Corrigé complet — suite arithmético-géométrique, étude d'une fonction avec exponentielle. Programme officiel Première spécialité.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | A | Formule des probabilités totales. \(P(B) = P(A)\times P_A(B) + P(\overline A)\times P_{\overline A}(B)\). Lecture de l'arbre. \(P(A)=0{,}4\), \(P_A(B)=0{,}3\), \(P(\overline A)=0{,}6\), \(P_{\overline A}(B)=0{,}1\). Calcul. \(P(B) = 0{,}4\times 0{,}3 + 0{,}6\times 0{,}1 = 0{,}12 + 0{,}06 = \mathbf{0{,}18}\). |
| 2 | A | Règle. Une baisse de \(30\%\) correspond au coefficient \((1 - 0{,}30) = 0{,}70\). Calcul. \(200\times 0{,}70 = 140\) €. Erreur fréquente : soustraire \(30\) au prix (\(200 - 30 = 170\)) — réponse B, fausse. |
| 3 | B | Méthode. Enchaîner deux variations = multiplier les coefficients. Calcul. \((1 - 0{,}5)\times(1 + 0{,}5) = 0{,}5\times 1{,}5 = 0{,}75\). Interprétation. \(0{,}75 = 1 - 0{,}25\) : baisse de \(25\%\). Une réduction et une augmentation de même taux ne se compensent jamais. |
| 4 | B | Proportion composée. La proportion de filles internes se calcule en multipliant les deux taux successifs. Calcul. \(\underbrace{\tfrac{1}{4}}_{\text{internes}}\times \underbrace{\tfrac{1}{2}}_{\text{filles parmi internes}} = \tfrac{1}{8}\). \(\tfrac{1}{8} = 0{,}125 = \mathbf{12{,}5\%}\). |
| 5 | D | Étape 1. \(5^2 = 25\). Étape 2. \(N = \dfrac{10^7}{25} = \dfrac{10\,000\,000}{25} = 400\,000\). Étape 3. Écriture scientifique : \(400\,000 = 4\times 10^5\). |
| 6 | B | Règle de conversion. Pour passer des joules aux kWh, on divise par \(3{,}6\times 10^6\). Calcul. \(\dfrac{7{,}5\times 10^6}{3{,}6\times 10^6} = \dfrac{7{,}5}{3{,}6}\). \(\dfrac{7{,}5}{3{,}6} = \dfrac{75}{36} = \dfrac{25}{12} \approx 2{,}08\) kWh. |
| 7 | C | Formule. Coefficient directeur \(= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). Calcul. \(m = \dfrac{5 - (-1)}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}\). Attention au signe \((-1)\) qui devient \(+1\) après soustraction. |
| 8 | C | Piège classique. L'expression \(y = x^2 - (x+1)^2 + 1\) ressemble à un polynôme, mais se simplifie en droite. Développement. \(x^2 - (x^2 + 2x + 1) + 1 = -2x\). Conclusion. \(y = -2x\) : droite passant par l'origine, pente \(-2\), descendante — cohérent avec le graphique. |
| 9 | C | Équation du second degré. \(x^2 = 10 \Leftrightarrow x = \sqrt{10}\) ou \(x = -\sqrt{10}\). \(\mathcal S = \{-\sqrt{10}\,;\,\sqrt{10}\}\). Erreurs à éviter : oublier la solution négative (C vs A), ou diviser par \(2\) au lieu de prendre la racine. |
| 10 | A | Étape 1. Forme factorisée : \(f(x) = (3x - 15)(x + 2) = 3(x - 5)(x + 2)\). Étape 2. Racines : \(5\) et \(-2\). Étape 3. Coefficient dominant \(3 > 0\), donc \(f\) est positive à l'extérieur des racines, négative entre : signe \(+/-/+\) de gauche à droite avec zéros en \(-2\) puis \(5\). |
| 11 | C | Identité remarquable. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Ici \(a = 2x\) et \(b = 0{,}5\). Calcul. \((2x)^2 + 2\times(2x)\times 0{,}5 + 0{,}5^2 = 4x^2 + 2x + 0{,}25\). |
| 12 | B | Méthode. Isoler \(v\) dans \(a = \dfrac{v^2}{R}\). Étape 1. Multiplier par \(R\) : \(v^2 = aR\). Étape 2. Prendre la racine carrée (la vitesse est positive) : \(v = \sqrt{aR}\). |
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Indiquer ce que représente \(u_1\) et calculer sa valeur.
\(u_1\) représente le nombre d'habitants de la ville en 2021 (soit \(n = 1\)).
$$u_1 = 1{,}08\times u_0 - 300 = 1{,}08\times 10\,000 - 300 = 10\,800 - 300 = 10\,500.$$
En 2021, la ville comptera donc \(10\,500\) habitants.
Déterminer \(v_0\).
$$v_0 = u_0 - 3\,750 = 10\,000 - 3\,750 = 6\,250.$$
Démontrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_{n+1} = 1{,}08\, v_n\).
Par définition, \(v_{n+1} = u_{n+1} - 3\,750\). En utilisant la relation de récurrence :
$$v_{n+1} = (1{,}08\, u_n - 300) - 3\,750 = 1{,}08\, u_n - 4\,050.$$
Or \(1{,}08\, v_n = 1{,}08\,(u_n - 3\,750) = 1{,}08\, u_n - 1{,}08\times 3\,750 = 1{,}08\, u_n - 4\,050\).
D'où \(v_{n+1} = 1{,}08\, v_n\). \(\checkmark\)
En déduire la nature de la suite \((v_n)\).
\((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}08\) et de premier terme \(v_0 = 6\,250\).
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Pour une suite géométrique : \(v_n = v_0 \times q^n\), donc :
$$v_n = 6\,250\times 1{,}08^n.$$
En déduire \(u_n\).
Comme \(v_n = u_n - 3\,750\), on a \(u_n = v_n + 3\,750\), soit :
$$u_n = 6\,250\times 1{,}08^n + 3\,750. \quad\checkmark$$
Déterminer l'année à partir de laquelle la construction doit commencer.
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \geq 19\,000\). D'après le tableau fourni :
La population atteindra \(19\,000\) habitants en l'année \(2020 + 12 = \mathbf{2032}\).
Comme la construction dure 2 ans, elle doit débuter au plus tard en 2030.
Déterminer les racines de \(P(x) = 2x^2 + x - 10\).
$$\Delta = 1^2 - 4\times 2\times (-10) = 1 + 80 = 81\quad (\Delta > 0).$$
$$x_1 = \dfrac{-1 - 9}{4} = -\dfrac{10}{4} = -\dfrac{5}{2}\qquad x_2 = \dfrac{-1+9}{4} = 2.$$
Les racines de \(P\) sont \(-\dfrac{5}{2}\) et \(2\).
Axe de symétrie de la parabole \(y = P(x)\).
L'axe de symétrie a pour équation \(x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-\frac{5}{2} + 2}{2} = \dfrac{-\frac{1}{2}}{2} = -\dfrac{1}{4}\).
On peut aussi utiliser \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{4}\).
Tableau de signes de \(P\) sur \([-5\,;3]\).
Coefficient dominant \(a = 2 > 0\) : \(P(x) > 0\) à l'extérieur des racines, \(P(x) < 0\) entre les racines.
| \(x\) | \(-5\) | \(-\frac{5}{2}\) | \(2\) | \(3\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Valeur de \(f'(2)\).
La tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse \(2\) est horizontale. Une tangente horizontale signifie que le nombre dérivé est nul :
$$f'(2) = 0.$$
Résoudre graphiquement \(f'(x) < 0\).
\(f'(x) < 0\) ⟺ \(f\) est strictement décroissante. D'après la courbe \(\mathcal{C}_f\), la fonction \(f\) décroît de son maximum local situé autour de \(x = -\dfrac{5}{2}\) jusqu'au minimum local en \(x = 2\).
On lit donc, avec la précision du graphique : \(\boxed{f'(x) < 0 \text{ pour } x \in \left]-\tfrac{5}{2}\,;\,2\right[}\).
Démontrer que \(f'(x) = P(x)\mathrm{e}^{0{,}5x}\).
\(f\) est un produit \(f = u\times v\) avec \(u(x) = 4x^2 - 14x + 8\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{0{,}5x}\). On applique la formule \((uv)' = u'v + uv'\) :
$$u'(x) = 8x - 14\qquad v'(x) = 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}.$$
$$f'(x) = (8x - 14)\mathrm{e}^{0{,}5x} + (4x^2 - 14x + 8)\times 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}.$$
On factorise par \(\mathrm{e}^{0{,}5x}\) :
$$f'(x) = \mathrm{e}^{0{,}5x}\left[(8x - 14) + 0{,}5(4x^2 - 14x + 8)\right].$$
On développe le crochet :
$$(8x - 14) + (2x^2 - 7x + 4) = 2x^2 + x - 10 = P(x).$$
D'où \(f'(x) = P(x)\mathrm{e}^{0{,}5x}. \quad\checkmark\)
Tableau de variations de \(f\) sur \([-5\,;3]\).
Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{0{,}5x} > 0\). Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(P(x)\), obtenu en partie A.
| \(x\) | \(-5\) | \(-\frac{5}{2}\) | \(2\) | \(3\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| Variations de \(f\) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
La fonction présente un maximum local en \(x=-\dfrac{5}{2}\) et un minimum local en \(x = 2\) (il n'est pas demandé de calculer les images).
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