifiques et la préparation aux concours.
💡 Conseil
Le piège récurrent est l'encadrement du reste. Le reste r vérifie toujours 0 ≤ r < b, jamais 0 ≤ r ≤ b. Un mentor Majorant vous dira de réécrire cet encadrement en tête de chaque exercice pour ne pas l'oublier sous pression.
💡 Conseil
Face à aᵏ modulo n, cherchez toujours la plus petite puissance qui redonne 1 (ou −1). Vous transformez un calcul monstrueux en une division de l'exposant. C'est l'automatisme n°1 à installer.
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Bézout et Gauss se ressemblent mais ne servent pas à la même chose. Bézout garantit l'existence d'une combinaison égale à 1 (utile pour l'inversibilité modulaire) ; Gauss permet de « simplifier » une divisibilité. Une copie qui invoque l'un pour l'autre perd les points même avec la bonne conclusion.
💡Un stage intensif pour verrouiller le chapitre Pendant les vacances, on reprend arithmétique et congruences de zéro jusqu'aux annales corrigées.
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Avant de rendre votre copie, relisez chaque « donc » et demandez-vous : ai-je le droit d'écrire cette implication ? En arithmétique, 80 % des points perdus viennent d'un chaînon logique non justifié, pas d'un mauvais résultat final.
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Faire une demande -->L'arithmétique fait peur à tort. Elle n'exige presque aucune technique de calcul lourde, mais une rigueur de raisonnement que peu d'élèves travaillent avant le supérieur. C'est pourtant là que se creuse l'écart au bac maths expertes : les questions d'arithmétique sont souvent les plus discriminantes du sujet. Tom L., mentor Majorant et polytechnicien, le résume ainsi à ses élèves : « en arithmétique, on ne calcule pas, on démontre — et c'est exactement ce qu'on attend de vous en prépa ». Dans cet article, on déroule le programme complet du chapitre, avec les définitions justes, les théorèmes clés en notation Unicode, un exemple corrigé type bac, les erreurs qui coûtent des points, et un plan de révision concret. L'objectif : que vous quittiez cette page en sachant exactement quoi réviser et dans quel ordre.
Pourquoi l'arithmétique est-elle le chapitre le plus stratégique des maths expertes ?
L'option maths expertes s'adresse aux élèves de Terminale qui ont gardé la spécialité mathématiques et visent une poursuite scientifique exigeante : prépa MP2I/MPI, MPSI, PCSI, ou licences sélectives. L'arithmétique y occupe une place à part pour trois raisons.
- •Rentabilité au bac. Le chapitre repose sur un nombre restreint de théorèmes. Une fois compris, ils se réutilisent partout. Le rapport temps investi / points gagnés est excellent.
- •Discrimination. Les exercices d'arithmétique séparent nettement les copies. Un raisonnement modulaire bien mené se voit immédiatement ; une approximation aussi.
- •Continuité avec la prépa. L'arithmétique de Terminale est le brouillon de l'arithmétique de première année (relation de Bézout, congruences dans ℤ/nℤ, structure des anneaux). Les élèves de la filière MP2I/MPI retrouvent ces objets dès septembre.
Si vous hésitez encore sur la pertinence de l'option pour votre projet, notre guide dédié à maths expertes comme tremplin vers la prépa scientifique détaille les débouchés.
Qu'est-ce que la divisibilité et la division euclidienne exactement ?
Tout part de deux définitions qu'il faut connaître au mot près.
La divisibilité dans ℤ
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b (noté a | b) s'il existe un entier k tel que b = k × a. On dit aussi que b est un multiple de a.
Propriétés à retenir :
- •Si a | b et a | c, alors a | (b + c) et plus généralement a | (u×b + v×c) pour tous entiers u, v. C'est la propriété la plus utilisée de tout le chapitre.
- •Si a | b et b | c, alors a | c (transitivité).
- •Si a | b et b ≠ 0, alors |a| ≤ |b|.
La division euclidienne
Pour tout entier a et tout entier b > 0, il existe un unique couple d'entiers (q, r) tel que :
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
q est le quotient, r le reste. L'existence ET l'unicité sont exigibles : ne les traitez jamais comme évidentes dans une copie.
C'est le cœur du chapitre, et l'outil le plus puissant.
Définition
Soit n un entier ≥ 2. On dit que a est congru à b modulo n (noté a ≡ b [n]) si n divise (a − b), c'est-à-dire si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Les règles de calcul
La congruence est compatible avec les opérations. Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors :
| Opération | Résultat |
|---|
| Addition | a + c ≡ b + d [n] |
| Soustraction | a − c ≡ b − d [n] |
| Multiplication | a × c ≡ b × d [n] |
| Puissance | aᵏ ≡ bᵏ [n] pour tout k ∈ ℕ |
C'est cette compatibilité qui permet de remplacer un très grand nombre par un petit reste avant de calculer.
L'exemple qui déclenche le déclic
Quel est le reste de 7¹⁰⁰ modulo 5 ? On calcule les premières puissances de 7 modulo 5 :
- •7 ≡ 2 [5]
- •7² ≡ 2² = 4 [5]
- •7³ ≡ 2³ = 8 ≡ 3 [5]
- •7⁴ ≡ 2⁴ = 16 ≡ 1 [5]
Dès qu'on atteint 1, on tient un cycle de longueur 4. Comme 100 = 4 × 25, on a 7¹⁰⁰ = (7⁴)²⁵ ≡ 1²⁵ = 1 [5]. Le reste est 1. Cette technique du cycle de puissances revient chaque année.
Ce chapitre partage sa logique de raisonnement structuré avec les nombres complexes en maths expertes : dans les deux cas, on manipule des objets abstraits avec des règles strictes.
Le PGCD de deux entiers a et b (non tous deux nuls), noté pgcd(a, b), est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.
L'algorithme d'Euclide
Il repose sur une propriété simple : pgcd(a, b) = pgcd(b, r), où r est le reste de la division de a par b. On répète jusqu'à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple : pgcd(1071, 462).
| Étape | Division | Reste |
|---|
| 1 | 1071 = 462 × 2 + 147 | 147 |
| 2 | 462 = 147 × 3 + 21 | 21 |
| 3 | 147 = 21 × 7 + 0 | 0 |
Le dernier reste non nul est 21, donc pgcd(1071, 462) = 21.
Nombres premiers entre eux
Deux entiers a et b sont premiers entre eux lorsque pgcd(a, b) = 1. Cette notion est la porte d'entrée des théorèmes de Bézout et de Gauss. Ne la confondez jamais avec « nombre premier » : 8 et 9 sont premiers entre eux sans qu'aucun ne soit premier.
Que disent les théorèmes de Bézout et de Gauss ?
Ces deux théorèmes sont les plus puissants du programme et les plus mal utilisés.
Théorème de Bézout
Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v tels que :
a × u + b × v = 1
L'équivalence (⟺) est fondamentale : elle marche dans les deux sens. Pour trouver u et v concrètement, on remonte l'algorithme d'Euclide (identité de Bézout).
Théorème de Gauss
Si a divise le produit b × c, et si a est premier avec b, alors a divise c.
En symboles : (a | b×c et pgcd(a, b) = 1) ⟹ a | c.
C'est l'outil décisif pour résoudre les équations diophantiennes du type a×x + b×y = c et pour démontrer des propriétés de divisibilité. La condition « premier avec » est indispensable : sans elle, le théorème est faux (6 divise 4 × 9 = 36 mais 6 ne divise ni 4 ni 9).
Un entier p ≥ 2 est premier s'il n'admet que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Points au programme :
- •Test de primalité. Pour savoir si n est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers p tels que p² ≤ n. Si aucun ne divise n, alors n est premier. Exemple : pour n = 149, on teste 2, 3, 5, 7, 11 (car 13² = 169 > 149) : aucun ne divise 149, donc 149 est premier.
- •Décomposition en facteurs premiers. Tout entier ≥ 2 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique). Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5.
- •Infinité des nombres premiers : la démonstration d'Euclide par l'absurde est un classique à savoir reproduire.
La décomposition permet de lire directement le PGCD et le PPCM sur les exposants des facteurs communs.
C'est la partie « applications » qui motive le chapitre et alimente souvent les sujets contextualisés.
Les critères de divisibilité par les congruences
Pourquoi un nombre est-il divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres l'est ? Parce que 10 ≡ 1 [3], donc 10ᵏ ≡ 1 [3] pour tout k. Un nombre écrit avec les chiffres cₖ…c₁c₀ vaut Σ cₖ × 10ᵏ ≡ Σ cₖ [3]. Le nombre et la somme de ses chiffres ont donc le même reste modulo 3. Le critère de divisibilité par 9 se démontre à l'identique (10 ≡ 1 [9]), et celui par 11 en utilisant 10 ≡ −1 [11].
Le principe du chiffrement RSA
RSA repose entièrement sur l'arithmétique du programme :
- •On choisit deux grands nombres premiers, dont le produit n sert de module.
- •Le chiffrement et le déchiffrement sont des exponentiations modulaires : c ≡ mᵉ [n] pour chiffrer, m ≡ cᵈ [n] pour déchiffrer.
- •Les clés e et d sont liées par une relation de Bézout modulo (p−1)(q−1).
La sécurité vient de la difficulté à factoriser n en ses deux facteurs premiers. Un sujet de bac ne vous demandera jamais de casser RSA, mais souvent d'appliquer une exponentiation modulaire ou de justifier une inversibilité par Bézout : exactement les automatismes vus plus haut.
À quoi ressemble un exercice type bac corrigé ?
Voici un exercice représentatif, résolu avec la rédaction attendue.
Énoncé. Résoudre dans ℤ l'équation 5x ≡ 3 [7].
Résolution.
Étape 1 — inverser 5 modulo 7. On cherche un entier u tel que 5u ≡ 1 [7]. En testant : 5 × 3 = 15 = 14 + 1 ≡ 1 [7]. Donc 3 est l'inverse de 5 modulo 7. (On pouvait aussi l'obtenir par Bézout : 5 × 3 − 7 × 2 = 1.)
Étape 2 — multiplier les deux membres par 3. De 5x ≡ 3 [7], on déduit 3 × 5x ≡ 3 × 3 [7], soit 15x ≡ 9 [7]. Or 15 ≡ 1 [7] et 9 ≡ 2 [7], donc x ≡ 2 [7].
Étape 3 — conclusion. L'ensemble des solutions est { x ∈ ℤ | x ≡ 2 [7] } = { 2 + 7k, k ∈ ℤ }.
Vérification. 5 × 2 = 10 ≡ 3 [7]. ✓
Ce qui fait gagner les points ici : l'inverse est justifié (pas sorti du chapeau), chaque implication est écrite, et la conclusion donne l'ensemble complet des solutions, pas une seule valeur. La même rigueur de rédaction est attendue sur l'épreuve de spécialité maths, dont maths expertes prolonge les exigences.
Quelles sont les erreurs classiques qui coûtent des points ?
Chez Majorant, on voit revenir les mêmes fautes sur presque toutes les copies.
- •Diviser une congruence sans précaution. On ne « simplifie » pas 6 ≡ 4 [10] en 3 ≡ 2 [10] : c'est faux. La simplification par un facteur n'est licite que si ce facteur est premier avec le module (c'est Gauss).
- •Confondre « premiers entre eux » et « nombres premiers ». Deux erreurs de vocabulaire par copie en moyenne.
- •Oublier l'unicité dans la division euclidienne, ou écrire un reste négatif ou supérieur ou égal au diviseur.
- •Invoquer Gauss sans vérifier l'hypothèse pgcd = 1. Le théorème est alors invalide.
- •Donner une seule solution à une équation modulaire au lieu de l'ensemble { a + nk }.
- •Confondre implication et équivalence : Bézout est une équivalence, beaucoup ne le rédigent que dans un sens.
Un plan de révision réaliste sur trois semaines, tel qu'on le construit avec nos élèves.
| Semaine | Objectif | Travail concret |
|---|
| 1 | Socle | Fiches définitions (divisibilité, division euclidienne, congruences) + 10 calculs modulaires chronométrés/jour |
| 2 | Théorèmes | PGCD/Euclide, Bézout, Gauss, primalité + refaire les démonstrations de cours à blanc |
| 3 | Annales | 4 sujets type bac complets, rédigés intégralement, puis auto-correction sur la rigueur |
Trois principes de méthode :
- •Priorité aux automatismes de calcul modulaire. Ce sont eux qui débloquent tout le reste. Visez la vitesse et la fiabilité.
- •Refaire les démonstrations de cours. Elles sont exigibles et réutilisables telles quelles en devoir.
- •Rédiger en entier, pas dans sa tête. L'arithmétique se joue sur la qualité de la rédaction. Un raisonnement juste mais elliptique perd des points.
Pour aller plus loin dans la méthode de travail au sens large, notre article sur la méthode de révision que personne n'enseigne complète utilement ce plan.
Notre conseil final pour réussir l'arithmétique
Trois règles à garder en tête jusqu'à l'épreuve :
- •Automatisez les congruences avant tout le reste : le cycle des puissances modulo n est votre meilleur allié.
- •Ne franchissez jamais un « donc » sans justification : Bézout et Gauss ont des hypothèses, respectez-les.
- •Rédigez l'ensemble complet des solutions, jamais une valeur isolée.
L'arithmétique récompense la rigueur plus que le talent : c'est une excellente nouvelle, car la rigueur se travaille. En quelques semaines d'entraînement ciblé, un élève moyen en calcul peut devenir excellent sur ce chapitre, parce que les outils sont peu nombreux et se combinent toujours de la même façon. C'est aussi le meilleur avant-goût du raisonnement mathématique du supérieur : si vous prenez plaisir à démontrer une divisibilité par congruences, la prépa vous attend. Avancez brique par brique, rédigez tout, et faites-vous relire — le reste suivra.
FAQ
L'arithmétique est-elle difficile en maths expertes ?
Non, pas techniquement, mais elle exige de la rigueur. Les calculs sont simples ; ce qui est exigeant, c'est la logique des raisonnements. Un élève qui accepte de tout rédiger et de justifier chaque étape progresse vite, même sans être un « bon en calcul ».
Quelle est la différence entre nombres premiers et nombres premiers entre eux ?
Un nombre premier n'a que deux diviseurs (1 et lui-même) ; deux nombres premiers entre eux ont un PGCD égal à 1. Ce sont des notions distinctes : 8 et 9 sont premiers entre eux alors qu'aucun des deux n'est premier. La confusion est l'une des fautes les plus fréquentes au bac.
Cherchez le plus petit exposant qui redonne 1 modulo n, puis exploitez ce cycle. Par exemple, si a⁴ ≡ 1 [n], alors a¹⁰⁰ = (a⁴)²⁵ ≡ 1 [n]. Cette technique remplace un calcul gigantesque par une simple division de l'exposant.
À quoi sert le théorème de Bézout concrètement ?
Il garantit qu'on peut écrire a×u + b×v = 1 dès que a et b sont premiers entre eux. On l'utilise pour inverser un nombre modulo n, pour résoudre des équations diophantiennes et comme fondement du chiffrement RSA. C'est une équivalence : elle fonctionne dans les deux sens.
Faut-il prendre maths expertes pour aller en prépa MP2I ou MPI ?
Ce n'est pas obligatoire mais fortement recommandé. L'arithmétique et les nombres complexes de maths expertes sont directement réinvestis en première année, notamment en MP2I/MPI. L'option renforce aussi le dossier Parcoursup et prouve votre appétence pour les mathématiques.
En trois temps : socle de définitions, démonstrations de cours, puis annales rédigées en entier. Consacrez la première semaine aux automatismes de calcul modulaire, la deuxième aux théorèmes (Bézout, Gauss, Euclide), la troisième aux sujets complets avec auto-correction sur la rigueur de rédaction.
Le chiffrement RSA est-il au programme de maths expertes ?
Oui, en tant qu'application des congruences et du théorème de Bézout. On n'attend pas de vous que vous « cassiez » RSA, mais que vous compreniez le rôle de l'exponentiation modulaire et de l'inversibilité. Les sujets contextualisés y font régulièrement référence.
Pourquoi un nombre est-il divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est ?
Parce que 10 ≡ 1 modulo 3, donc toute puissance de 10 aussi. Un nombre est alors congru à la somme de ses chiffres modulo 3, et ils ont le même reste. Le même raisonnement donne le critère par 9, et par 11 en utilisant 10 ≡ −1 [11].
