Corrigé complet pour les élèves de Première technologique (STMG, STI2D, STL, ST2S, STHR, STD2A). Suites, fonctions, tangentes, probabilités.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | B | Méthode — pourcentage d'un pourcentage. On multiplie les deux taux. Calcul. \(25\%\times 80\% = \dfrac{1}{4}\times 80\% = 20\%\) (ou \(0{,}25\times 0{,}80 = 0{,}20\)). Piège : la question ne dépend pas de la durée de la journée (option D). |
| 2 | B | Scénario. Le prix passe de \(P\) à \(0{,}5\,P\). Pour retrouver \(P\), il faut multiplier par \(2\). Pourcentage. \(\times 2\) correspond à une hausse de \(100\%\). Piège : une hausse de \(50\%\) compenserait seulement une partie de la baisse (on obtiendrait \(0{,}75\,P\)). |
| 3 | C | Méthode. Le coefficient multiplicateur est \(\dfrac{\text{nouveau}}{\text{ancien}}\). Calcul. \(\dfrac{200}{250} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\). Interprétation : \(0{,}8 = 1 - 0{,}2\) → baisse de \(20\%\). |
| 4 | C | Règle des puissances. \(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\). Calcul. \(\dfrac{10^{-5}}{10^8} = 10^{-5-8} = 10^{-13}\). Test des autres options : A — \(40\times\tfrac{1}{40^3} = \tfrac{1}{40^2} = 40^{-2}\) (pas \(40^2\)). B — \((2^{-4})^3 = 2^{-12}\) (pas \(2^{-1}\)). D — \(5^{-6}\times 11^{-6} = (5\times 11)^{-6} = 55^{-6}\) (pas \(55^{-12}\)). |
| 5 | C | Étape 1. Épaisseur d'une feuille : \(70\times 10^{-3}\) mm \(= 0{,}07\) mm. Étape 2. Empilement : \(2\,000\times 0{,}07 = 140\) mm. Étape 3. Conversion : \(140\) mm \(= 14\) cm. |
| 6 | A | Méthode. On ramène chaque masse à la même puissance de \(10\) pour comparer. Terre \(= 5\,973\times 10^{21} = 5{,}973\times 10^{24}\) kg. Vénus \(= 48\,685\times 10^{20} \approx 4{,}87\times 10^{24}\) kg. Mars \(= 6{,}4185\times 10^{23}\) kg. Mercure \(= 33{,}02\times 10^{22} = 3{,}302\times 10^{23}\) kg. Max : Terre \((5{,}97\times 10^{24})\). |
| 7 | D | Traduction. « Un nombre + son triple + son carré » = \(x + 3x + x^2\). Simplification. \(x + 3x = 4x\). Résultat : \(4x + x^2\). Pièges : option A met le tout au carré ; option B met seulement \(3x\) au carré — formulations différentes. |
| 8 | C | Méthode graphique. \(f(x) \leq g(x)\) aux \(x\) où la courbe de \(f\) (\(\mathcal C\)) est en-dessous de celle de \(g\) (\(\mathcal C'\)). Lecture. \(\mathcal C\) est en-dessous sur \([-2\,;-1]\) et sur \([1\,;2]\). Union des deux intervalles (pas intersection comme option D) : \([-2\,;-1]\cup[1\,;2]\). |
| 9 | D | Méthode. Les solutions de \(f(x) = 0\) sont les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal C\) avec l'axe \((Ox)\). Lecture graphique. La courbe coupe \((Ox)\) en deux points : l'un d'abscisse négative (environ \(-2\)), l'autre d'abscisse positive (environ \(1\)). Conclusion. Deux solutions de signes contraires. |
| 10 | A | Lecture du tableau. \(f(x) > 0\) avant \(2\), \(f(2) = 0\), \(f(x) < 0\) après. Test de chaque expression. • A : \(-3x+6\) s'annule en \(2\), coefficient \(-3 < 0\) → \(+\) puis \(-\) ✓ • B : \(x+2\) s'annule en \(-2\), pas en \(2\). ✗ • C : \(x-2\) s'annule en \(2\) mais coefficient positif → \(-\) puis \(+\). ✗ • D : \(-4x+2\) s'annule en \(0{,}5\), pas en \(2\). ✗ |
| 11 | B | Étape 1. \(C = (1+t)^2 \Rightarrow \sqrt{C} = |1+t|\). Étape 2. Si \(t \geq -1\) (hypothèse naturelle : la valeur \((1+t)\) est positive), alors \(1 + t = \sqrt{C}\). Étape 3. Isolation : \(t = \sqrt{C} - 1\). |
| 12 | B | Méthode. On compare la hauteur de la portion hachurée (Hydraulique) dans chaque barre. Lecture. Les barres \(1995\), \(2001\), \(2011\) et \(2016\) affichent des portions hachurées de tailles différentes. La plus haute correspond à l'année \(2001\). |
Cours particuliers — Voie technologique
Nos mentors accompagnent les élèves de STMG, STI2D, STL et ST2S avec une pédagogie adaptée aux épreuves technologiques : suites, fonctions, probabilités, traitement des données.
Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes.
Une baisse de \(10\%\) revient à multiplier par \(1 - 0{,}10 = 0{,}9\) :
$$1\,000\times 0{,}9 = 900. \quad\checkmark$$
Que représente \(u_2\) ? Calculer sa valeur.
\(u_2\) représente le nombre de singes en l'année \(2025 + 2 = \mathbf{2027}\).
$$u_2 = 0{,}9\times u_1 = 0{,}9\times 900 = 810.$$
Nature et raison de \((u_n)\).
Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par \(0{,}9\) : \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}9\) et de premier terme \(u_0 = 1\,000\).
Variations de \((u_n)\).
\(u_0 = 1\,000 > 0\) et \(0 < q < 1\), donc \((u_n)\) est strictement décroissante.
Population menacée d'extinction ?
La suite géométrique de raison \(0{,}9\) (comprise entre \(0\) et \(1\)) converge vers \(0\) quand \(n\) tend vers l'infini. La population tend vers \(0\) : oui, la population est menacée d'extinction selon ce modèle.
Population en 2026 (second modèle).
$$v_1 = 0{,}9\times v_0 + 150 = 0{,}9\times 1\,000 + 150 = 900 + 150 = \mathbf{1\,050}.$$
Formule à saisir dans la cellule B3.
Dans la cellule B3, on veut calculer \(v_1 = 0{,}9\, v_0 + 150\), soit \(0{,}9\) fois B2 plus \(150\) :
$$\boxed{\mathtt{=0{,}9*B2+150}}$$
(Selon la version du tableur, utiliser \(\mathtt{=0.9*B2+150}\) avec un point décimal.)
Année où la population dépasse 1400 individus.
D'après la feuille de calcul fournie :
La population dépasse \(1\,400\) en l'année \(2025 + 16 = \mathbf{2041}\).
Déterminer \(f(2)\) et \(f'(2)\).
La courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \((2\,;0)\), donc \(f(2) = 0\).
La tangente \(T\) au point d'abscisse \(2\) passe par \((2\,;f(2)) = (2\,;0)\) et par \((0\,;12)\). Son coefficient directeur est :
$$f'(2) = \dfrac{12 - 0}{0 - 2} = \dfrac{12}{-2} = -6.$$
Équation de la tangente \(T\).
\(T : y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -6(x - 2) + 0\), soit :
$$T\,:\ y = -6x + 12.$$
Tableau de variation d'après le graphique.
La courbe présente un maximum local en \(x = 0\) (où \(f(0) = 8\)) et un minimum local en \(x = 4\) (où \(f(4) = -8\)) :
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(4\) | \(6\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(8\) | ↘ | \(-8\) | ↗ |
Montrer que \(f'(x) = 1{,}5x(x - 4)\).
\(f(x) = 0{,}5x^3 - 3x^2 + 8\). On dérive terme à terme :
$$f'(x) = 0{,}5\times 3x^2 - 3\times 2x + 0 = 1{,}5x^2 - 6x.$$
On factorise par \(1{,}5x\) :
$$f'(x) = 1{,}5x(x - 4). \quad\checkmark$$
Signe de \(f'(x)\) et tableau de variation.
\(1{,}5 > 0\) donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(x-4)\). Les racines sont \(0\) et \(4\).
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(4\) | \(6\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(x\) | − | 0 | + | + | |||
| Signe de \((x-4)\) | − | − | 0 | + | |||
| Signe de \(f'(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
\(f\) est donc croissante sur \([-2\,;0]\), décroissante sur \([0\,;4]\), croissante sur \([4\,;6]\) — ce qui retrouve bien le tableau de variation obtenu graphiquement au 1.c.
Sur \([0\,;2]\), \(f(x) \leq -6x + 12\) : que peut-on en déduire ?
L'expression \(-6x + 12\) correspond à l'équation de la tangente \(T\). L'inégalité signifie donc que la courbe \(\mathcal{C}\) est située en-dessous de la tangente \(T\) (ou confondue avec elle) sur l'intervalle \([0\,;2]\).
Géométriquement : la courbe \(\mathcal{C}\) est concave sur \([0\,;2]\) vis-à-vis de \(T\).
\(P(\text{non dopé OU test positif}) = \dfrac{213}{200}\).
Une probabilité est toujours dans \([0\,;1]\), or \(\dfrac{213}{200} = 1{,}065 > 1\). L'affirmation est FAUSSE d'emblée.
Valeur exacte par la formule de la réunion :
$$P(\overline D\cup T^+) = P(\overline D) + P(T^+) - P(\overline D\cap T^+) = \dfrac{193}{200} + \dfrac{20}{200} - \dfrac{15}{200} = \dfrac{198}{200}.$$
Parmi les tests positifs, \(75\%\) ne sont pas dopés.
Parmi les \(20\) coureurs testés positifs, \(15\) ne sont pas dopés :
$$P_{T^+}(\overline D) = \dfrac{15}{20} = 0{,}75 = 75\%. \quad\text{\textbf{VRAIE}}.$$
\(P(\text{erreur de test}) = 8{,}5\%\).
Une erreur, c'est un test positif pour un non-dopé (\(15\) cas) OU un test négatif pour un dopé (\(2\) cas) :
$$P(\text{erreur}) = \dfrac{15 + 2}{200} = \dfrac{17}{200} = 0{,}085 = 8{,}5\%. \quad\text{\textbf{VRAIE}}.$$
Probabilité d'un seul service réussi sur deux \(= 0{,}09\).
Les services sont indépendants. Il y a deux issues favorables : (réussi, raté) et (raté, réussi) :
$$P(\text{exactement 1 réussi}) = 2\times 0{,}9\times 0{,}1 = 0{,}18.$$
L'affirmation dit \(0{,}09\). FAUSSE (la bonne valeur est \(0{,}18\)).
Préparer l'épreuve avec Majorant
Les cours particuliers Majorant sont adaptés aux programmes technologiques (STMG, STI2D, STL, ST2S). Méthode, dérivation, statistiques, probabilités.