Qu'est-ce qu'un majorant en maths ? Définition, borne supérieure et exemples

Tu tapes « majorant » dans Google et tu tombes sur une définition mathématique un peu sèche ? On va la rendre limpide. Un majorant d'un ensemble de nombres, c'est simplement un nombre qui « plafonne » tout le monde : il est supérieur ou égal à chacun des éléments. C'est l'une des premières notions rigoureuses que tu rencontres en analyse, dès le début de la sup en MPSI, PCSI ou MP2I. Et chez Majorant, on a choisi ce nom exprès : un majorant, c'est ce qui te tire vers le haut, ce qui fixe un plafond d'exigence. Dans cet article, on définit proprement majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure, avec des exemples concrets et les pièges classiques que voient nos mentors passés par Polytechnique, l'ENS et CentraleSupélec.

Qu'est-ce qu'un majorant en mathématiques ? La définition

Réponse directe : soit A une partie de ℝ. Un réel M est un majorant de A si, pour tout élément x de A, on a x ≤ M. Autrement dit, M est plus grand que tous les éléments de A, ou égal au plus grand.

Formellement, on écrit :

M est un majorant de A ⟺ ∀ x ∈ A, x ≤ M.

Trois remarques essentielles dès le départ :

1. Un majorant n'a pas besoin d'appartenir à A. C'est un nombre extérieur (ou non) qui domine l'ensemble. C'est toute la subtilité.
2. S'il existe un majorant, il en existe une infinité. Si M majore A, alors M + 1, M + 2, M + 100 le majorent aussi. Un majorant n'est jamais unique.
3. Une partie qui admet au moins un majorant est dite « majorée ». C'est un adjectif qu'on emploie constamment en analyse : « la suite est majorée », « l'ensemble est majoré ».

Un exemple simple pour fixer les idées

Prenons A = [0, 1[ (l'intervalle des réels x tels que 0 ≤ x < 1).

• 1 est un majorant de A : tout élément de A est strictement inférieur à 1, donc inférieur ou égal à 1. ✔
• 2 est aussi un majorant de A, et 1,5 également. Il y en a une infinité.
• 0,9 n'est pas un majorant : l'élément 0,95 appartient à A et 0,95 > 0,9. ✘

Tu vois ici que A n'a pas de plus grand élément (de maximum) : on peut toujours s'approcher de 1 sans jamais l'atteindre. Pourtant A est bien majoré. Cette distinction est le cœur du sujet.

Quelle différence entre un majorant et un maximum ?

Réponse directe : un maximum doit appartenir à l'ensemble, alors qu'un majorant peut lui être extérieur. Le maximum, quand il existe, est le plus grand élément de A et c'est lui-même un majorant — le plus « serré » possible qui soit dans A.

Reprenons :

• Pour A = [0, 1] (intervalle fermé) : le maximum est 1, et 1 appartient à A. C'est aussi le plus petit majorant.
• Pour A = [0, 1[ (intervalle semi-ouvert) : il n'y a pas de maximum, car aucun élément n'est le plus grand. Mais A reste majoré, et son plus petit majorant est 1, qui n'appartient pas à A.

C'est précisément pour gérer ce cas — « pas de maximum, mais quand même un plafond naturel » — que les mathématiciens ont introduit la borne supérieure. Cette gymnastique mentale (distinguer « être dedans » de « dominer ») est exactement le type de rigueur qu'on travaille avec chaque élève quand on l'aide à survivre à sa première année de prépa MPSI.

Qu'est-ce que la borne supérieure (sup) ?

Réponse directe : la borne supérieure d'une partie A, notée sup A, est le plus petit des majorants de A. C'est le plafond « optimal », celui qu'on ne peut pas baisser sans cesser de majorer l'ensemble.

Deux propriétés caractérisent sup A = M :

1. M est un majorant : ∀ x ∈ A, x ≤ M.
2. M est le plus petit possible : pour tout ε > 0, il existe un élément x de A tel que x > M − ε. (Autrement dit, on peut s'approcher de M d'aussi près qu'on veut en restant dans A.)

Cette seconde propriété est cruciale : c'est la traduction de « le plus petit majorant ». Si tu descends ne serait-ce qu'un tout petit peu en dessous de M, tu trouves toujours un élément de A qui dépasse — donc tu ne majores plus.

Le théorème de la borne supérieure

Voici l'un des résultats fondateurs de l'analyse, la propriété de la borne supérieure dans ℝ :

Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure.

Ce théorème caractérise ℝ (on dit que ℝ est « complet » au sens de l'ordre). Il est faux dans ℚ : l'ensemble des rationnels x tels que x² < 2 est majoré dans ℚ, mais n'y admet pas de borne supérieure (sa borne « voudrait » être √2, qui n'est pas rationnel). C'est exactement ce qui distingue les réels des rationnels, et c'est pour ça qu'on fait de l'analyse dans ℝ.

Et les minorants, la borne inférieure ?

Tout se symétrise « par le bas ». Un minorant de A est un réel m tel que, pour tout x de A, m ≤ x. Il minore tout le monde. Une partie qui admet un minorant est dite minorée.

• Le plus grand des minorants s'appelle la borne inférieure, notée inf A.
• Le minimum, quand il existe, est le plus petit élément de A — et il appartient à A.
• Théorème symétrique : toute partie non vide et minorée de ℝ admet une borne inférieure.

Pour A = ]2, 5] : les minorants sont tous les réels ≤ 2, donc inf A = 2 (qui n'appartient pas à A, donc pas de minimum), et max A = 5 (qui appartient à A).

Une partie à la fois majorée et minorée est dite bornée : elle tient « entre deux murs ». Les suites bornées, les fonctions bornées, c'est partout en analyse — et c'est le socle des théorèmes de convergence que tu verras en spé.

Un tableau récapitulatif

Pourquoi cette notion est-elle si importante en prépa ?

Parce que majorer une quantité est le geste central de l'analyse. Dès que tu veux prouver qu'une suite converge, qu'une intégrale est finie, qu'une erreur reste petite, tu majores : tu montres que la quantité reste inférieure à quelque chose que tu contrôles.

Quelques exemples où le majorant est ton meilleur allié :

1. Convergence des suites : le théorème de la limite monotone dit qu'une suite croissante et majorée converge — et sa limite est précisément la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs.
2. Inégalités : pour prouver une inégalité, on majore le membre de gauche par une expression plus simple, qu'on compare ensuite au membre de droite.
3. Analyse asymptotique : majorer un reste de série, un terme d'erreur, une norme — c'est le quotidien de la spé.

Maîtriser ce vocabulaire dès la première semaine te fait gagner un temps fou. Pour ancrer durablement ces définitions, applique l'active recall, la méthode qui fait vraiment mémoriser son cours, et fabrique-toi des cartes sur les pièges (majorant ≠ maximum) avec Anki pour retenir les théorèmes du cours.

Pourquoi la plateforme s'appelle-t-elle Majorant ?

Parce qu'un majorant, c'est ce qui te tire vers le haut. Notre conviction : chaque élève a un plafond de progression bien plus élevé qu'il ne le croit. Le rôle d'un mentor passé par une grande école n'est pas de te « remettre à niveau », mais de relever ta borne supérieure — de te montrer jusqu'où tu peux aller. C'est l'état d'esprit derrière nos stages intensifs et notre méthode pour devenir major de ta prépa.

Tu arrives en sup l'an prochain et tu veux aborder l'analyse avec une longueur d'avance ? Découvre comment t'y préparer dès l'été avec nos stages de pré-rentrée prépa. Et si c'est plutôt le bac qui approche, lis notre guide sur les résultats du bac 2026 : dates, mentions et rattrapage.

En résumé

• Un majorant de A est un réel M tel que ∀ x ∈ A, x ≤ M. Il peut être extérieur à A, et il y en a une infinité.
• La borne supérieure (sup A) est le plus petit des majorants ; elle est unique quand elle existe.
• Le maximum est le plus grand élément de A et doit appartenir à A.
• Tout se symétrise : minorant, borne inférieure (inf), minimum.
• Le théorème de la borne supérieure (toute partie non vide majorée de ℝ admet une borne sup) caractérise les réels.
• Majorer, c'est le geste fondamental de l'analyse — et la raison d'être de Majorant : relever ton plafond.