Corrigé complet : affirmations vrai/faux sur suites et probabilités, étude d'un trinôme (formes factorisée et canonique), tableau croisé et somme de suite arithmétique.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | b | Règle. Une hausse de \(20\%\) correspond au coefficient \((1+0{,}20)=1{,}20\). Calcul. \(400\times 1{,}20 = 480\) €. Piège : l'option a) \(420\) € correspondrait à \(+5\%\) seulement. |
| 2 | d | Règle. Une baisse de \(10\%\) \(\Leftrightarrow\) multiplier par \((1-0{,}10)=0{,}9\). Expression. Nouveau prix \(= 130\times 0{,}9\). Tri : a) multiplie par \(0{,}1\). b) multiplie par un nombre négatif. c) ajoute \(10\%\). |
| 3 | d | Méthode. Deux hausses successives \(\Rightarrow\) multiplier les coefficients. Calcul. \((1+0{,}20)^2 = 1{,}2\times 1{,}2 = 1{,}2^2 = 1{,}44\). Piège : option b) \(\times 1{,}40\) correspondrait à additionner les pourcentages — c'est faux. |
| 4 | b | Parts. A : \(\tfrac{1}{4} = 0{,}25\) ; B : \(20\% = 0{,}20\) ; C : \(\tfrac{1}{3} \approx 0{,}333\). Part D (le reste). \(1 - 0{,}25 - 0{,}20 - 0{,}333 \approx 0{,}217\). Minimum. B \((0{,}20)\) est la plus faible des quatre. |
| 5 | c | Étape 1. Dénominateur : \(1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{3-2}{3} = \tfrac{1}{3}\). Étape 2. Division par une fraction = multiplication par son inverse : \(\dfrac{2}{1/3} = 2\times 3 = 6\). |
| 6 | d | Méthode. Mettre au même dénominateur. Étape 1. \(\tfrac{1}{100} = \tfrac{10}{1\,000}\). Étape 2. \(\tfrac{10}{1\,000} + \tfrac{1}{1\,000} = \tfrac{11}{1\,000} = 0{,}011\). |
| 7 | b | Étape 1. \(75\) min \(= 60\) min + \(15\) min \(= 1\) h + \(15\) min. Étape 2. Convertir \(15\) min en heures : \(\tfrac{15}{60} = \tfrac{1}{4} = 0{,}25\) h. Total. \(1 + 0{,}25 = 1{,}25\) h. |
| 8 | c | Ordres de grandeur. \(10^{30}\) est un nombre immense ; \(10^{-30}\) est infinitésimal. Les deux termes diffèrent de 60 ordres de grandeur : le plus petit est totalement négligeable devant le plus grand. \(A \approx 10^{30}\). |
| 9 | c | Analyse. L'équation \(y = -2x + 5\) décrit une droite : • pente \(-2\) : décroissante, • ordonnée à l'origine \(+5\) : coupe l'axe \(Oy\) au-dessus de zéro. Tri. Seule la droite \(D_3\) est décroissante avec ordonnée à l'origine positive. |
| 10 | d | Équation. \(3x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{0}{3} = 0\). Piège : confondre avec \(3^x = 0\) (pas de solution) ou \(\dfrac{3}{x} = 0\) (pas de solution non plus). |
| 11 | c | Méthode. Produit en croix : \(\dfrac{144}{x} = 9 \Leftrightarrow 144 = 9x\). Résolution. \(x = \dfrac{144}{9} = 16\). Vérif. \(\dfrac{144}{16} = 9\) ✓. |
| 12 | a | Équation. Moyenne pondérée : \(m = \dfrac{10\times 1 + 13\times 1 + 12\times 1 + x\times 2}{1+1+1+2} = \dfrac{35 + 2x}{5}\). Résolution. \(m = 15 \Rightarrow 35 + 2x = 75 \Rightarrow x = 20\). Conclusion. La note maximale sur \(20\) est bien \(20\) : c'est juste atteignable, donc a. |
Cours particuliers — Voie technologique
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Suite arithmétique \((u_n)\) de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(u_{50} = 1\,000\) ; alors \(u_{60} = 1\,005\).
Pour une suite arithmétique : \(u_{60} = u_{50} + (60 - 50)\times r = 1\,000 + 10\times \dfrac{1}{2} = 1\,000 + 5 = 1\,005\).
Affirmation VRAIE.
Suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) positive, \(u_{100} = 5\) et \(u_{102} = 20\) ; alors \(u_{99} = 2{,}5\).
On a \(u_{102} = u_{100}\times q^2\), soit \(20 = 5\times q^2\), donc \(q^2 = 4\) et \(q = 2\) (raison positive).
\(u_{99} = \dfrac{u_{100}}{q} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).
Affirmation VRAIE.
Il existe au moins un réel \(x\) tel que \(x + x = x^2\).
On résout :
$$x + x = x^2 \Leftrightarrow 2x = x^2 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0.$$
Les solutions sont \(x = 0\) et \(x = 2\). Il existe donc (au moins) un réel qui vérifie l'égalité.
Affirmation VRAIE.
Avec deux pièces équilibrées, on a \(\dfrac{1}{4}\) de chances que les deux tombent du même côté.
Quatre issues équiprobables : \(PP\), \(PF\), \(FP\), \(FF\). Les deux pièces tombent « du même côté » dans \(PP\) ou \(FF\) :
$$P(\text{même côté}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.$$
L'affirmation annonce \(\dfrac{1}{4}\). Affirmation FAUSSE (la bonne valeur est \(\dfrac{1}{2}\)).
Calculer \(f(0)\) et \(f(3)\).
$$f(0) = -0^2 + 6\times 0 - 5 = -5.$$
$$f(3) = -9 + 18 - 5 = 4.$$
Montrer que \((x-1)(5-x) = -x^2 + 6x - 5\).
On développe le produit :
$$(x-1)(5-x) = 5x - x^2 - 5 + x = -x^2 + 6x - 5. \quad\checkmark$$
Antécédents de \(0\) par \(f\).
La forme factorisée permet de résoudre \(f(x) = 0\) facilement :
$$(x - 1)(5 - x) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \text{ ou } 5 - x = 0.$$
Soit \(x = 1\) ou \(x = 5\). Les antécédents de \(0\) sont donc \(1\) et \(5\).
Montrer que \(4 - (x-3)^2 = -x^2 + 6x - 5\).
On développe :
$$4 - (x-3)^2 = 4 - (x^2 - 6x + 9) = 4 - x^2 + 6x - 9 = -x^2 + 6x - 5. \quad\checkmark$$
Existe-t-il un réel \(x\) tel que \(f(x) > 4\) ?
La forme canonique donne \(f(x) = 4 - (x-3)^2\). Or \((x-3)^2 \geq 0\) pour tout \(x\), donc \(-(x-3)^2 \leq 0\), et :
$$f(x) = 4 - (x-3)^2 \leq 4.$$
La valeur maximale de \(f\) est \(4\), atteinte en \(x = 3\). Il n'existe aucun réel tel que \(f(x) > 4\).
Schéma de l'allure de la courbe.
Le coefficient de \(x^2\) est \(-1 < 0\) : parabole « vers le bas ». Points à placer :
Valeur et signification de \(x\).
\(x\) représente le nombre d'adhérents présents le lundi mais absents le jeudi. Ligne "Présent le LUNDI" : \(45 + x = 75\), donc :
$$x = 75 - 45 = \mathbf{30}.$$
Probabilité de ne venir ni le lundi ni le jeudi.
Il y a \(5\) adhérents absents les deux jours sur \(100\) :
$$P = \dfrac{5}{100} = 0{,}05.$$
Probabilité de ne venir qu'un seul jour.
Un seul jour = (lundi seul) + (jeudi seul) = \(30 + 20 = 50\) adhérents :
$$P = \dfrac{50}{100} = 0{,}5.$$
Probabilité de venir le jeudi sachant qu'il est venu le lundi.
Parmi les \(75\) adhérents présents le lundi, \(45\) étaient aussi présents le jeudi :
$$P(\text{jeudi}\mid\text{lundi}) = \dfrac{45}{75} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.$$
Montant total des cotisations en 2026.
$$100 \text{ adhérents}\times 100\text{ €} = \mathbf{10\,000\text{ €}}.$$
Cotisations totales de 2026 à 2041 (inclus).
Nombre d'années : \(2041 - 2026 + 1 = 16\).
Le nombre d'adhérents forme une suite arithmétique de premier terme \(a = 100\), de raison \(r = 5\) et de \(16\) termes. L'énoncé rappelle la formule :
$$a + (a+r) + (a+2r) + \cdots + (a+nr) = \dfrac{2a + nr}{2}\times(n+1).$$
Ici le dernier terme est \(a + 15r\) (16 termes), donc \(n = 15\) :
$$\text{Total adhérents} = \dfrac{2\times 100 + 15\times 5}{2}\times 16 = \dfrac{200 + 75}{2}\times 16 = \dfrac{275}{2}\times 16 = 137{,}5\times 16 = 2\,200.$$
Chaque adhérent paie \(100\) €. Montant total des cotisations :
$$2\,200\times 100 = \mathbf{220\,000\text{ €}}.$$
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