Corrigé rédigé par les mentors Majorant, conforme au programme officiel de Première spécialité Mathématiques — calculatrice non autorisée.
Une seule réponse par question. Aucune justification n'est demandée dans l'épreuve, mais nous explicitons chaque raisonnement ci-dessous.
| N° | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | b | Étape 1. Le double de \(5\) vaut \(2\times 5 = 10\). Étape 2. L'inverse d'un nombre non nul \(a\) est \(\dfrac{1}{a}\). On obtient \(\dfrac{1}{10}\). Piège : ne pas confondre avec \(\dfrac{5}{2}\) (moitié du double). |
| 2 | a | Étape 1. On calcule le dénominateur : \(cd = 4\times\left(-\tfrac{1}{4}\right) = -1\). Étape 2. On remplace : \(F = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{-1} = \dfrac{1}{2} - 3\). Étape 3. Mise au même dénominateur : \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{2} = -\dfrac{5}{2}\). |
| 3 | a | Règle. Multiplier par un coefficient \((1-t)\) avec \(t>0\) correspond à une baisse de \(t\times 100\,\%\). Ici. \(0{,}975 = 1 - 0{,}025\), donc \(t = 0{,}025\), soit une baisse de \(\mathbf{2{,}5\,\%}\). |
| 4 | c | Méthode. Enchaîner deux variations \(\Rightarrow\) multiplier les coefficients. Calcul. \((1+0{,}10)\times(1-0{,}10) = 1{,}10\times 0{,}90 = 0{,}99\). Conclusion. \(0{,}99 < 1\) : le prix global baisse, donc \(P_1 < P\). Une hausse suivie d'une baisse de même taux ne s'annulent jamais. |
| 5 | a | Rappel. La somme des probabilités d'une loi vaut \(1\). Équation. \(0{,}5 + \tfrac{1}{6} + 0{,}2 + x = 1\), soit \(x = 1 - 0{,}7 - \tfrac{1}{6}\). Calcul. \(0{,}3 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{9}{30} - \tfrac{5}{30} = \tfrac{4}{30} = \tfrac{2}{15}\). |
| 6 | a | Étape 1. On met au même dénominateur : \(\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{y} = \tfrac{y}{xy} + \tfrac{x}{xy} = \tfrac{x+y}{xy}\). Étape 2. On égalise : \(\tfrac{x+y}{xy} = \tfrac{1}{u}\). Étape 3. Produit en croix : \(u(x+y) = xy\), donc \(u = \dfrac{xy}{x+y}\). |
| 7 | b | Méthode. \(x^2 \geq 10 \Leftrightarrow |x| \geq \sqrt{10}\). Cas 1. Si \(x \geq 0\) : \(x \geq \sqrt{10}\). Cas 2. Si \(x \leq 0\) : \(-x \geq \sqrt{10}\), soit \(x \leq -\sqrt{10}\). Les options a) et c) oublient la moitié des solutions. |
| 8 | d | Lecture. La droite coupe \(Ox\) en \(x=3\) et \(Oy\) en \(y=2\). Forme par les interceptes. \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1\), soit \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 = 0\). Vérif. On peut aussi écrire \(y = -\tfrac{2}{3}x + 2\) — pente \(-\tfrac{2}{3}\), ordonnée à l'origine \(2\). |
| 9 | b | Définition. \(f\) est affine si \(f(x) = ax + b\) après simplification. • \(f_1(x) = x^2 - (1-x)^2 = x^2 - (1 - 2x + x^2) = 2x - 1\) ✓ • \(f_2(x) = \tfrac{x}{2} - \left(1 + \tfrac{1}{\sqrt 2}\right)\) : \(\tfrac{1}{2}x\) + constante ✓ • \(f_3(x) = \tfrac{5}{0{,}7} - \tfrac{2/3}{0{,}7}x\) : \(ax+b\) ✓ Les trois sont affines. |
| 10 | c | Lecture graphique. La parabole \(\mathcal P\) est orientée vers le bas (coefficient de \(x^2\) négatif) et a son sommet en \((0\,;10)\). Critère. La fonction \(-x^2 + c\) admet son sommet en \((0\,;c)\) : on veut \(c = 10\). Tri : \(x^2 - 10\) est orientée vers le haut ; \(-x^2 - 10\) a son sommet en \((0\,;-10)\) ; \(-x^2 + 10x\) a son sommet en \(x = 5\). |
| 11 | b | Règle des signes. \(xf(x) > 0 \Leftrightarrow x\) et \(f(x)\) de même signe (tous deux \(>0\) ou tous deux \(<0\)). • \(A\,:\,x_A<0\,;\,f(x_A)<0\) → produit \((-)(-) > 0\) ✓ • \(B\,:\,x_B<0\,;\,f(x_B)>0\) → produit \(<0\) • \(R\,:\,x_R>0\,;\,f(x_R)>0\) → produit \(>0\) ✓ • \(S\,:\,x_S>0\,;\,f(x_S)<0\) → produit \(<0\) |
| 12 | d | Définition. Moyenne pondérée : \(m = \dfrac{\sum \text{note}\times\text{coef}}{\sum \text{coef}}\). Équation. \(m = \dfrac{10\times 1 + 8\times 2 + 16\times x}{1 + 2 + x} = \dfrac{26 + 16x}{3 + x}\). Résolution. \(\dfrac{26+16x}{3+x}=15 \Rightarrow 26+16x = 45+15x \Rightarrow x = 19\). |
Cours particuliers — Spécialité maths
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Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{OI}\) et \(\vec{OC}\).
D'après l'énoncé, \(O(0\,;0)\), \(I(4\,;3)\) et \(C(0\,;4)\). On en déduit :
$$\vec{OI}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\qquad\vec{OC}\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$$
En déduire le produit scalaire \(\vec{OI}\cdot\vec{OC}\).
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :
$$\vec{OI}\cdot\vec{OC} = 4\times 0 + 3\times 4 = 12.$$
Exprimer \(\vec{OI}\cdot\vec{OC}\) en fonction des longueurs \(OH\) et \(OI\).
\(H\) étant le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((OI)\), le produit scalaire vaut (formule par projection) :
$$\vec{OI}\cdot\vec{OC} = OI \times OH.$$
(On suppose ici \(\vec{OH}\) de même sens que \(\vec{OI}\), ce que le schéma confirme.)
Calculer la longueur \(OI\).
$$OI = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5.$$
En déduire que \(OH = 2{,}4\).
En combinant les deux expressions du produit scalaire (1.b et 2.a) :
$$OI \times OH = 12 \quad\text{donc}\quad 5 \times OH = 12 \quad\text{soit}\quad OH = \dfrac{12}{5} = 2{,}4.$$
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((CH)\).
\(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((OI)\), donc \((CH)\perp(OI)\). Un vecteur normal à \((CH)\) est donc \(\vec{OI}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\).
L'équation cartésienne de \((CH)\) s'écrit \(4x + 3y + c = 0\), avec \(c\) déterminé par le fait que \(C(0\,;4)\in(CH)\) :
$$4\times 0 + 3\times 4 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -12.$$
D'où : \(\boxed{(CH)\,:\,4x + 3y - 12 = 0}\).
Justifier que \(x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7{,}75 = 0\) est une équation de \(\mathcal{E}\).
Le cercle \(\mathcal{E}\) de centre \(D(2\,;2)\) et de rayon \(0{,}5\) a pour équation :
$$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 0{,}5^2.$$
On développe :
$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 0{,}25$$
$$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 - 0{,}25 = 0$$
$$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7{,}75 = 0. \quad\checkmark$$
\(M(1{,}5\,;2)\) appartient-il à l'intersection de \(\mathcal{E}\) et \((CH)\) ?
Test sur le cercle \(\mathcal{E}\) :
$$1{,}5^2 + 2^2 - 4(1{,}5) - 4(2) + 7{,}75 = 2{,}25 + 4 - 6 - 8 + 7{,}75 = 0.\quad\checkmark$$
Test sur \((CH)\) :
$$4(1{,}5) + 3(2) - 12 = 6 + 6 - 12 = 0.\quad\checkmark$$
Les deux égalités étant vérifiées, \(M\) appartient bien à l'intersection \(\mathcal{E}\cap(CH)\).
Étudier le signe de \(g(x) = x^2 - 5x + 4\) sur \(\mathbb{R}\).
Le discriminant vaut \(\Delta = (-5)^2 - 4\times 1\times 4 = 25 - 16 = 9 > 0\). Les racines sont :
$$x_1 = \dfrac{5-3}{2} = 1 \qquad x_2 = \dfrac{5+3}{2} = 4.$$
On a \(g(x) = (x-1)(x-4)\). Le coefficient dominant est \(1 > 0\), donc \(g\) est positive à l'extérieur des racines :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(4\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(a_n = 2n - 4\).
Les points \(A_n\) et \(A_{n+1}\) ont pour coordonnées :
$$A_n\big(n\,;\,n^2 - 5n + 4\big)\qquad A_{n+1}\big(n+1\,;\,(n+1)^2 - 5(n+1) + 4\big).$$
On développe \((n+1)^2 - 5(n+1) + 4 = n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 + 4 = n^2 - 3n\).
Le coefficient directeur de \((A_n A_{n+1})\) est :
$$a_n = \dfrac{(n^2 - 3n) - (n^2 - 5n + 4)}{(n+1) - n} = \dfrac{2n - 4}{1} = 2n - 4. \quad\checkmark$$
Quelle est la nature de la suite \((a_n)\) ?
On a \(a_n = -4 + 2n\). Pour tout \(n\), \(a_{n+1} - a_n = 2\). La suite \((a_n)\) est arithmétique de raison \(2\) et de premier terme \(a_0 = -4\).
Vérifier que pour tout \(x \in [0{,}5\,;8]\), \(f(x) = \dfrac{g(x)}{x}\).
Sur \([0{,}5\,;8]\), \(x \ne 0\), donc :
$$\dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x} = x - 5 + \dfrac{4}{x} = f(x). \quad\checkmark$$
Position de \(\mathcal{C}\) par rapport à l'axe des abscisses.
Sur \([0{,}5\,;8]\), \(x > 0\). Donc \(f(x) = \dfrac{g(x)}{x}\) a le même signe que \(g(x)\). D'après 1.a, sur cet intervalle :
Montrer que \(f'(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).
On écrit \(f(x) = x - 5 + 4x^{-1}\). \(f\) est dérivable sur \([0{,}5\,;8]\) et :
$$f'(x) = 1 + 0 - 4x^{-2} = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}. \quad\checkmark$$
Tableau de variations de \(f\) sur \([0{,}5\,;8]\).
Sur \([0{,}5\,;8]\), on a \(x>0\) donc \(x^2 > 0\) et \(x+2>0\). Le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x-2)\).
$$f'(x) < 0 \text{ sur } [0{,}5\,;2[\quad\text{et}\quad f'(x) > 0 \text{ sur } ]2\,;8].$$
Valeurs clés : \(f(0{,}5) = 0{,}5 - 5 + 8 = 3{,}5\) ; \(f(2) = 2 - 5 + 2 = -1\) ; \(f(8) = 8 - 5 + 0{,}5 = 3{,}5\).
| \(x\) | \(0{,}5\) | \(2\) | \(8\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'\) | − | 0 | + | ||
| \(f\) | \(3{,}5\) | ↘ | \(-1\) | ↗ | \(3{,}5\) |
Schéma de l'allure de \(\mathcal{C}\).
La courbe part de \((0{,}5\,;3{,}5)\), décroît, coupe l'axe en \(x=1\), atteint son minimum en \((2\,;-1)\), remonte, recoupe l'axe en \(x=4\), puis rejoint \((8\,;3{,}5)\). Une seule courbe en \(\cup\) translaté.
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