Corrigé complet à destination des élèves de Première générale sans spécialité Maths. Pourcentages, suites, fonctions de référence, probabilités et statistiques.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | d | Rappel. Prendre \(25\%\) d'un nombre = le diviser par \(4\) (car \(\tfrac{25}{100}=\tfrac{1}{4}\)). Calcul. \(\tfrac{1}{4}\times 480 = 120\). Options a), b), c) donnent des résultats absurdes (\(0{,}192\) ; \(1\,200\) ; \(1\,920\)). |
| 2 | c | Méthode. Écrire chaque nombre sous forme décimale pour comparer. \(A = \tfrac{1}{5} = \mathbf{0{,}20}\) ; \(B = \tfrac{19}{100} = \mathbf{0{,}19}\) ; \(C = \mathbf{0{,}21}\). Classement. \(0{,}19 < 0{,}20 < 0{,}21\), soit \(B < A < C\). |
| 3 | c | Méthode. Convertir chaque nombre en décimal pour comparer. \(A = \left(\tfrac{1}{5}\right)^2 = \tfrac{1}{25} = 0{,}04\) ; \(B = \left(\tfrac{1}{2}\right)^5 = \tfrac{1}{32} \approx 0{,}031\) ; \(C = 0{,}05\) ; \(D = \left(\tfrac{1}{3}\right)^3 = \tfrac{1}{27} \approx 0{,}037\). Classement. \(0{,}05 > 0{,}04 > 0{,}037 > 0{,}031\). Le plus grand est \(C\). |
| 4 | d | Méthode. Deux hausses successives \(\Rightarrow\) multiplier les coefficients. Calcul. \((1+0{,}10)\times(1+0{,}10) = 1{,}10^2 = 1{,}21\). Conclusion. \(1{,}21 = 1 + 0{,}21\) : hausse totale de \(21\%\). Une hausse de \(10\%\) appliquée deux fois ne fait pas \(20\%\) (piège classique). |
| 5 | d | Traduction. « Le tiers d'un quart » = \(\tfrac{1}{3}\) de \(\tfrac{1}{4}\) = \(\tfrac{1}{3}\times \tfrac{1}{4}\). Calcul. \(\tfrac{1}{3}\times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}\). Piège : l'option c) \(\tfrac{1}{3}\times 4 = \tfrac{4}{3}\) — on ne multiplie pas par l'inverse ici. |
| 6 | c | Écriture décimale. \(\tfrac{1}{1000} = 0{,}001\). Calcul. \(A = 10 + 0{,}1 + 0{,}001 = 10{,}101\). Attention aux zéros — \(10{,}110\) ajoute \(0{,}01\) au lieu de \(0{,}001\). |
| 7 | c | Ordres de grandeur. \(10^{10} = 10\,000\,000\,000\) ; \(10^{-10} = 0{,}0000000001\). Le second est totalement négligeable devant le premier. \(A \approx 10^{10}\). |
| 8 | c | Étape 1. \(100\) min \(= 60\) min + \(40\) min \(= 1\,\text{h}\) + \(40\) min. Étape 2. Convertir les \(40\) min en heures : \(\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\) h. Étape 3. Total : \(1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}\) h. |
| 9 | b | Lecture graphique. La droite est croissante (pente positive) et coupe l'axe \(Oy\) en bas (ordonnée \(-3\)). Forme réduite. \(y = ax + b\) avec \(a > 0\) et \(b = -3\). Seule \(y = x - 3\) convient. |
| 10 | c | Calcul direct. On remplace \(x\) par \(3\) : \(f(3) = 7 - \dfrac{1}{2}(3 - 3)^2 = 7 - \dfrac{1}{2}\times 0 = 7\). Piège : toujours développer à l'intérieur de la parenthèse d'abord. |
| 11 | d | Identité remarquable. \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Application. Avec \(a = x\) et \(b = 3\) : \((x - 3)^2 = x^2 - 2\times 3\times x + 9 = x^2 - 6x + 9\). Erreur très fréquente : oublier le double produit \(-6x\). |
| 12 | c | Série A. Moyenne \(= \tfrac{1+2+3}{3} = 2\). Médiane (valeur centrale) \(= 2\). Série B. Moyenne \(= \tfrac{0{,}5+2+100}{3} \approx 34{,}2\). Médiane (valeur centrale) \(= 2\). Conclusion. Même médiane, pas même moyenne. La moyenne est « tirée » par \(100\), pas la médiane. |
Cours particuliers — Première générale
Parce que vous n'avez pas choisi la spécialité Maths, rien ne vous empêche de viser l'excellence. Un mentor Majorant reprend les bases avec vous, au rythme adapté à votre filière — fonctions, pourcentages, probabilités, statistiques.
Pourcentage d'augmentation entre \(200\) m² et \(240\) m².
Augmentation : \(240 - 200 = 40\) m². Taux : \(\dfrac{40}{200} = 0{,}20 = \mathbf{20\%}\).
Surface occupée après une semaine.
$$200 + 40 = 240 \text{ m}^2.$$
Surface \(10\) semaines après (modèle arithmétique : \(+40\) m² par semaine).
Au bout de \(10\) semaines, les nénuphars ont gagné \(10\times 40 = 400\) m² :
$$S_{10} = 200 + 400 = 600 \text{ m}^2.$$
Peut-on atteindre exactement \(580\) m² un dimanche ?
Chaque semaine, la surface augmente de \(40\) m². Les valeurs possibles sont donc \(200, 240, 280, 320, \ldots\), toujours multiples de \(40\) ajoutés à \(200\).
Pour avoir \(580\), il faudrait \(200 + 40n = 580\), soit \(n = \dfrac{380}{40} = 9{,}5\). Comme \(n\) doit être un entier, c'est impossible.
Quand l'étang est-il entièrement recouvert (modèle arithmétique) ?
Étang = \(2\,000\) m². On cherche \(n\) tel que \(200 + 40n = 2\,000\) :
$$40n = 1\,800\quad\Rightarrow\quad n = 45.$$
L'étang est recouvert après 45 semaines.
Surface après \(2\) semaines (modèle \(+20\%\) par semaine).
$$200\times 1{,}2\times 1{,}2 = 200\times 1{,}44 = \mathbf{288 \text{ m}^2}.$$
Surface après \(n\) semaines.
Multiplier par \(1{,}2\) chaque semaine donne :
$$S_n = 200\times 1{,}2^n \text{ (en m}^2\text{)}.$$
Quand l'étang est-il entièrement recouvert (modèle géométrique) ?
On cherche le plus petit \(n\) tel que \(200\times 1{,}2^n \geq 2\,000\), soit \(1{,}2^n \geq 10\).
D'après le tableau fourni : \(1{,}2^{12} \approx 8{,}92 < 10\) mais \(1{,}2^{13} \approx 10{,}70 \geq 10\).
L'étang est recouvert dès la 13ᵉ semaine.
Schéma comparatif des deux modèles.
Dans le repère (en abscisse : semaines ; en ordonnée : surface en m²), faire apparaître :
Valeur de \(x\).
\(x\) représente le nombre de voitures françaises noires. Sur la ligne "Française" : \(150 + x + 400 = 750\), donc :
$$x = 750 - 550 = \mathbf{200}.$$
Pourcentage de voitures noires dans le stock.
$$\dfrac{250}{1\,000} = 0{,}25 = \mathbf{25\%}.$$
Pourcentage de voitures noires étrangères dans le stock.
$$\dfrac{50}{1\,000} = 0{,}05 = \mathbf{5\%}.$$
Pourcentage de voitures blanches parmi les voitures françaises.
$$\dfrac{150}{750} = \dfrac{1}{5} = \mathbf{20\%}.$$
Pourcentage de voitures françaises parmi les voitures blanches.
$$\dfrac{150}{250} = \dfrac{3}{5} = \mathbf{60\%}.$$
Alice ou Benoît : qui a le plus de chance ?
Alice tire parmi les \(750\) voitures françaises et gagne si elle n'obtient pas une rouge :
$$P(\text{Alice gagne}) = \dfrac{\text{voitures françaises non rouges}}{\text{voitures françaises}} = \dfrac{150 + 200}{750} = \dfrac{350}{750} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}467.$$
Benoît tire parmi les \(250\) voitures blanches et gagne si c'est une étrangère :
$$P(\text{Benoît gagne}) = \dfrac{100}{250} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4.$$
\(0{,}467 > 0{,}4\) : Alice a plus de chances de gagner.
Notons \(t\) le temps écoulé en minutes. Les deux concurrents partent en même temps :
La tortue rattrape l'escargot quand \(x_T(t) = x_E(t)\) :
$$2t = 12 + 0{,}5t$$
$$2t - 0{,}5t = 12$$
$$1{,}5t = 12 \quad\Rightarrow\quad t = \dfrac{12}{1{,}5} = 8 \text{ minutes}.$$
À ce moment, la position commune vaut \(x_T(8) = 2\times 8 = \mathbf{16\text{ m}}\).
La tortue rattrape l'escargot 8 minutes après le départ, au point d'abscisse \(16\) m.
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