Corrigé complet : refroidissement d'un plat (modèle additif puis multiplicatif), probabilités conditionnelles via arbre, questions vrai/faux.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | c | Ordre de grandeur. On remplace chaque facteur par la puissance de \(10\) la plus proche : \(101 \approx 100\) et \(99 \approx 100\). Calcul. \(100\times 100 = 10\,000\). Le produit exact vaut \(9\,999\), très proche de \(10\,000\). |
| 2 | c | Méthode. Coefficient global \(= 1{,}20\times 0{,}80 = 0{,}96\). Conclusion. \(0{,}96 < 1\), donc le prix final est strictement inférieur au prix de départ (quelle que soit la valeur de départ). Piège : option a) suppose une compensation exacte, ce qui ne se produit jamais. |
| 3 | b | Règle. Une baisse de \(t\times 100\,\%\) correspond à multiplier par \((1 - t)\). Ici. \(t = 0{,}023\), donc coefficient \(= 1 - 0{,}023 = 0{,}977\). Piège : option c) \(0{,}77\) correspondrait à une baisse de \(23\%\) (pas \(2{,}3\%\)). |
| 4 | d | Traduction. Soit \(T\) le total d'élèves. On a \(50 = 0{,}04\times T\). Résolution. \(T = \dfrac{50}{0{,}04} = \dfrac{5000}{4} = 1\,250\) élèves. Vérification : \(4\%\) de \(1\,250 = 50\) ✓. |
| 5 | c | Modélisation. Baisse annuelle de \(3\%\) : on multiplie par \((1 - 0{,}03) = 0{,}97\) chaque année. Relation de récurrence. \(V(n+1) = 0{,}97\times V(n)\). Options a) et d) soustraient un nombre au lieu de multiplier par un coefficient. |
| 6 | a | Lecture graphique. La droite passe par \((0\,;0)\) et par \((1\,;-3)\). Formule. Coefficient directeur \(= \dfrac{-3 - 0}{1 - 0} = -3\). Signe négatif → droite décroissante, cohérent avec le graphique. |
| 7 | c | Étape 1. Prix unitaire : \(\dfrac{13}{10} = 1{,}30\) €. Étape 2. Pour \(3\) stylos : \(3\times 1{,}30 = 3{,}90\) €. Option b) \(6{,}90\) € correspondrait à \(3\) stylos qui coûtent chacun \(2{,}30\) — absurde. |
| 8 | c | Règle de trois. \(1\) km en \(5\) min \(\Rightarrow\) en \(60\) min (1 h) : \(\dfrac{60}{5} = 12\) fois plus → \(12\) km. Conclusion. \(12\) km en \(1\) h = \(12\) km/h. |
| 9 | b | Répartition. A : \(\tfrac{30}{60} = \tfrac{1}{2}\) (moitié). B : \(\tfrac{12}{60} = \tfrac{1}{5}\) (20%). C : \(\tfrac{18}{60} = \tfrac{3}{10}\) (30%). Lecture des camemberts. Il faut un diagramme avec un secteur à \(\tfrac{1}{2}\) (A), un à \(\tfrac{1}{5}\) (B) et un à \(\tfrac{3}{10}\) (C) — c'est le diagramme b. |
| 10 | d | Étape 1 — moyennes. Les deux séries ont pour moyenne \(10\) (calcul direct). Étape 2 — dispersion. A est regroupée autour de \(10\) (bornes \(9\) et \(11\)), B plus étalée (bornes \(7\) et \(13\)). Conclusion. L'écart-type mesure la dispersion, celui de B est strictement plus grand. |
| 11 | c | Méthode. Isoler \(h\) dans \(V = \pi r^2 h\). Étape. Diviser les deux membres par \(\pi r^2\) : \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\). À ne pas confondre avec le cône qui demande un facteur \(3\). |
| 12 | c | Méthode graphique. \(f(x) = 0\) correspond aux points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses \((Ox)\). Lecture. La courbe coupe \((Ox)\) en quatre points d'abscisses \(-3\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\). \(\mathcal S = \{-3\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\}\). |
Cours particuliers — Première générale
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Baisse en 3 minutes, puis en 1 minute.
En \(3\) minutes, la température est passée de \(180\)°C à \(105\)°C, soit une baisse de \(180 - 105 = \mathbf{75}\)°C.
La baisse étant proportionnelle au temps, en \(1\) minute, la baisse vaut \(\dfrac{75}{3} = \mathbf{25}\)°C.
Température après 5 minutes.
$$T(5) = 180 - 5\times 25 = 180 - 125 = \mathbf{55}\text{°C.} \quad\checkmark$$
Température après 8 minutes — le modèle est-il pertinent ?
$$T(8) = 180 - 8\times 25 = 180 - 200 = -20\text{°C.}$$
Cette valeur est physiquement impossible : le plat ne peut pas descendre en-dessous de la température ambiante (\(25\)°C) dans une pièce à cette température. Le modèle linéaire n'est pas pertinent : dans la réalité, la baisse ralentit à mesure que le plat se rapproche de \(25\)°C.
Justifier que \(U_0 = 155\).
\(U_0\) est l'écart entre la température du plat à la sortie du four et celle de la pièce :
$$U_0 = 180 - 25 = 155. \quad\checkmark$$
Justifier que \(U_{n+1} = 0{,}8\, U_n\).
Chaque minute, l'écart \(U_n\) diminue de \(20\%\). Appliquer une baisse de \(20\%\) revient à multiplier par \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\) :
$$U_{n+1} = U_n\times 0{,}8 = 0{,}8\, U_n. \quad\checkmark$$
Nature et raison de la suite \((U_n)\).
La relation \(U_{n+1} = 0{,}8\, U_n\) montre que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre. \((U_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 0{,}8\) et de premier terme \(U_0 = 155\).
Expression de \(U_n\) en fonction de \(n\).
$$U_n = U_0 \times 0{,}8^n = 155\times 0{,}8^n.$$
Au bout de combien de minutes le plat est-il servable ?
Le plat est servable dès que sa température est \(\leq 40\)°C, soit un écart \(U_n \leq 40 - 25 = 15\).
D'après le tableau : \(U_{10} \approx 16{,}8 > 15\) mais \(U_{11} \approx 13{,}4 \leq 15\).
Victor pourra servir le plat au bout de 11 minutes.
\(P\) (licencié sachant randonnée).
D'après l'énoncé : \(P_R(L) = 0{,}05\) (\(5\%\) des randonneurs sont licenciés).
\(P\) (licencié sachant cross).
\(P_{\overline R}(L) = 0{,}40\).
Arbre de probabilité.
Probabilité que le participant ait choisi le cross ET soit licencié.
$$P(\overline R\cap L) = P(\overline R)\times P_{\overline R}(L) = 0{,}1\times 0{,}4 = 0{,}04.$$
Vérifier que \(P(L) = \dfrac{850}{10\,000} = 8{,}5\%\).
Formule des probabilités totales : \(P(L) = P(R\cap L) + P(\overline R\cap L)\).
$$P(R\cap L) = 0{,}9\times 0{,}05 = 0{,}045.$$
$$P(L) = 0{,}045 + 0{,}04 = 0{,}085 = \dfrac{850}{10\,000} = 8{,}5\%. \quad\checkmark$$
Probabilité que le participant licencié ait choisi le cross. L'intuition est-elle correcte ?
On cherche \(P_L(\overline R)\), probabilité conditionnelle inverse :
$$P_L(\overline R) = \dfrac{P(\overline R\cap L)}{P(L)} = \dfrac{0{,}04}{0{,}085} = \dfrac{40}{85} \approx 0{,}47.$$
Donc environ \(47\%\), ce qui est inférieur à \(50\%\).
L'intuition du journaliste est fausse. Même si \(40\%\) des crosseurs sont licenciés (contre seulement \(5\%\) des randonneurs), il y a tellement plus de randonneurs (\(90\%\) du total) que parmi les licenciés, les randonneurs restent majoritaires. C'est l'illustration typique du paradoxe de la taille des groupes en probabilités conditionnelles.
Probabilité que les deux appels durent plus de 5 min \(= 0{,}09\).
Les durées des deux appels sont indépendantes, donc :
$$P(\text{deux} > 5) = 0{,}3\times 0{,}3 = 0{,}09. \quad\text{\textbf{VRAIE}}.$$
Probabilité qu'exactement un appel sur deux dure plus de 5 min \(= 0{,}21\).
Deux cas : (long, court) ou (court, long). Chaque cas a pour probabilité \(0{,}3\times 0{,}7 = 0{,}21\), et les cas sont incompatibles :
$$P(\text{exactement 1}) = 2\times 0{,}3\times 0{,}7 = 0{,}42.$$
L'affirmation dit \(0{,}21\). FAUSSE (la bonne valeur est \(0{,}42\)).
La fonction \(f(t) = 1{,}1^t\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
La fonction \(t\mapsto a^t\) est strictement croissante dès que \(a > 1\). Ici \(a = 1{,}1 > 1\), donc \(f\) est strictement croissante. VRAIE.
La concentration après 2 heures reste sous le seuil de \(1\,500\) bactéries/mL.
Concentration à \(t = 2\) h :
$$f(2) = 1{,}1^2 = 1{,}21\text{ (en milliers).}$$
Soit \(1\,210\) bactéries/mL. Comme \(1\,210 < 1\,500\), la concentration reste bien sous le seuil. VRAIE.
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