Corrigé complet : croissance de champignons (suites arithmétiques et géométriques), probabilités conditionnelles et indépendance.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | b | Priorité des opérations. La multiplication se fait avant la soustraction. Étape 1. \(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\). Étape 2. \(A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6}\). |
| 2 | d | Étape 1. Prix unitaire : \(\dfrac{6}{4} = 1{,}50\) €. Étape 2. Pour \(10\) croissants : \(10\times 1{,}50 = 15\) €. Cohérence : si 4 coûtent 6 €, 8 en coûtent 12 € ; donc 10 coûtent un peu plus : 15 € est plausible. |
| 3 | b | Interprétation. « Doubler » signifie multiplier par \(2\), c'est-à-dire passer de la valeur \(P\) à \(2P\). Variation. Variation absolue : \(2P - P = P\). Pourcentage : \(\dfrac{P}{P} = 100\%\). Piège : multiplier par 2 ne fait pas \(+200\%\) (ça ferait \(\times 3\)). |
| 4 | c | Étape 1. Si le prix avant hausse est \(P_0\) : \(P_0 \times 1{,}10 = 110\), donc \(P_0 = \dfrac{110}{1{,}10} = 100\) €. Étape 2. Augmentation : \(110 - 100 = 10\) €. Piège : option d) calcule \(10\%\) de \(110\) (prix final) au lieu du prix initial. |
| 5 | b | Étape 1. Conversion : \(750\) mL = \(\dfrac{750}{1000}\) L = \(0{,}75\) L. Étape 2. Proportionnalité : \(0{,}75\times 900 = 675\) g. Étape 3. En kg : \(675\) g \(= 0{,}675\) kg. |
| 6 | a | Formule. \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). Calcul. \(m = \dfrac{106 - 100}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = \mathbf{2}\). |
| 7 | b | Équation de la droite. \(y = -0{,}1 x + 4\) (coefficient directeur \(-0{,}1\), ordonnée à l'origine \(4\)). Calcul. Pour \(x = 1\) : \(y = -0{,}1\times 1 + 4 = 3{,}9\). |
| 8 | c | Double distributivité. \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\). Application. \((x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6\). Réduction. \(2x - 3x = -x\). Résultat : \(x^2 - x - 6\). |
| 9 | d | Méthode. Isoler \(h\) dans \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). Étape 1. Multiplier les deux membres par \(3\) : \(3V = \pi r^2 h\). Étape 2. Diviser par \(\pi r^2\) : \(h = \dfrac{3V}{\pi r^2}\). |
| 10 | d | Substitution. \(f(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1\). Étape 1. \((-1)^2 = +1\) (le carré d'un négatif est positif). Étape 2. \(-2\times 1 + 3\times(-1) + 1 = -2 - 3 + 1 = -4\). |
| 11 | a | Définition. Un antécédent de \(0\) est une valeur \(x\) telle que \(f(x) = 0\). Test de \(x = 1\). \(f(1) = 2\times 1 - 5 + 3 = 0\) ✓ Autres options : \(f(-1) = 10 \ne 0\) ; \(f(0) = 3 \ne 0\) ; \(f(2) = 1 \ne 0\). |
| 12 | d | Étape 1 — moyennes. Série A : \(\tfrac{9+10+10+11}{4} = 10\). Série B : \(\tfrac{7+10+10+13}{4} = 10\). Mêmes moyennes. Étape 2 — dispersion. La série B s'écarte plus de sa moyenne (\(7\) et \(13\)) que la série A (\(9\) et \(11\)). Conclusion. L'écart-type mesure la dispersion : celui de B est strictement plus grand. |
Cours particuliers — Première générale
Parce que vous n'avez pas choisi la spécialité Maths, rien ne vous empêche de viser l'excellence. Un mentor Majorant reprend les bases avec vous, au rythme adapté à votre filière — fonctions, pourcentages, probabilités, statistiques.
Justifier que \(u_0, u_1, u_2, u_3\) sont en progression arithmétique.
On lit dans le tableau : \(u_0 = 100\), \(u_1 = 125\), \(u_2 = 150\), \(u_3 = 175\). Les différences successives valent :
$$u_1 - u_0 = 25\qquad u_2 - u_1 = 25\qquad u_3 - u_2 = 25.$$
La différence est constante égale à \(25\). Les quatre termes sont donc en progression arithmétique de raison \(25\).
Montrer que la population quadruple après 2 heures.
Deux heures \(= 120\) minutes \(= 12\) périodes de \(10\) minutes. On a donc besoin de \(u_{12}\).
En poursuivant la progression arithmétique avec \(u_0 = 100\) et raison \(r = 25\) :
$$u_{12} = u_0 + 12\times r = 100 + 12\times 25 = 100 + 300 = 400.$$
Or \(400 = 4\times 100\), donc la population a effectivement quadruplé après 2 heures. \(\checkmark\)
Montrer que \(v_0, v_1, v_2, v_3\) sont en progression géométrique.
D'après le tableau : \(v_0 = 100\), \(v_1 = 200\), \(v_2 = 400\), \(v_3 = 800\). Chaque terme est le précédent multiplié par \(2\) :
$$\dfrac{v_1}{v_0} = 2\qquad \dfrac{v_2}{v_1} = 2\qquad \dfrac{v_3}{v_2} = 2.$$
Le rapport est constant égal à \(2\) : les quatre termes sont en progression géométrique de raison \(2\).
Identifier le graphique correspondant à \((v_n)\).
\((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2 > 1\), strictement croissante et à croissance exponentielle. Le graphique attendu montre un nuage de points qui s'élance fortement vers le haut (allure concave vers le haut). C'est le graphique 2.
Nombre de champignons 4 heures après le début.
4 heures \(= 240\) minutes \(= 6\) périodes de \(40\) minutes. On calcule \(v_6\) :
$$v_6 = v_0\times 2^6 = 100\times 64 = \mathbf{6\,400}.$$
18 000 champignons après 5 heures : cohérent ?
5 heures \(= 300\) minutes. On a \(300 = 7\times 40 + 20\) : ce n'est pas un multiple entier de \(40\) minutes. On encadre donc 5 h entre les termes \(v_7\) et \(v_8\) :
$$v_7 = 100\times 128 = 12\,800\qquad v_8 = 100\times 256 = 25\,600.$$
On a \(12\,800 < 18\,000 < 25\,600\), donc la valeur mesurée à 5 h est cohérente avec le modèle (elle s'intercale logiquement entre \(v_7\) et \(v_8\)).
« Dans ce lycée, il y a autant de filles que de garçons » : vrai ou faux ?
Nombre de filles : \(712 + 288 = 1\,000\). Nombre de garçons : \(728 + 272 = 1\,000\). Il y a donc bien autant de filles que de garçons dans le lycée (\(1\,000\) chacun). L'élève a raison.
Probabilité de \(A\cap F\).
Il y a \(712\) filles ayant choisi Anglais parmi \(2\,000\) élèves :
$$P(A\cap F) = \dfrac{712}{2\,000}.$$
Probabilité de \(A\) sachant \(F\).
Parmi les \(1\,000\) filles, \(712\) ont choisi Anglais :
$$P_F(A) = \dfrac{712}{1\,000}.$$
\(A\) et \(F\) sont-ils indépendants ?
Calculons \(P(A)\) : \(\dfrac{712 + 728}{2\,000} = \dfrac{1\,440}{2\,000} = 0{,}72\).
Et \(P_F(A) = \dfrac{712}{1\,000} = 0{,}712\).
\(P(A)\ne P_F(A)\) : les événements \(A\) et \(F\) ne sont pas indépendants.
« P(Anglais | Garçon) est plus de 3 fois P(non-Anglais | Garçon) » : vrai ou faux ?
Parmi les \(1\,000\) garçons : \(728\) Anglais et \(272\) autre LV1.
$$P_{\overline F}(A) = \dfrac{728}{1\,000}\qquad P_{\overline F}(\overline A) = \dfrac{272}{1\,000}.$$
On compare : \(\dfrac{728}{272} \approx 2{,}68\). Cela fait seulement \(2{,}68\) fois plus, pas « plus de 3 fois plus ». L'affirmation est fausse.
Probabilité d'obtenir face.
\(P(\text{pile}) = \dfrac{1}{4}\) donc \(P(\text{face}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Arbre de probabilités (3 lancers successifs).
L'arbre comporte 3 étages. À chaque embranchement, les branches « pile » (P) portent la probabilité \(\dfrac{1}{4}\), les branches « face » (F) portent \(\dfrac{3}{4}\). On obtient \(2^3 = 8\) issues finales (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF).
Probabilité d'obtenir exactement une fois pile sur les trois lancers.
Les issues favorables sont PFF, FPF, FFP. Chacune a pour probabilité :
$$\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{64}.$$
Comme il y a \(3\) chemins favorables, et qu'ils sont incompatibles :
$$P(\text{exactement 1 pile}) = 3\times \dfrac{9}{64} = \dfrac{27}{64}.$$
Probabilité de ne jamais obtenir pile.
Il s'agit de l'issue FFF :
$$P(\text{0 pile}) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}.$$
Préparer l'épreuve avec Majorant
Les cours particuliers Majorant sont conçus pour renforcer les fondamentaux en Première sans spé : pourcentages, probabilités, fonctions, statistiques. À votre rythme.