Bac maths Terminale 2026 : probabilités et loi binomiale

Chez Majorant, nos mentors — issus de Polytechnique, l'ENS, CentraleSupélec et Mines Paris — observent chaque année les mêmes copies : des élèves qui « comprennent » les probabilités mais perdent des points sur la rédaction, les arbres bâclés et la confusion entre événements. Je suis Léa M., normalienne (ENS Ulm), et j'encadre depuis plusieurs années des Terminales spécialité maths. Dans cet article, je te donne la méthode exacte pour transformer ce chapitre en réservoir de points : de la probabilité conditionnelle à la loi des grands nombres, avec un exercice corrigé, les erreurs qui coûtent cher, et un plan de révision concret. L'objectif : que tu abordes toute question de probabilités du bac 2026 avec un réflexe automatique.

Pourquoi les probabilités sont le chapitre le plus rentable du bac maths 2026 ?

Le programme de spécialité maths en Terminale place les probabilités parmi les chapitres à la fois très fréquents au bac et très codifiés. Contrairement à une étude de fonction où chaque sujet réserve une surprise, un exercice de probabilités suit presque toujours la même architecture : un contexte concret (tirages, dépistage, contrôle qualité), un arbre ou un tableau, quelques probabilités conditionnelles, puis une variable aléatoire — souvent une loi binomiale — dont on calcule des probabilités et l'espérance.

Trois raisons en font un investissement prioritaire :

1. Les questions sont guidées. Le sujet te tient la main : « Construire un arbre pondéré », « Montrer que P(A) = 0,42 », « En déduire… ». Chaque question rapporte, même si tu bloques sur la suivante.
2. Les méthodes sont transférables. Un arbre se lit toujours pareil, la formule des probabilités totales s'applique toujours pareil, la loi binomiale se reconnaît toujours aux mêmes signaux.
3. La calculatrice fait une partie du travail. Pour la loi binomiale, ta calculatrice donne directement P(X = k) et P(X ≤ k). Encore faut-il savoir quoi lui demander.

Le mot-clé de ce chapitre au bac maths Terminale 2026, c'est automatisme. Un élève entraîné ne réfléchit pas à comment faire un arbre : il le fait, proprement, en trente secondes, et garde son énergie pour l'interprétation.

Comment maîtriser les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés ?

C'est la fondation. Une probabilité conditionnelle, notée P_A(B) (« probabilité de B sachant A »), répond à la question : sachant que A est réalisé, quelle chance que B le soit aussi ? La définition officielle :

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0.

De là découle la formule que tu utiliseras le plus souvent, celle des probabilités composées :

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).

Lire et construire un arbre pondéré

L'arbre pondéré est la traduction visuelle de ces formules. Trois règles de lecture, non négociables :

• Sur chaque branche on écrit une probabilité (conditionnelle dès le 2ᵉ niveau).
• La somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.
• On multiplie le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une intersection ; on additionne les chemins qui mènent au même événement final.

Un exemple minimal

Une usine a deux machines. La machine A produit 60 % des pièces, la B les 40 % restants. A produit 3 % de pièces défectueuses, B en produit 5 %. L'arbre a deux niveaux : d'abord A/B (0,6 et 0,4), puis pour chacune « défectueux »/« conforme ». La probabilité qu'une pièce vienne de A et soit défectueuse : 0,6 × 0,03 = 0,018. Simple, mécanique, sans piège — à condition de ne pas confondre P_A(D) et P_D(A).

Comment utiliser la formule des probabilités totales sans se tromper ?

La formule des probabilités totales sert à calculer la probabilité d'un événement en passant par tous les cas possibles. Si A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l'univers (des cas disjoints qui couvrent tout), alors pour tout événement B :

P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + … + P(Aₙ ∩ B).

Concrètement, avec la partition la plus simple (A et son contraire Ā) :

P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B).

Sur l'arbre, cela revient à additionner tous les chemins qui aboutissent à B. Reprenons l'usine : la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est

P(D) = 0,6 × 0,03 + 0,4 × 0,05 = 0,018 + 0,020 = 0,038.

La question « inverse » : probabilités conditionnelles renversées

Le bac adore la question qui suit : « Une pièce est défectueuse. Quelle probabilité qu'elle vienne de A ? » On cherche P_D(A), et non l'inverse. On applique la définition :

P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D) = 0,018 / 0,038 ≈ 0,474.

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. La caractérisation officielle, celle à écrire dans une copie :

A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

De façon équivalente, si P(A) ≠ 0 : A et B sont indépendants ⟺ P_A(B) = P(B).

Deux avertissements de mentor :

• Indépendant ≠ incompatible. Deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅) avec des probabilités non nulles ne sont jamais indépendants — c'est même le contraire.
• Ne suppose jamais l'indépendance. Tu ne peux l'utiliser que si l'énoncé la donne (« tirages avec remise », « lancers successifs indépendants ») ou si tu la démontres par le calcul. L'affirmer sans justification coûte les points.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire, et comment calculer espérance, variance et écart-type ?

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue d'une expérience. Sa loi de probabilité est le tableau qui donne, pour chaque valeur xᵢ possible, la probabilité P(X = xᵢ). La somme de toutes ces probabilités vaut 1 — un contrôle systématique à faire.

Trois indicateurs à connaître par cœur :

Une formule alternative très utile pour la variance (souvent plus rapide) : V(X) = E(X²) − [E(X)]².

Propriétés de linéarité à connaître

Pour deux réels a et b : E(aX + b) = a × E(X) + b, V(aX + b) = a² × V(X), et σ(aX + b) = |a| × σ(X). Ces règles tombent régulièrement en question intermédiaire ; les connaître évite un calcul lourd.

Comment reconnaître et appliquer la loi binomiale B(n, p) ?

La loi binomiale est la star du chapitre. Elle modélise le nombre de succès quand on répète n fois, de façon indépendante et identique, une même épreuve de Bernoulli (deux issues : succès de probabilité p, échec de probabilité 1−p). On écrit X ~ B(n, p).

Les 3 signaux de reconnaissance

Tu es face à une loi binomiale dès que l'énoncé réunit ces conditions :

1. Une répétition d'un nombre fixe n d'épreuves.
2. Des épreuves identiques et indépendantes (typiquement « avec remise »).
3. Chaque épreuve n'a que deux issues (succès / échec), et on compte le nombre de succès.

La formule et le coefficient binomial

Pour un entier k entre 0 et n :

P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ,

où C(n, k), le coefficient binomial (aussi noté « n parmi k »), compte le nombre de façons de placer les k succès parmi les n épreuves. On le lit directement à la calculatrice, ou via la formule C(n, k) = n! / [k!(n−k)!]. Quelques repères utiles : C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n, C(n, n) = 1, et la symétrie C(n, k) = C(n, n−k).

Espérance, variance, écart-type de la loi binomiale

À retenir absolument — ce sont des résultats de cours directement utilisables :

• E(X) = np
• V(X) = np(1−p)
• σ(X) = √(np(1−p))

À quoi servent l'échantillonnage et la loi des grands nombres ?

La partie « statistiques » du chapitre relie probabilités théoriques et données réelles. L'idée intuitive : plus on répète une expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.

La loi des grands nombres formalise ce constat. Si on note Mₙ la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et de même loi, alors Mₙ se concentre autour de l'espérance E(X) quand n devient grand : l'écart à la moyenne théorique devient improbable. Au programme de Terminale, on l'exprime via l'inégalité de concentration :

P(|Mₙ − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) / (n δ²).

Ce que cette inégalité dit en français : la probabilité de s'éloigner de plus de δ de la moyenne théorique décroît quand n augmente. C'est la justification rigoureuse de « en moyenne, sur beaucoup d'essais, ça tend vers la théorie ».

Comment gérer une somme de variables aléatoires ?

Le programme introduit la somme de variables aléatoires, en particulier la propriété de linéarité de l'espérance, qui est vraie sans condition :

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

Pour la variance, l'additivité n'est vraie que si les variables sont indépendantes :

Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y).

C'est d'ailleurs de là que vient l'espérance de la loi binomiale : une variable X ~ B(n, p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, chacune d'espérance p. D'où E(X) = n × p, et par indépendance V(X) = n × p(1−p). Comprendre cette décomposition n'est pas exigé au calcul près, mais elle t'aide à retenir les formules plutôt que de les apprendre bêtement.

Exercice type corrigé : de l'arbre à la loi binomiale

Voici un exercice dans l'esprit exact du bac 2026. Prends dix minutes pour le chercher avant de lire le corrigé.

Énoncé. Un site de e-commerce constate que 70 % de ses visiteurs viennent d'une publicité (événement A), les autres arrivent directement. Un visiteur venu par la pub achète avec probabilité 0,08 ; un visiteur direct achète avec probabilité 0,15.

1. Calculer la probabilité qu'un visiteur achète.
2. Sachant qu'un visiteur a acheté, quelle est la probabilité qu'il soit venu par la pub ?
3. On interroge 20 visiteurs choisis au hasard et de façon indépendante. On note X le nombre d'acheteurs. Donner la loi de X, son espérance, puis P(X = 3) et P(X ≥ 1) (arrondis à 10⁻³).

Corrigé.

1. On note V l'événement « le visiteur achète ». Partition A / Ā avec P(A) = 0,7 et P(Ā) = 0,3. Par la formule des probabilités totales :

P(V) = P(A) × P_A(V) + P(Ā) × P_Ā(V) = 0,7 × 0,08 + 0,3 × 0,15 = 0,056 + 0,045 = 0,101.

2. On cherche P_V(A) = P(A ∩ V) / P(V) = 0,056 / 0,101 ≈ 0,554. Autrement dit, un peu plus d'un acheteur sur deux vient de la publicité.

3. On répète 20 fois (n = 20) une épreuve identique et indépendante à deux issues (achat / pas d'achat), avec p = P(V) = 0,101. Donc X ~ B(20 ; 0,101).

• Espérance : E(X) = np = 20 × 0,101 = 2,02 acheteurs en moyenne.
• P(X = 3) = C(20, 3) × 0,101³ × 0,899¹⁷ ≈ 0,182 (à la calculatrice).
• P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,899²⁰ ≈ 1 − 0,120 = 0,880.

Remarque de rédaction : à la question 3, la phrase « X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,101 » doit apparaître, avec la justification des trois conditions. C'est un attendu explicite du barème.

Quelles sont les erreurs classiques à éviter en probabilités au bac ?

Voici les fautes que je corrige le plus souvent chez mes élèves de Terminale — et que le barème sanctionne systématiquement :

• Confondre P_A(B) et P_B(A). Ce ne sont pas les mêmes nombres. Repère toujours ce qui est « sachant » : c'est le dénominateur.
• Oublier de justifier la loi binomiale. Écrire « X suit B(n, p) » sans vérifier les trois conditions (répétition, indépendance, deux issues) fait perdre les points de modélisation.
• Confondre P(X = k), P(X ≤ k) et P(X ≥ k). L'événement contraire est ton ami : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
• Oublier le coefficient binomial. P(X = k) = pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ sans le C(n, k) est faux : tu oublies toutes les positions possibles des succès.
• Additionner les branches d'un même nœud au lieu de multiplier le long d'un chemin. On multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins.
• Supposer l'indépendance sans justification, ou la confondre avec « incompatible ».
• Ne pas vérifier que la somme des probabilités vaut 1 dans un tableau de loi : c'est un contrôle gratuit qui détecte la moitié des erreurs de calcul.

Comment réviser efficacement le chapitre probabilités pour le bac 2026 ?

Voici le plan que je donne à mes élèves, sur environ deux semaines, à raison de séances courtes et régulières plutôt que d'un marathon inutile.

Le chapitre probabilités se travaille rarement seul : pense à consolider en parallèle les suites et leurs limites et la dérivation et la convexité, très liées aux études de variables. Pour une vision d'ensemble du programme, notre guide de la spécialité maths Terminale 2026 te donne la carte complète, et si tu vises le haut du panier, la stratégie mention très bien t'aidera à prioriser.

Notre conseil final pour réussir les probabilités au bac 2026

Trois règles à graver avant l'épreuve :

1. Un arbre propre d'abord. Avant tout calcul, dessine, légende, vérifie que chaque nœud somme à 1.
2. Justifie ta loi binomiale. Trois conditions vérifiées, puis « X ~ B(n, p) » : c'est un réflexe, pas une option.
3. L'événement contraire pour les P(X ≥ k). Il transforme un calcul infernal en une soustraction.

Les probabilités ne récompensent pas l'intuition mais la méthode et la rigueur de rédaction — exactement ce qui s'entraîne. Un élève moyen mais discipliné y prend régulièrement plus de points qu'un élève brillant mais brouillon. C'est une excellente nouvelle : ces points sont à ta portée, quel que soit ton niveau de départ. Fais des annales, écris chaque justification comme si le correcteur ne voyait que ta copie, et arrive au bac avec des automatismes plutôt que des espoirs. Tu as tout ce qu'il faut pour faire de ce chapitre ton meilleur allié le jour J.

FAQ

Quelle est la formule de la loi binomiale au bac ?

Pour X ~ B(n, p), on a P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ, où C(n, k) est le coefficient binomial « n parmi k ». Cette formule donne la probabilité d'obtenir exactement k succès sur n répétitions indépendantes. N'oublie jamais le coefficient binomial, qui compte les positions possibles des succès.

Comment calculer l'espérance d'une loi binomiale ?

L'espérance d'une variable X ~ B(n, p) vaut E(X) = np, tout simplement le produit du nombre de répétitions par la probabilité de succès. Sa variance est V(X) = np(1−p) et son écart-type σ(X) = √(np(1−p)). Ce sont des résultats de cours directement utilisables sans démonstration au bac.

Comment reconnaître une loi binomiale dans un exercice ?

Tu reconnais une loi binomiale quand trois conditions sont réunies : un nombre fixe n d'épreuves, identiques et indépendantes (souvent « avec remise »), chacune à deux issues (succès/échec). On compte alors le nombre de succès. Le mot « indépendant » ou « avec remise » dans l'énoncé est un signal fort.

Quelle est la différence entre P(X = k) et P(X ≤ k) ?

P(X = k) est la probabilité d'obtenir exactement k succès, tandis que P(X ≤ k) est la probabilité d'en obtenir au plus k (c'est-à-dire 0, 1, …, ou k). Ta calculatrice possède les deux fonctions. Pour P(X ≥ k), utilise l'événement contraire : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1).

Comment fonctionne la formule des probabilités totales ?

Elle calcule P(B) en additionnant les probabilités de tous les chemins menant à B, à partir d'une partition de l'univers. Avec la partition A / Ā : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B). Sur un arbre pondéré, cela revient à additionner tous les chemins qui aboutissent à l'événement B.

Indépendant et incompatible, est-ce la même chose ?

Non, ce sont deux notions différentes et même souvent contraires. Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; ils sont incompatibles si A ∩ B = ∅. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants. Ne confonds jamais les deux dans une copie.

Les probabilités sont-elles difficiles au bac de spécialité maths ?

Non, c'est l'un des chapitres les plus abordables et les plus rentables, à condition d'avoir automatisé les méthodes. Les questions sont guidées, les schémas répétitifs et la calculatrice aide beaucoup. La difficulté n'est pas conceptuelle mais tient à la rigueur de rédaction et à la lecture attentive de l'énoncé.

Comment réviser les probabilités en peu de temps avant le bac ?

Concentre-toi sur les automatismes : arbre pondéré, formule des probabilités totales, loi binomiale et calculatrice. Refais cinq à dix annales en rédigeant chaque justification, puis deux sujets chronométrés. Deux semaines de séances courtes et régulières suffisent à sécuriser le chapitre, bien mieux qu'une seule longue session de bachotage.